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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．

3[1]14空间向量的正交分解及其坐标表示-PPT精品文档51页

3[1]14空间向量的正交分解及其坐标表示-PPT精品文档51页

第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] 假设 O→A ， O→B ， O→C 共面，据向量共面的充 要条件有：O→A＝xO→B＋yO→C
则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∴ －3x＋y＝1， x＋y＝2， x－y＝－1. 此方程组无 解，∴O→A，O→B，O→C不共面． ∴{O→A，O→B，O→C}可作为空间的一个基底．
工具
第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
工具
第三章 空间向量与立体几何
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
工具
第三章 空间向量与立体几何
如图所示，空间四边形OABC 中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心， 设 O→A ＝a， O→B ＝b， O→C ＝c.试用向量a，
b，c表示向量O→G 和G→H .
由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分 别是△ABC、△OBC的重心． 解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果．

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}
或{e1,e2,e3}表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底
{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、
y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,
点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是(
)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量a,b,c共面,
故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称
它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O

空间向量的正交分解及其坐标表示ppt课件

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Байду номын сангаас
i
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). o j
x
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
z
OP OQ zk. OQ xi y j.
OP OQ zk xi y j zk.
（2
b
+
c
)
C ∴MN= MA+AN
= 1（－ a + b + c )
3
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是 线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表 示向量OP,OQ.
O
M
Q
A
P
C
N
B
练习.空间四边形OABC
中,OA=a,OB=b,OC=c
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空间向量的正交分解及其坐标表示 .ppt

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用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
跟踪训练
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
祝
您
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任 意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是唯一的．
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一 空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
基础梳理
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )

高中数学选修2-13.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)

高中数学选修2-13.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)

探究三 求空间向量的坐标
[典例 3] 在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标． [解析] ∵D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B.
2.如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
解析：连接 BO，则B→F＝12B→P ＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c. B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P)＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3. 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )

《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》教学课件

《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》教学课件

(2)平行投影：过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点 P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA， 分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.
(3)表示：存在三个实数x，y，z，使 OA xOA xa，
OB yOB yb， PP zOC zc.
答案:两两垂直
(3)根据已建立的空间直角坐标系知A(0,0,0),C1(2,2,1),
D1(0,2,1),则 AD1 的坐标为(0,2,1), AC1 的坐标为(2,2,1).
答案:(0,2,1) (2,2,1)
【要点探究】 知识点1 空间向量基本定理
空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向 量的一个基底.
)
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个
基底,则a,b共线;
③若a,b是两个不共线的向量,而c=λ a+μ}构成空间的一个基底.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基 底.( ) )
(2)向量 AP 的坐标与点P的坐标一致.(
(3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组{λ 1,λ 2,λ 3} 使0=λ 1a1+λ 2a2+λ 3a3.( )
【微思考】
(1)空间向量的基底与基向量是同一概念吗?
提示:不是.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的

《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件

《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件

e2
二、空间向量的直角坐标系
x
y
z
O
e1
e2
e3
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3
分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断
A1
A
D1
C1
B1
D
C
B
设 ,易判断出答案
C
二、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
解:
连AN,
则 MN=MA+AN
MA=－ AC =－ (a+b)
1
3
1
3
AN=AD+
= (－a + b + c )
1
3
∴MN= MA+AN
例1
平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结 论吗？
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使

314空间向量的正交分解及其坐标表示精品PPT课件

314空间向量的正交分解及其坐标表示精品PPT课件

使得. OQ xi+yj
从而OP OQ zk=xi+yj+zk.
k O
j
P
y
i
x
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空 间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k 上的分向量。
z
k O
j
P
y
i
x
Q
一、空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
d AB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
4.设 A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 )
则 AB ＝
，AB
．
AB的中点M的坐标为
．
例1.设 a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．
(1)若(k a ＋ b )∥( a－3 b)，求 k；
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 12ຫໍສະໝຸດ ,1 2,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M , N 分 别是 AB, PC 的中点,并且 PA AD ,求证:MN 平面PDC

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

(2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的 公共起点O 为原点，分别以e1，e2，
e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它 平移 ，使
它的 起点 与原点O重合，得到向量 OP ＝p.由空间向量基
本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝
[一点通] 用坐标表示空间向量的方法与步骤:
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐源自，记作p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
EF ＝12CB＝12OA＝12a.
[一点通] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加 法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法 则．
[例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M,N 分别是 AB,PC 的中 点，并且 PA＝AD＝1.在如图所示的空 间直角坐标系中，求向量 MN 的坐标．
[思路点拨] 把 MN 写成 xe1＋ye2＋ze3 的形式即可得向量 的坐标．
[精解详析] 因为 PA＝AD＝AB＝1， 所以可设 AB＝e1， AD＝e2， AP ＝e3. 因为 MN ＝ MA＋ AP＋ PN ＝ MA＋ AP＋12 PC ＝ MA＋ AP＋12( PA＋ AD＋ DC )＝－12 AB＋ AP＋12 (－ AP＋ AD＋ AB)＝12 AP＋12 AD＝12e3＋12e2, ∴ MN ＝(0，12，12)．

课件13：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

课件13：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

讲一讲 3．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥底面 ABCD，∠PDA＝30°.试建立适当的坐标 系并求出图中各点的坐标．
解：以点 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在的 直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系．
2．归纳总结，核心必记 (1)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c__不__共__面___，那么对空间任一向 量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝_x_a_＋__y_b_＋__z_c_． 其中{a，b，c}叫做空间的一个__基__底__，a，b，c 都叫 做__基__向__量__．
∵AB＝BC＝a，
∴A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)．
∵AD＝2a，∴D(0，2a，0)．
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AD.
又∵∠PDA＝30°，∴PA＝ADtan 30°＝233a，
故
P0，0，2
3
3a.
类题通法
(1)要用坐标表示空间向量，首先应建立恰当的空间直 角坐标系，建立空间直角坐标系时，一般选取从同一 点出发的，两两互相垂直的直线作为坐标轴． (2)根据空间向量基本定理对向量进行分解，用三个单 位正交基底的基向量表示，即可得到向量的坐标．
问题导思 (1)平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成 空间向量基底的三个向量有什么条件？
提示：__三__个__向__量__不__共__面____． (2)空间向量的基底是唯一的吗？ 提示：__由__空__间_向__量__基__本__定__理__可__知__，_任__意__三__个__不__共__面____ _的__向__量__都__可__以__组__成__空__间_的__一__个__基__底__，__所__以__空__间__的__基______ _底__有__无__数__个__，__因_此__不__唯__一__.

空间向量的正交分解 课件

空间向量的正交分解 课件

2.空间一点的坐标的确定方法 对空间的一点P(x,y,z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线， 垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴，y轴的垂线，垂足 分别为A，C，则|x|=P′C,|y|=AP′,|z|=PP′,根据点A，C，D 的位置即可确定x,y,z的符号.
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2， AA1=1， 则A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)， A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，D1(0，0，1). 如图(2)所示.
类型 一 判断三个向量能否成为基底
【典型例题】
1.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一个基底，下列向量中，能够
与向量a=e1+e2,b=e1-e2构成基底的向量的序号是______.
①e1;②e2;③e1+2e2;④e1+2e3.
2.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3,
∴P点的坐标为 (1 , 1 , 3).
422
2
2
(1,1,1)
2.令Ox,Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i,j,k,
OP OE EP 1 OA OC 1 EF
2
2
1 OA OC 1 (OB OA)
2
4
1 OA 1 OB 1 OC
4
4
2
1 i 1 2j 1 3k
44
2
1 i 1 j 3 k， 422
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c 共面.( ) (2)若a,b为空间两个不共线的向量，c=λa+μb(λ,μ∈R且 λμ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底.( ) (3)若{a,b,c}为空间一个基底，则{-a,-b,-c}也可构成空间 一个基底.( )
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而且也类似于平面向量可以用坐标
来进行各种运算及进行有关判断.
如: 1.长度的计算
已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b ab
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q
分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向
量的坐标.
AM ______________
OB1 ______________
PQ ________________
D1 z
C
1
z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
1 OA 1 (ON 1 OA)
O
23 2
1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
Q
A
P
C
B
N
二、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
D1 A1
D A
设 a AB,b AA1,c AD,易判断出答案
C1 B1
C B
例题讲解
例 1.如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OP
OM
MP
1 2
OA
2 3
MN
O
1 OA 2 (ON OM )
M
由此可知,如果 i, j, k 是空间两两垂直的向量,
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.我们称 xi, y j, zk 为向量 P 在 i, j, k 上的分向量.
探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量 a,b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ,你能得出类似的
量，设点Q为点P在 i, j 所确定平
k iO
j
y
面上的正投影.
Q
x
一、空间向量的坐标分解 z 在OQ, k所确定的平面上, 存在
实数z, 使得OP OQ zk
pP
在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ xi y j
k iO j
y
Q
OP OQ zk xi y j zk x
A1
Q
M
B1
P
y
D
C
xA
O B
探究：向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a - b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
a x1, y1,z1
a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
i
a
(1,
0),
x,
j
y
(0,1),
0
(0,
0).
i
oj
a
x
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
z
一、空间向量的坐标分解
给定一个空间坐标系和向量p
pP
且设 i, j, k为空间两两垂直的向
23
1 OA 2 1 (OB OC) 6 32
AQ PC源自1 OA 1 OB 1 OC
633
B
N
例 1.如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM） 23 23
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、（b b 0），a / /b的
充要条件是存在实数，使a＝b. 共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a xi y j
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个 基底.
（2 ） 由于可视0 为与任意一个非零向量共线,与 任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐
含着它们都不是 0 .
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基
底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.
例题讲解：
例1 设 x a b, y b c, z c a, 且 a, b,c 是空
结论吗？ 空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量P,
存在有序实数组 x, y, z,使 p xa yb zc.
{a, b, c }叫做空间的一个基底,
a, b, c都叫做基向量
特别提示：对于基底{ a,b, c },除了应知道
a,b, c 不共面，还应明确：
间的一个基底,给出下列向量组
①a,b, x ② x, y, z③ b, c, z ④ x, y,a b c
,其中可以作为空间的基底的向量组有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
分析:能否作为空间的基底,即是判 断给出的向量组中的三个下向量是
否共面,由于a,b,c 是不共面的向
量,所以可以构造一个平行六面体 直观判断