有趣的分数等式

55.有趣的分数等式
(710600 陕西省小学教师培训中心、陕西省艺术师范学校 王凯成)
1601116012008116012008200811601200820082008129997299988887299988888888729998888888888887




这是一个有趣的分数等式：给分数1601129997的分子16011的1601与1之间添加
()kkN
个2008，再给分母29997的2999与7之间添加k个8888（2008年8月8日8时8分在我
国首都北京将举办第29届奥运会,“2008”与“8888”是两个有关的数.），新得到的分数
1601200820082008129998888888888887与原分数16011
29997
相等.

这样的有趣分数等式是如何发现的？
定理1：设0a，0c，b是形式上的p位数，d是形式上的q位数，A与B是形式

上的r位数，ab、aAb各表示一个自然数，abcd 表示分子是ab、分母是cd的分数.如果
abcd aAb
cBd
，那么，在a与b之间添加()kkN个A，在c与d之间添加k个B，新

得到的分数 aAAAAb cBBBBd与原分数abcd 相等.即有：.abcd aAAAAb cBBBBd
证明：对正整数k进行数学归纳证明.
以下设,,.iiAABBiN

（1） k=1时，由已知等式abcd aAb cBd知命题成立.

（2）假设当k = n时命题成立，即有：abcd12n12n aAAAb aAb cBdcBBBd成立.设
abcd12n12n aAAAb aAb
cBdcBBBd
= D，则有： abDcd， DcBdaAb，

D12n12naAAAbcBBBd
.

那么， 当k = n+1时，
12nn+112nn+1 aAAAAb
cBBBBd
=111010prnqrnAbBd12n12naAAAcBBB=1110101010rrnrrnbbAbddBd12n12naAAAcBBB

=11101010101010rrprnrrqrnbbaAbaddcBdc12n12naAAAcBBB
=1110101010rrnrrnbaAbabdcBdcd12n12naAAAcBBB
=10101010rrrrDdDcBdDcddcBdcd12n12ncBBBcBBB
= D = abcd .
由数学归纳法知，对任意的正整数k，命题都成立.
定理1得证.
这样只要构造出分数等式abcd aAb cBd，那么就有：abcd aAb cBd=aAAbcBBd
=aAAAbcBBBd = aAAAAb cBBBBd.所以，关键是能构造出分数等式abcd aAb cBd来.
如何构造出分数等式abcd aAb cBd呢？
例1：a、c是正整数，b、d∈{0，1，2，„，9}，求满足abcd a2008b c8888d的一组a、
b、c、d.
解：由abcd a2008b c8888d知，5510102008101010888810ababcdcd，即有：
55
(10)(10888810)(10)(10200810)abcdcdab

化简有：8888(10)99992008(10)9999abbccdad.
即有：1111(80899)2008(10)abbcadcd.由于1111与2008互质，所以令：

101111()cdkkN
，则有方程组：101111808992008cdkabbcadk .

方程组有2个方程，有a、b、c、d、k共5个未知数.是不定方程组.
取b = 1，d = 7，则有：107111117982008ckack
消去k有：1111a – 593c = 304. 二元一次不定方程1111a – 593c = 304的通解是：
100859318881111()atcttN






.取t=1就有：a = 1601，c = 2999.

故有分数等式：1601116012008129997299988887.
由定理1就知：1601116012008116012008200811601200820082008129997299988887299988888888729998888888888887.
实际上满足例1中abcd a2008b c8888d的a、b、c、d很多，如：1008110082008118887188888887，
21941219420081278712787200813380133802008139731397320081
,,,,41107411088887522175221888876332763328888774437744388887

45661456620081,8554785548888751591515920081
,96657966588887
„„

有趣的是10081160112194127871338013973145661515911888729997411075221763327744378554796657.
这是因为满足二元一次不定方程1111a – 593c = 304的任意两个解
1122
12
111222

1008593100859318881111()18881111()atatttcttNcttN






和，无论与是什么自然数，都

有：1212121210081593010081593011.1888711110188871111077ttaattcc593即=成立1111
定理2：设0a，0c，a是一个正整数，d是形式上的q位数，A与B是形式上的
r位数，cd a 表示分子是a、分母是cd的分数.如果cd a aA cBd，那么，在a之后添加
()kkN
个A，在c与d之间添加k个B，新得到的分数 aAAAA cBBBBd与原分数cd a 相

等.即有：.cd aAAAA a cBBBBd
定理3：设a是一个正整数，c是q位数，A与B是形式上的r位数. 如果c a aA Bc，
那么，在a之后添加()kkN个A，在c之前添加k个B，新得到的分数 aAAAA BBBBc与
原分数c a 相等.即有：.c aAAAA a BBBBc
仿证明定理1的方法可以证明定理2与定理3.
人们可以根据自己的不同要求，按照例1的方法，构造出符合自己喜爱的分数等式.
例如：
1. 欢迎2007.
72720072720072007272007200720072

10071100720071100720072007110072007200720071

= „„

一般地，对任意的正整数a，都有：2200210011002001aaaaaa=20020020021002002002001aaaaaaaa.
2. 盼望2008.
2542254200822542008200822542008200820082

312511312512008131251200820081312512008200820081

=„„

3.“不管三七二十一”.
64937373768262121215=6493737376649373766493766496

8262121215826212158262158265


385033721372137218385033721372183850337218385038475023721372137219475023721372194750237219475029




本文发表于全国中文核心期刊陕西师范大学主办的<中学数学教学参考>初中版2007年
第8期.