高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义． 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定．2．空间向量的正交分解及其坐标表示[基础自测]1．思考辨析(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，且p ＝x a ＋y b ＋z c ．若p ＝0，则x ＝y ＝z ＝0.( ) (2)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) (3)以原点O 为起点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同．( ) (4)若OP →＝(2,3,0)，则点P 在平面xOy 内．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A ．AB →，AC →，AD →B ．AB →，AA 1→，AB 1→C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]3．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.【导学号：46342147】a ＝(4，－8,3)b ＝(－2，－3,7) [由题意知a ＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．][合 作 探 究·攻 重 难]列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] (1)如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C ．[答案] C(2)设OA →＝xOB →＋yOC →，则e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)C ．∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．如图3­1­29，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.图3­1­29[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12C ．BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12C ．AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12C ． EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )【导学号：46342148】A ．－23，16，16B ．23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D ．][1．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？ 提示：BA →＝(－a ，－b ，－c )．如图3­1­30，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．图3­1­30[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．3.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图3­1­31所示建立空间直角坐标系．图3­1­31(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．] 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同D [因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．] 3．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )【导学号：46342149】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 A [如图，由已知OG →＝34OG →1＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14.]4．三棱锥P ­ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]5．如图3­1­32所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3­1­32(1)AP →；(2)AM →.[解] 如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1，(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12a ＋b ＋12c ．。

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；92-96复习1：平面向量基本定理： 对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总 是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c ∙+； ⑵68a b c +-.练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.。

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。

因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。

这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。

类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。

设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。

空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。

例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。

例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。

例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。

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3.1。

4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1。

了解空间向量基本定理。

2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3。

掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么?答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考2 平面向量的基底唯一确定吗？答案不唯一．梳理（1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a,b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组｛x,y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c（2)基底条件:三个向量a,b，c不共面．结论：｛a,b,c｝叫做空间的一个基底．基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量．知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，这样,平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定,我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设错误!＝x i＋y j，则向量错误!的坐标（x,y)就是点A的坐标，即若错误!＝(x，y)，则A点坐标为（x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量,记作e1,e2,e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y,z｝,使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝（x,y,z）（1）空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×）(2)若{a，b，c｝为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．（√)（3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．（√）（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×）类型一基底的判断例1 (1）下列能使向量错误!，错误!，错误!成为空间的一个基底的关系式是（)A。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组},,{z y x ，使得z y x ++=．由此可见，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x z y x ∈++=，这个集合可看作是由向量，，生成的，我们把},,{叫做空间的一个基底（base ），，，都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量=．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x ++=，我们把x ，y ，z 称作向量在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x =．此时向量的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量，，是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量+=，-=构成空间的另一基底的是（ ） A ．B ．C ．D ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，+=，-=不共线，且在向量，决定的平面内，而不在该平面内，故，，构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量，，不构成空间的一个基底，则向量，，共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且=，=，AA =1，若z y x ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵)(211BB ++=+=++=++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量+=，+=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以，，为基底，= ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】++=)222(21++=)]()()[(21+++++==++． 【思路点拨】将基底，，转化为基底，，来表示．++． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组},,{z y x ，使得z y x ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x z y x ∈++=，这个集合可看作是由向量，，生成的，我们把},,{叫做空间的一个基底（base ），，，都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量=．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x ++=，我们把x ，y ，z 称作向量在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x =．此时向量的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量，，是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+r r r r rB ．2,,2b b a b a -+r r r r rC ．,2,a b b c -r r r rD ．,,c a c a c +-r r r r r【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设，b 2，-共面，则有2b c xa y b -=+⋅r r r r，解得()(12)c x a y b =-+-r r r，与，，不共面矛盾， ∴，2，-不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，}是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量，构成空间的另一基底的是（ ） A ．B ．C ．D ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设与2+=，+=2共面， 则有y x +=)2()2(y x +++=，与，，不共面矛盾，∴与2+=，+=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r)(21AA ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++uuu r uuu r uuu r uuu r ．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量，，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB ++=．同类训练 若向量21e e +=，32e e +=，31e e +=，32132e e e ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，+=，c k i =+，则点A 在基底},,{下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++uu r r r r 8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++r r r r r r r r r． 【思路点拨】先将用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量+的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(-+=)242(++-+++=6．【思路点拨】以},,{为基底来表示向量，，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{叫做空间的一个基底（base ），，，都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x ++=，我们把x ，y ，z 称作向量在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量在基底},,{下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量，，的系数组成的有序实数组就是向量的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{是空间的一个基底，若+=，-=，则（ ） A ．，p ，q 是空间的一组基底 B ．，，是空间的一组基底 C ．c ，，是空间的一组基底D ．，与，，中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设y x +=，即c )()(y x -++=y x y x )()(-++=，与与，不共面矛盾．故，，不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{下的坐标是)3,1,2(，其中24+=，32+=，-=3，则点A 在基底},,{下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】32++=)24(2+=)32(++)3(3-+1238++=，故点A 在基底},,{下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．++=B ．MC MB MA +=C ．++=D ．-=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量，，共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，在，确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=+=)(21++=)(21++=，=-=+=，故的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若=，=，AA =1，则可表示为（ ）A ++B ．+-C ．+--D ．++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AA -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设+=，+=，+=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{，②},,{，③},,{，④},,{++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵+=，∴在，确定的平面内，故},,{不能作为基底．而},,{，},,{，},,{++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21+-+=AP )](3221=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将和表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{为基底，则= ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43-==， 又)(31)(2132+=+⨯=，∴=--+=)(31)(43+--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e -+=，32123e e e ++-=，321e e e -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得y x +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{能作为空间的一个基底．设r q p ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(-+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 =，b AC =，c AA =1，则= （用，，表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE A DA 11+=)(21111A B A ++=)(211AA -++=)(21-++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{，2+-=，y x ++=，若与共线，则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵与共线，∴λ=，即y x ++2(+-=λλλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{表示以下向量．（1）AP ；（2）；（3）；（4）．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD +=)2(211AA ++=++=；（3）)(2111AD AC +=)]()[(2111AA AA ++++=++=；（4）+=)(541AA -+=+=)(51++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，，表示出来．【答案】（1）)(21++；（2++3++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若1=+A λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设=，=，DD =1，则)(1A +-=，又])(21[)(21++-+=-=-=，∴=，故21-=λ． 【思路点拨】将与A 1用．，表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(+-=λ)23(-++μ)32(-+-+ν)32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（四）学习目标：了解空间向量基本定理；理解空间向量的基底、基向量概念；理解空间直角坐标系中的坐标表示。

一、主要知识：1、空间向量基本定理：2、空间向量的正交分解及其坐标表示：（1）单位正交基底：（2）空间直角坐标系：（3）空间向量的坐标表示：二、典例分析：〖例1〗：已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG 。

〖例2〗：已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标是{}2,3,1-，求p 在基底{},,a a b a b c +++下的坐标。

〖例3〗：空间四边形OABC 中，,G H 分别是,ABC OBC ∆∆的重心，设,,OA a OB b OC c ===。

试用向量,,a b c 表示向量OG 和GH 。

〖例4〗：已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1PA AD ==，试建立适当的空间直角坐标系，求,MN DC 的坐标。

A BC O M N G三、课后作业：1、以下四个命题中正确的是（ ）A 、空间的任何一个向量都可以用其他三个向量表示B 、ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= C 、若{},,a b c 为空间向量的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底D 、任何三个不共线的向量都可以构成空间向量的一组基底 2、平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A 、1122a b c -++B 、1122a b c ++C 、1122a b c -+D 、1122a b c --+ 3、空间四边形OABC 中，G 是ABC ∆的重心，若,,OA a OB b OC c ===，则OG =（ ）A 、111333a b c ++B 、111222a b c ++ C 、a b c ++ D 、333a b c ++ 4、已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123a e e e =++，123b e e e =+-，123c e e e =-+，12323d e e e =++，又d a b c αβγ=++，则,,αβγ分别为（ ）A 、51,1,22--B 、51,1,22C 、51,1,22--D 、51,1,22- 5、已知点A 在基底{},,a b c 的坐标为()8,6,4，其中a i j =+，b j k =+，c k j =+，则点A 在{},,i j k 下的坐标为（ ）A 、{}12,24,10B 、{}10,12,14C 、{}14,12,10D 、{}4,3,26、点()1,3,4M --在坐标平面,,xOy xOz yOz 内的射影分别是（ ）A 、()()()1,3,0,1,0,4,0,3,4----B 、()()()0,3,4,1,3,0,1,0,4----C 、()()()1,3,0,1,3,4,0,3,4----D 、()()()0,0,4,1,0,0,0,3,0--7、若{},,a b c 为空间向量的一个基底，且存在实数,,x y z ，使0xa yb zc ++=，则,,x y z 满足的条件是 。