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3-5 角动量算符

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L r p rer pr er p e p e rp e rp e
由此可得
2 2 L2 L L r 2 p p
(15)
(16)
2 2 p2 pr2 p p pr2
L2 r2
(17)
3-5 角动量算符
L12 L21 L3 ,
根据定义就很容易验证这个关系。 (19)式也可以写为
L23 L32 L1 ,
L31 L13 L2
(19)
Lij ijk Lk
1 Lk ijk Lij 2
与磁感强度的分量之间的关系，与此完全类似。 (20)和(21)式可以相互导出。首先，根据(21)式，可得


(31)
在证明过程中，重复指标的求和约定将表达式简化了许多。注意，在代入(25)式时求和指标 （重复指标）的调整，为了避免和自由指标 j 重复，将求和指标改为 k , l ；第二步应用了算
ˆ ˆ, C ˆ A ˆ B ˆ A ˆ, C ˆB ˆ, B ˆ ，以 ˆ, C ˆ ；第三步用了算符恒等式 A ˆ B ˆ, A 符恒等式 AB
ˆ ˆ L x , x 0, ˆ ˆ L ˆ y , x i z, ˆ ˆ L ˆ z , x i y,
(28)式相当于如下九个公式
ˆ ˆ L ˆ x , y i z, ˆ ˆ L y , y 0, ˆ ˆ L ˆ z , y i x, ˆ ˆ L ˆ x , p y i pz , ˆ ˆ L y , p y 0, ˆ ˆ L ˆ z , p y i px , ˆ ˆ ˆ L x , Ly i Lz , ˆ ˆ L y , Ly 0, ˆ ˆ ˆ L z , p y i Lx ,
ˆˆ y p ˆ y x ，因此不会出现不等价的表达式。 ˆ, p ˆy 由于 x 0 ，即 xp
对(12)式应用量子化规则，可以得到
ˆ x ˆ ˆ L i ijk j pk , i 1, 2,3
类似地，可得角动量平方的算符为
(25)
ˆ2 L ˆ2 L ˆ2 L ˆ2 L x y z
3-5 角动量算符
~2~
便可以确定所有的六个非零分量
123 231 312 1, 132 213 321 1
ijk 满足两个有用的恒等式（注意对重复指标求和）
(6)
ijk ijl 2 kl
ijk lmk il km im kl
3-5 角动量算符
~1~
3-5 角动量算符
Equation Chapter 3 Section 5
1. 求和约定
在讨论矢量时，经常碰到对矢量的分量乘积进行求和，比如矢量按照基矢量展开，以及 矢量的点乘
A Ai ei ,
i 1
3
B Bi ei ,
i 1
3
A B Ai Bi
角动量平方为
2 2 L2 L L Li Li L2 x Ly Lz
(12)
(13)
如果采用球坐标
r rer ,
p pr er p e p e
(14)
这里的下标 r , , 属于具体取值，相当于直角坐标情况的 x, y, z 或者 1, 2,3 ，并不是求和指 标。根据球坐标基的正交性，可得
及基本对易关系；最后一个等号利用了 ijk 关于指标交换反对称的性质。 其次证明(29)式。当 i j 时（下式对 i 不求和）
ˆ ˆ L i , Li 0
当 i j 时，首先
(32)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ L x , Ly Lx , zpx xpz Lx , zpx Lx , xpz ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L z x , px Lx , z px x Lx , pz Lx , x pz i ˆ ˆ x i xp ˆˆ y i xp ˆˆ y yp ˆˆx yp
A Ai ei ,
A Ai ei ,
A B Ai Bi
(2)
另外约定， 对于隐藏的重复指标， 比如 Ai2 ， 约定对 i 不求和， 除非写为 Ai Ai 才意味着求和。
2. 经典力学中的角动量
在经典力学中，角动量定义为
L r p
叉乘的结果可以写为行列式
(3)
ex L r p x px
(26)
3-5 角动量算符
~4~
ˆi , p ˆj 根据算符对易子的各种代数恒等式和基本对易关系， x i
ˆ ˆ L ˆ i , x j i ijk xk ˆ ˆ L ˆ i , p j i ijk pk ˆ ˆ ˆ L i , L j i ijk Lk
ˆ ˆ L ˆ x , z i y ˆ ˆ L ˆ y , z i x ˆ ˆ L z , z 0 ˆ ˆ L ˆ x , pz i p y ˆ ˆ L ˆ y , pz i px ˆ ˆ L z , pz 0 ˆ ˆ ˆ L x , Lz i Ly ˆ ˆ ˆ L y , Lz i Lx ˆ ˆ L z , pz 0
m, n 。第二个等号用了 ijk 的性质(8)式。其次，根据(20)式，可得
1 1 1 ijk Lij ijk ijm Lm 2 km Lm Lk 2 2 2
(23)
这就证明了(21)式。 ===============================================================================
(20) (21)
取 i, j 为具体数值即可验证，要注意对重复指标求和。在电动力学中，电磁张量的空空分量
ijk Lk ijk mnk Lmn
1 2
1 1 im jn in jm Lmn Lij L ji Lij 2 2
(22)
这就证明了(20)式。注意，由于 i, j 是自由指标，代入 Lk 的定义时，我们已将求和指标改为
分量表达式为
ey y py
ez z pz
(4)
Lx ypz zpy , Ly zpx xpz , Lz xpy ypx
(5)
为了进一步讨论，引入 Levi-Civita 符号 ijk ，它关于指标 i, j, k 是全反对称的，即交换 任意两个指标会增加一个负号， 比如 123 132 等等。 由此可知， 当指标中有相同取值时 ijk 必为零。比如根据指标交换反对称性，有 112 112 ，因此 112 0 。规定 123 1 ，由此
y z z y z y y z
(37)
0
ˆ2 , L ˆ L ˆ2 , L ˆ 0 。证完。 类似地可证明 L y z
讨论 (29)式可以等价写为
ˆL ˆ i L ˆ L
(38)
这是个矢量方程， 根据各个分量方程便可看出与(29)式一致。 这个结果与经典力学并不相同， 因为矢量自叉乘为零， L L 0 。 我们将(27)、(28)和(29)式的明显形式总结如下。(27)相当于如下九个公式
(10)
L r p x j e j pk ek x j pk e j ek ijk x j pk ei
注意 L Li ei ，其中 L1 Lx ， L2 Ly ， L3 Lz ，因此
(11)
Li ijk x j pk , i 1, 2,3
~3~
=============================================================================== 角动量的分量也可以采用双指标（仅作为了解内容） ：
Lij xi p j x j pi ,
i, j 1, 2,3
(18)
根据定义， Lij 关于两个指标是反对称的， Lij L ji ，因此 i j 时 Lij 为零。它和单指标分 量的关系为
再作一次轮换，可得
(35)
3- i Ly
(32)、(34)、(35)和(36)式合起来，便是(29)式。 最后证明(30)式。根据(32)、(34)和(36)式，得
(36)
ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ L , Lx Lx , Lx Ly , Lx Lz , Lx ˆ L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L y y , Lx Ly , Lx Ly Lz Lz , Lx Lz , Lx Lz ˆ L ˆ i L ˆL ˆ i L ˆL ˆ i L ˆ L ˆ i L
(33)
ˆ 的表达式(24)，可知 其中第三个等号用到了(27)和(28)式。根据 L z
ˆ ˆ ˆ L x , Ly i Lz
ˆ ,L ˆ ,L ˆ 完全对等，对(34)式作轮换 L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ ，便可得到 由于 L x y z x y z x
(34)
ˆ ˆ ˆ L y , Lz i Lx
i 1
3
(1)
这种求和的特点是，求和指标 i 是相乘的分量 Ai 和 Bi 共有的。根据这个特点，我们可以省 略求和记号，以 Ai ei 、 Bi ei 和 Ai Bi 指代
Ai ei 、 Bi ei 和 Ai Bi ，这个习惯称为爱因斯

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球坐标角动量算符

球坐标角动量算符

球坐标角动量算符
1、球坐标角动量算符
球坐标角动量是描述机构运动活动中的三维运动情况的一种特
殊算符。

它本质上是由一系列三元欧拉角的偏导数构成，它可以用来表示运动活动中机构的转速、旋转角速度和加速度。

以下是球坐标角动量算符：
（i）L = Jθ,其中L是机构的球坐标角动量，θ是机构的四元数形式的角动量，J是机构的质量转动惯量。

（ii）θdot = M^1(LLdot),其中θdot是机构的角动量偏导数，M是机构的质量转动惯量矩阵，Ldot是机构的球坐标角动量偏导数。

（iii）Ldot = J*ω,其中Ldot是机构的球坐标角动量偏导数，ω是机构的角速度，J是机构的质量转动惯量。

（iv）ωdot = M^1(Ldot-Lddot),其中ωdot是机构的角速度偏导数，M是机构的质量转动惯量矩阵，Lddot是机构的球坐标角动量二阶偏导数。

（v）Lddot = J*α,其中Lddot是机构的球坐标角动量二阶偏导数，α是机构的角加速度，J是机构的质量转动惯量。

球坐标角动量算符通常用来表示机构的旋转运动，可以帮助更好地理解机构的旋转状态，从而提高控制机构运动的能力。

- 1 -。

量子力学中的运动学算符

量子力学中的运动学算符

量子力学中的运动学算符量子力学作为现代物理学的重要分支，研究物质和能量在微观尺度上的行为。

运动学是量子力学的一个基础概念，它描述了粒子在空间中的运动轨迹以及位置与时间的关系。

在量子力学中，运动学算符是描述粒子运动状态的数学工具。

本文将介绍量子力学中的运动学算符及其基本性质。

一、位置算符在经典力学中，位置是描述物体在空间中所处位置的物理量。

在量子力学中，位置算符表示对粒子位置的测量。

位置算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。

位置算符的本征值就是粒子的位置坐标，即|r⟩与对应的本征值r。

位置算符的表示形式为：r = r其中r是一个三维矢量，包含粒子在三个坐标轴上的位置。

二、动量算符在经典力学中，动量是物体的质量和速度的乘积。

在量子力学中，动量算符表示对粒子动量的测量。

动量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。

根据量子力学理论，动量算符与位置算符是互补的，即它们不能同时被精确测量到。

动量算符的表示形式为：r= −rℏ∇其中r是虚数单位，ℏ是普朗克常数，∇是梯度算子。

动量算符与位置算符的本征值存在对应关系，即动量本征值为粒子的动量。

三、角动量算符在量子力学中，角动量算符描述了粒子的自旋和轨道角动量。

角动量算符与位置算符和动量算符类似，也是量子力学中的重要概念。

角动量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r, r⟩，其中r为角动量大小，r为角动量在某个方向上的投影。

角动量算符有三个分量：rr，rr和rr。

三个分量满足角动量的对易关系，即：[rr, rr] = rℏrr[rr, rr] = rℏrr[rr, rr] = rℏrr其中[r, r]表示算符r和r的对易子。

这些对易关系表明了角动量算符的非对易性，与经典力学中角动量的对易性质不同。

四、能量算符在量子力学中，能量是一个系统的基本物理量，描述了物体的能级和储备能量。

能量算符表示对系统能量的测量。

能量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。

柱坐标角动量算符

柱坐标角动量算符

柱坐标角动量算符引言角动量算符是量子力学中的重要概念之一，它描述了物体的旋转性质。

在经典力学中，角动量由角速度和转动惯量决定。

而在量子力学中，角动量的概念需要使用算符来描述，并且量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有许多不同之处。

本文将介绍柱坐标下的角动量算符，以及它在量子力学中的重要应用。

柱坐标角动量算符的定义在量子力学中，角动量算符分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。

柱坐标角动量算符是轨道角动量算符的一个特例，用来描述自由粒子的运动状态。

轨道角动量算符柱坐标系下的角动量算符可以表示为：$$\\hat{L}_z = -i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial \\phi}$$其中，$\\hbar$是普朗克常量的约化形式。

自由粒子的角动量对于自由粒子，其态函数能够写成径向部分和角向部分的乘积形式：$$\\Psi(r, \\theta, \\phi) = R(r)Y(\\theta, \\phi)$$其中，R(r)表示径向部分的函数，$Y(\\theta, \\phi)$表示角向部分的函数。

柱坐标角动量算符柱坐标角动量算符的形式为：$$\\hat{L}_z = -i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial \\phi}$$根据算符的性质，可以得出柱坐标角动量算符的平方形式为：$$\\hat{L}^2 = -\\hbar^2\\left(\\frac{1}{\\sin{\\theta}}\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\sin{\\theta}\\frac{\\partial}{\\partial \\theta} +\\frac{1}{\\sin^2{\\theta}}\\frac{\\partial^2}{\\partial \\phi^2}}\\right)$$柱坐标角动量的物理意义柱坐标角动量算符描述了自由粒子的角动量性质。

动量算符与角动量算符

动量算符与角动量算符

1.ξ表示力学量的算符 1、力学量的平均值及算符的引入。

粒子处于r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭所描述的态下，虽然不是所有力学量都有确定的值，但它们都具有确定的几率分布，因而有确定的平均值，如位置x 的平均值为：23x r xd r ψ+∞-→-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰这里假设波函数已归一化，又如，势能U r →⎛⎫ ⎪⎝⎭的平均值为2__3U r U r d r ψ+∞→→-∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，测势能误差中如下图()_f x x 一定，则定了，当然，误差理论中()f x 不固定。

但怎样计算动量的平均值？因波粒二象性，微观粒子的,r p →→不能同时有完全确定的值，（测不准关系）。

这在物理上可以这样理解：按德布罗意关系，hp λ=因λ是描述波的空间变化快慢的量，是与整个波动联系的量，所以，正如“空间某一点的波长”的提法无意义一样，微粒在空间某一点的动量的提法同样无意义。

所以 ，不能象求势能平均值一样，来求动量平均值，即：__23()p r p r d r ψ→→→→⎛⎫≠ ⎪⎝⎭⎰必须按一种方法来解决这个问题。

如前所述，给定波函数r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭后，测得粒子动量在,p p d p →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的几率为23c p d p →⎛⎫⎪⎝⎭，其中，()33212i p rc p r ed r ψπ→→+∞-→→-∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰所以，可以借助于c p →⎛⎫ ⎪⎝⎭来间接计算__p →：()()()()__2333332333231212i p r i p r p c p pdd pc p p c p d pd r re p c p d rd p r i e c p d r r i r ψπψπψψ→→→→+∞→→→-∞+∞→→→*-∞+∞-→→→*-∞+∞→→*--∞+∞→→*-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-∇ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-∇ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即找到了用r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭直接计算__p →的公式，而不必借助于r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭的付式变换c p →⎛⎫ ⎪⎝⎭来间接计算。