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第二章 空间向量与立体几何第三节 向量的坐标表示和空间向量基本定理第3课时 ３.１空间向量的标准正交分解与坐标表示【课堂互动】新知1 空间向量的坐标表示例1. 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标笔记：新知2 坐标运算例2. 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =-- ，求a b + ，a b - ，||a,8a笔记：【堂中精炼】3.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x =21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =234在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ）A.0B.1C.2D.35已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1B.51 C.53 D.576设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为A.（41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32）7已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________.8已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________.点睛：求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴要交E‘点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标点睛：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则1122(,,a b a ba b+=++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈【反馈测评】1.给出下列命题：①若点（x ，y ，z ）在xoy 平面内，则z=0 ②若点（x ，y ，z ）在yoz 平面内，则x=0③若点（x ，y ，z ）在zox 平面内，则y=0 ④若点（x ，y ，z ）在y 轴上，则y ≠0其中正确的命题个数是： ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 2.下列命题错误的是； ( )A 点（x ，y ，z ）关于xoy 平面的对称点是（x ，y ，-z ）B 点（x ，y ，z ）关于yoz 平面的对称点是（-x ，y ，z ）C 点（x ，y ，z ）关于zox 平面的对称点是（x ，-y ，z ）D 点（x ，y ，z ）关于原点的对称点是（-x ，-y ，z ） 3．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或4. 下列叙述:①在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定是),,0(c b ;②在空间直角坐标系中,在yoz 平面上的点的坐标一定可写成),,0(c b ;③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标一定可写成),0,0(c ;④在空间直角坐标系中,在xoz 平面上的点的坐标是),0,(c a ;其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4 ５.已知点A （3，-5，7），点B （1，-4，2），则→--AB 的坐标是___ _______，AB 中点坐标是__________。
一、学习目标1．掌握空间向量的标准正交分解与坐标表示，会建立适当的空间直角坐标系写出相应点的坐标. 2.理解某个向量在坐标轴正方向上的投影.3.类比平面向量的标准正交分解与坐标表示来学习空间向量的标准正交分解与坐标表示，体会数学思想方法.二、学习重、难点1、重点：空间向量的标准正交分解与坐标表示；2、难点：向量的坐标确定和投影概念. 三、提炼精要，理清脉络1、复习平面向量的标准正交分解与坐标表示？2、阅读P33-P34回答(1)如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k为分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，则存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使a x i y j z k =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)a x y z =．其中标准正交分解为_____________，标准正交基为__________,OP=____________（2）空间任意向量a在x 轴，y 轴，z 轴正方向的分别为______________ （3）向量a 在向量b上的投影为______________.四、典例探究，深化理解例1（P34例1）如图在直角坐标系中有长方体''''ABC D A B C D -,且2,3,'5AB BC AA ===(1) 写出点'C 的坐标，给出'AC 关于,,i j k的分解式(2) 求'AD的坐标例2（P34例2）已知单位正方体''''ABC D A B C D -，求（1）向量'C A 在C B上的投影，（2）向量'C A 在BC上的投影变式练习：P34练习1、2§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示五、学而练之，消化新知1、正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=2，A 1C 1∩B 1D 1=O ，写出以下各点的坐标____________ B________________________ D____________ 1____________ B 1____________ 1 ____________ D 1 ____________轴上的点的坐标可写为____________ 轴上的点的坐标可写为____________ 轴上的点的坐标可写为____________2、长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=4，AD=2，AA 1=1, 写出以下各向量的坐标1A B =____________ 1AB=____________ 11B C =____________ 1BC=____________ 11A C =____________ 1FB=___________与x O y 平面平行的向量坐标的特点为_______________ 与y O z 平面平行的向量坐标的特点为______________ 与x O z 平面平行的向量坐标的特点为__________六、小结1、空间向量坐标表示_______________2、向量a 在向量b上的投影_______________六、能力提升，练中升华1.如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→=c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c2、如图在边长为2的正方体AC 1中，取D 点为原点 AC 、DD 1、 CC 1、A 1B 1的中点，写出下列向量的坐标： ______________AM = ______________OB1=________________PQ =3、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱,若AB ＝2，'A A ＝4，R 是'B B 的中点，取AB 标系如图，写出下列向量的坐标： ______________AP = ______________CQ = ______________PQ = _________R 'A =AA '。
3.1.4-3.1．5空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2.掌握空间向量的坐标运算的规律；3掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 4会用这些公式解决有关问题. 学习过程复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ . 复习3：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ . 复习4：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .二、新课导学探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？ 新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 当堂练习1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ， a －b ，8a ，a ·b例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 探究任务二：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ，由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝当堂练习① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ； ⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x yz ，则线段AB 的长度为：AB .4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: . .例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.。
