高斯白噪声的产生及误差分析

高斯白噪声的产生方案

一 高斯白噪声的简介

高斯白噪声通常定义为一个均值为零，功率谱密度为非零常数的平稳随机过程，且其噪声取值的概率分布服从高斯分布。产生高斯噪声的过程可分为生成均匀分布随机信号和对均匀分布随机信号高斯化。高斯噪声生成的原理图如下：

高斯白噪声产生原理

如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。而高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态分布。热噪声和散粒噪声都是高斯白噪声。

而高斯白噪声序列在科学研究和工程领域有着非常广泛的应用。例如，在电气工程领域中，有关信号定理算法的研究均涉及到高斯白噪声序列的应用；而在通用的计算机系统中均配置了用以产生均匀分布于高斯分布序列的软件，例如在BASIC，FORTRAN，C，VB以及VC++等程序设计语言软件包、以及功能强大的MATLAB软件包中均配置了用以产生均匀分布与高斯分布随即序列的内建函数。事实上，应用这些软件产生的随机数序列，其随机性和分布特性与所调用的函数名的含义相差甚远。

在下文将对高斯白噪声产生的两种典型方法进行介绍。

二 基于算法Marsaglia-Bray白噪声的生成

传统的广泛配置与计算机产生有限长高斯随机序列的方法，不能保证所得序列的N（0,1）分布序列的方法。

在随机序列产生方法与软件实现的研究中，独立同分布的均匀分布U（0,1）随机数的产生及其软件实现是最基本的研究内容。因为高斯分布与其连续分布的随机序列一般可由U（0,1）随机序列经相应的变换而获得。

欲在计算机上获得具有良好独立同分布的U（0,1）标准随机序列并非一件易事，U（0,1）随机数序列产生的书序方法及其软件的研究已有较长的历史，至产生均匀分布随机信号 均匀分布随机信号的高斯化 均匀随机高斯白噪声输出 今它仍然是一个十分活跃的研究领域，其发展历程是统计性能更好的发生器取代性能较差。该算法主要由以下几个基本步骤组成。

1）根据标准正态分布随机变量X的概率密度函数f（x），恰当地将随机变量X的取值范围等间隔地划分为K个区间；

2）应用极坐标方法，将均分分布的随机数变换为一个高斯分布的随机数（必要的话可以产生两个高斯分布的随机数），若该随机数落入K个区间中的某一个区间，并且落入该区间的数据个数或者说是观测频数小于期望频数，则保留该点数据，否则则将其舍弃；当落入每一给定区间的观测频数均与该区间的期望频数相等时，即可得长度为N的高斯随机序列；

3）对于高斯随机序列进行标准化处理后得标准差为1的零均值随机序列。检查标准化处理后序列的正态性，若发现某区间中的观测频数大区期望频数，则去掉多余的数据。若发现某区间中的观测频数小于期望频数，则需要应用极坐标方法产生高斯随机数予以补足，使每一个区间上的观测频数与期望频数相等。

4）重复前面的步骤，直至所得序列的均值小于某预定的近似为零的正数，遂可得到所需序列。

应用Marsaglia-Bray算法可产生标准的高斯随机序列，但是与应用其他方法一样，产生的序列是非白色的，或者说功率频谱函数是非均匀的。

根据该算法，原则上可产生合理地给定联合、给定概率密度函数和自相关函数的其他随机序列。

三 基于FPGA高斯白噪声的生成

高斯白噪声生成用于宽带短波信道模拟器系统，零用工m序列发生器及查表法实现，采用现场可编程门阵列FPGA实现高斯白噪声生成器的实现。通过仿真结果表明，基于FPGA设计实现的高斯白噪声生成器能满足宽带短波信道模拟器性能的指标要求，并且具有灵活性、通用性、修改参数方便等特点，具有很好是使用价值。

由高斯噪声生成原理图可见，高斯噪声生成的第一步为均匀噪声生成部分，若采用m序列产生算法，生成均匀分布伪随机序列。第二步对于红叶碧桃分布的信号进行高斯化，采用查找表的方法，应用第一步的输出值生成映射表地址，将查表后得到的结果输出，最后得到的就为高斯白噪声序列。 在计算机上产生具有良好独立同分布性能的U（0,1）随机序列主要有4中方法：线性同余法、m序列产生发、logist方程法、进位加方法。由于采用均匀分布的随机序列进行高斯化处理，所以均匀随机分布序列的性能直接影响到输出高斯噪声的性能。而m序列产生算法具有算法简单，产生速度快，可重复性强，便于在FPGA中实现的特点，并且得到的伪随机序列周期较长、统计满足产生高斯噪声的要求。

m序列是最长线性反馈移位寄存器的简称。它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。m序列的噪声特性与其周期长度偶关系，周期越长，越接近白噪声声谱。如果选用n级线性反馈移位寄存器，则m序列的周期为12n。在此选择n=32，则最大程度序列的周期可达91029.4 ，如果时钟周期为50MHZ，则可以重复超过400min。基本满足宽带短波信道模拟器对噪声模拟的需求。选择m序列的特征多项式为122232xxxx。为了避免出现全零状态，在设计时加入了强制复位功能，即当出现全零状态时，将m序列发生器强行值为初值状态。

将均匀分布的随机序列转换为高斯分布的随机序列的方法主要有函数变换法、中心极限法、查表法3种。函数变换法和中心极限法都需要硬件的实时计算，如FFT运算等，占用大量的硬件资源，影响宽带短波信道模拟器其他部分的实现。选择查表法对均匀分布随机序列进行高斯化，可以大大减少计算量，提高噪声生成的实时性。

通过均匀分布于高斯分布的关系进行映射，映射关系可以以函数y=f（x）表示。如图：

由于在信道模拟中共需要根据实际信道的不同来调整高斯白噪声的功率，当已知信道条件后，就需要根据信号在实际信道中的传播，得到噪声功率。

高斯白噪声的均值为0，所以没有直流分量，其功率只有交流功率，所以高斯白噪声的平均功率为：BnN0。试中：0n为单边功率谱密度；B为等效带宽。在模拟器中等效带宽通常是一定的，一般通过改变功率谱密度来调整噪声功率的大小。在设计中加入功率控制单元，即改变线性放大器的倍数，这相当于对高斯噪声序列的每个数据都通乘以一个系数k，所以经过线性放大器后的高斯白噪声功率为Bnk02。所以在给定信道条件下，根据单边功率谱密度的大小来计算所需的噪声功率，然后通过调节线性放大器来达到所需的噪声幅度。

噪声生成主要由均匀分布随机数发生器、高斯化查表法、噪声功率调整模块3个主要部分组成。随机数发生器采用VHDL语言实现，输出均匀分布32位宽无符号随机数。然后，分别建立均匀分布的随机序列转换为高斯分布的随机序列的查找表，使用查找表法实现高斯化的变化，得到高斯白噪声序列。噪声功率调整模块控制噪声的强度，并提供可变的噪声样点速率，同时便于匹配输入数据速率。

四 结论

以上是高斯白噪声的两种典型的产生原理及过程。基于Marsaglia-Bray算法产生的序列的标准正态分布特性及其平坦的频谱特性，无论在科学研究还还是在工程应用方面，都具有一定的理论与应用价值。

利用m序列发生器产生均匀分布的随机序列，然后利用查表法对其进行高斯化转换，得到性能较好的高斯白噪声信号。系统设计的硬件描述语言为为VHDL，全数字化处理，可移植性较强，此外还便于系统的升级。

参考文献

【1】蔡坤宝，王成良，陈曾汉 产生标准高斯白噪声序列的方法，现代电子技术，2004

【2】王林，芮国胜 高斯白噪声的生成，现代电子技术 2005

【3】曹丽娜 通信原理 国防工业出版社 2007

【4】周伟，范云霞，门爱东。 基于DSP的实时高斯白噪声产生方案.无线电工程，2006