角动量算符的明确形式
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【精品】5.4角动量算符
【精品】5.4角动量算符角动量是量子力学中的一个重要概念，描述了物体绕某个轴旋转的性质。
在量子力学中，角动量由角动量算符表示。
5.4 角动量算符是指由两个轨道角动量算符构成的总角动量算符。
在量子力学中，角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
轨道角动量算符用L表示，自旋角动量算符用S表示。
轨道角动量算符具有以下性质：1. 轨道角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 轨道角动量算符的大小由量子数l确定，满足 |L| = ℏ√(l(l+1))。
3. 轨道角动量算符的z分量由量子数m确定，满足Lz = ℏm。
4. 轨道角动量算符的不确定关系为 [Lx, Ly] = iℏLz。
自旋角动量算符具有以下性质：1. 自旋角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 自旋角动量算符的大小由自旋量子数s确定，满足 |S| = ℏ√(s(s+1))。
3. 自旋角动量算符的z分量由自旋量子数ms确定，满足 Sz =ℏms。
4. 自旋角动量算符的不确定关系为 [Sx, Sy] = iℏSz。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成。
总角动量算符J由L和S相加，即 J = L + S。
总角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
总角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
5.4角动量算符的性质：1. 5.4角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
2. 5.4角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
3. 5.4角动量算符满足角动量的加法关系，即 J² = L² + S² + 2LS。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成，描述了物体的总角动量性质。
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质量子力学是研究微观世界的一门科学，其中的角动量是描述微观粒子运动的重要概念之一。
在量子力学中，角动量不再是连续的，而是以量子化的形式存在。
为了准确描述粒子的角动量性质，量子力学引入了角动量算符。
角动量算符是量子力学中的一种数学工具，用来描述粒子的自旋和轨道角动量。
自旋是粒子固有的性质，而轨道角动量则与粒子在空间中的运动有关。
角动量算符包括自旋算符和轨道角动量算符，分别记作S和L。
自旋算符S描述了粒子的自旋性质，自旋可以简单理解为粒子内部固有的旋转。
自旋算符的本征态通常用符号|s,m>表示，其中s是自旋量子数，m是自旋在特定方向上的投影。
自旋算符与自旋矩阵有关，它们的本征值代表了粒子的自旋状态。
轨道角动量算符L描述了粒子的轨道运动和角动量性质，在经典物理中，轨道角动量的大小和方向是连续变化的，而在量子力学中，它们变为用量子数来描述。
轨道角动量算符的本征值问题由角动量算符的各个分量组成，通常记作Lx、Ly和Lz。
轨道角动量算符的本征态通常用符号|l,m>表示，其中l是轨道角动量量子数，m是轨道角动量在特定方向上的投影。
自旋算符和轨道角动量算符满足一系列的关系和运算规则，比如它们之间满足对易关系，即[Sx,Sy]=iħSz。
这些关系和规则是量子力学中角动量的数学基础，通过它们可以推导出角动量的一些性质和量子态之间的变换关系。
利用角动量算符可以描述多种粒子的性质，比如电子、质子、中子等。
每种粒子都有自己特定的角动量性质，它们的角动量量子数和本征值可以通过实验测量获得。
在描述多电子系统或原子结构时，角动量算符的应用尤为重要，它可以帮助解释原子轨道、电子的自旋和轨道耦合等现象。
总结一下，量子力学中的角动量算符是用来描述粒子角动量性质的数学工具，它包括自旋算符和轨道角动量算符。
自旋算符描述了粒子的自旋性质，轨道角动量算符描述了粒子的轨道运动和角动量性质。
利用角动量算符可以推导出一系列角动量的数学关系和运算规则，并应用于多种粒子的性质描述中。
角动量算符
设m有N个值,且已知 N = 2 j + 1 → j = , 2 可见,j取零,整数和半整数.如轨道角动量j=l,电子自旋角动量j=1/2.
N 1
角动量算符的本征方程为:
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
J 2 和 J x 的本征值问题 7.1.4
A A 1 利用算符公式: e Pe = P + [ A, P] + 2 [ A, [ A, P]] + …
π
2
,则相应的
1 = Jx, 得: R J z R 2 1 2 RJ R = J ,
即
J x .R j, m = mR j, m , 2 2 J .R j, m = j ( j + 1) R j, m
2 J + J = J 2 J Z + J Z
2 J _ J + = J 2 J Z J Z
λ ≥ m 2.由前性质5,具
这样,
2 J 2 J Z = J _ J + + J Z = J + J J Z
= 1 (J + J + J _ J + ) 2
+ + = 1 (J J + J + J + ) 2
(3) (4) (5)
2 [J ± , J ] = 0
∧ [ J ± , J Z ] = J ± ;
2 J ± J = J 2 J Z ± J Z
7.1.3
J 2, JZ
的本征值
设本征方程为:
2 2 J λ , m = λ λ , m , J z λ , m = m λ , m
关于角动量各分量相关
关于角动量各分量相关表达在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator)是一种算符，类比于经典的角动量。
在原子物理学涉及旋转对称性 (rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有中心的角色。
角动量，动量，与能量是物体运动的三个基本特性[1]。
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。
在孤立系统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。
在量子力学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现于一点或一刚体。
在量子尺寸世界，分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其概率性行为，而不是命定性 (deterministic)行为。
定义：在经典力学里，角动量定义为位置与动量的叉积：。
在量子力学里，对应的角动量算符定义为位置算符与动量算符的叉积：。
由于动量算符的形式为。
角动量算符的形式为。
其中，是梯度算符。
如果角动量分量的单位矢量用i ,j,k 表示，z y x p p p ,,，表示直角坐标系中个方向的动量，则可以有z y xp p p z yx k j i，如果相关其中一个分量与其它分量的关系可以用行列式关系。
关于z 轴方向的角动量可以用行列式x y y x z yp xp p p y xM -==角动量是厄米算符在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。
角动量是一个可观察量，所以，角动量算符应该也是厄米算符。
让我们现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 ：。
其伴随算符为。
由于 、 、 、 ，都是厄米算符，。
由于与之间、与之间分别相互对易，所以，。
因此，是一个厄米算符。
类似地，与都是厄米算符。
总结，角动量算符是厄米算符。
柱坐标角动量算符
柱坐标角动量算符引言角动量算符是量子力学中的重要概念之一，它描述了物体的旋转性质。
在经典力学中，角动量由角速度和转动惯量决定。
而在量子力学中，角动量的概念需要使用算符来描述，并且量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有许多不同之处。
本文将介绍柱坐标下的角动量算符，以及它在量子力学中的重要应用。
柱坐标角动量算符的定义在量子力学中，角动量算符分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
柱坐标角动量算符是轨道角动量算符的一个特例，用来描述自由粒子的运动状态。
轨道角动量算符柱坐标系下的角动量算符可以表示为：$$\\hat{L}_z = -i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial \\phi}$$其中，$\\hbar$是普朗克常量的约化形式。
自由粒子的角动量对于自由粒子，其态函数能够写成径向部分和角向部分的乘积形式：$$\\Psi(r, \\theta, \\phi) = R(r)Y(\\theta, \\phi)$$其中，R(r)表示径向部分的函数，$Y(\\theta, \\phi)$表示角向部分的函数。
柱坐标角动量算符柱坐标角动量算符的形式为：$$\\hat{L}_z = -i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial \\phi}$$根据算符的性质，可以得出柱坐标角动量算符的平方形式为：$$\\hat{L}^2 = -\\hbar^2\\left(\\frac{1}{\\sin{\\theta}}\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\sin{\\theta}\\frac{\\partial}{\\partial \\theta} +\\frac{1}{\\sin^2{\\theta}}\\frac{\\partial^2}{\\partial \\phi^2}}\\right)$$柱坐标角动量的物理意义柱坐标角动量算符描述了自由粒子的角动量性质。
角动量表达式
角动量表达式角动量是物理学中的一个重要概念，它描述了物体的旋转运动状态。
在经典力学中，角动量的表达式可以用一组基本变量来表示。
本文将介绍角动量的定义、性质、以及角动量表达式的推导过程。
一、角动量的定义角动量是一个矢量量，它定义为物体的旋转运动状态的量度。
在经典力学中，角动量的定义可以用以下公式表示：L = r × p其中，L表示角动量，r表示物体相对于某一点的位置矢量，p 表示物体的动量。
这里的×表示向量积运算。
二、角动量的性质角动量具有以下几个重要的性质：1. 角动量是守恒量。
在一个封闭系统中，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量将保持不变。
这个性质被称为角动量守恒定律。
2. 角动量是一个矢量量。
角动量的方向与位置矢量和动量的方向垂直，并遵循右手定则。
3. 角动量的大小与物体的质量、速度和旋转半径有关。
当物体的速度或旋转半径增加时，角动量也会增加。
三、角动量表达式的推导我们可以通过以下步骤来推导角动量的表达式：1. 从动量的定义开始。
动量可以表示为：p = mv其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
2. 将速度表示为角速度和旋转半径的乘积。
对于一个围绕某一点旋转的物体，它的速度可以表示为：v = ωr其中，ω表示角速度，r表示旋转半径。
3. 将动量表示为角速度、旋转半径和质量的乘积。
将第一步和第二步的结果代入角动量的定义式中，得到：L = r × p = r × mv = r × m(ωr) = m(r × r)ω4. 将向量积运算转化为行列式运算。
将第三步的结果写成行列式的形式，得到：L = |i j k||rx ry rz||mrx mry mrz| ω其中，i、j、k分别表示x、y、z方向的单位矢量。
5. 化简行列式并提取公因数。
将第四步的结果化简，并提取公因数，得到：L = m(r2ω)i + m(r2ω)j + m(r2ω)k综上，我们得到了角动量的表达式：L = m(r2ω)i + m(r2ω)j + m(r2ω)k四、结论角动量是一个描述物体旋转运动状态的重要概念。
9-角动量+氢原子
这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ)
x y z
将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
r x = sin cos r = sin sin y r = cos z 1 = cos cos r x 1 = cos sin r y 1 = sin r z
具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。
球谐函数表示的角动量平方算符的本征函数可用狄拉克标记写成
Ylm ( , ) = l, m
其正交归一 条件可写成为：
l , m l , m = l ,l m,m
二、
类氢原子能级和波函数
2 2 h Ze ˆ = 1、体系 Hamilton 量 H 2 2 r
ˆ2 h2 L Ze2 2 (r ) = E 2 2 r 2 r r 2 r r
2 1 1 ˆ = h L (sin ) sin 2 2 sin 2 2
x
球 坐 标
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
=0
[( s)( s 1) l (l 1)]b
[ s( s 1) l (l 1)]b0
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s 2
[ ( s )]b s 1 = 0
=0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
角动量平方算符
ˆ z zp ˆ y = ih ( y Lx = yp z z y ) ˆ x xp ˆ z = ih( z x x L y = zp z) ˆ ˆ L = x p y p = i h ( x y z y x y x )
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
角动量表达式
角动量表达式角动量表达式角动量是物理学中一个非常基本的概念，它是描述物体旋转运动的特定量。
在量子力学中，角动量的概念更加广泛和深入，它对描述微观世界的物理过程和结果起着至关重要的作用。
本文将详细介绍角动量的概念和表达式。
一、角动量的概念角动量（Angular Momentum）是物理学中描述物体旋转运动的特定量。
简单来讲，旋转物体的角动量大小与物体质量、旋转速度以及旋转半径有关。
例如，一个以角速度ω绕某个轴旋转的质量为m的刚体，它的角动量公式可以表示为：L=Iω ——式（1）其中，I是该刚体绕轴的转动惯量，它是描述物体旋转惯性的物理量。
可以看出，物体的角动量随着其旋转的快慢以及转动惯量的大小而变化。
二、角动量的分类1.轨道角动量当物体绕某一中心轴旋转时，它产生的角动量称为轨道角动量（Orbital Angular Momentum）。
用符号L表示。
轨道角动量与物体质量、速度以及距离有关。
其表达式如下：L=r×p ——式（2）其中，r是物体相对于旋转轴的位置矢量，p是物体的动量矢量。
可以看出，物体的轨道角动量随着物体位置和动量的变化而变化。
2.自旋角动量自旋角动量（Spin Angular Momentum）是微观粒子的一个特殊性质，是除质量、电荷、磁矩外的一个基本属性。
用符号S表示。
自旋角动量是粒子自身的旋转运动，与粒子的质量和电荷无关。
其表达式如下：S=√s(s+1)h ——式（3）其中，s是自旋角动量大小，h是普朗克常数。
可以看出，自旋角动量大小取决于自旋量子数，而与物体位置和动量无关。
三、算符表示在量子力学中，物理量用算符表示。
角动量也不例外，它有一个对应的算符表示。
对于轨道角动量，它的算符表示为：L=xpy−yp x ——式（4）其中，x和y分别代表坐标方向，px表示动量x方向分量，py表示动量y方向分量。
对于自旋角动量，它的算符表示为：sz|s,m⟩=m|s,m⟩——式（5）其中，s和m分别代表自旋量子数和z方向自旋分量，|s,m⟩表示自旋态，sz是z方向自旋角动量算符。
5.4角动量算符
各因子空间中的完全性关系为： ∫ r 2 dr r r = 1 ∵ 和
∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
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2
对于绕 z 轴旋转 角，(44)式成为
若是一无穷小角度，则可将上式展开并保留 到一阶项：
3
将此式与(43)式的一阶展开 比较得到
此式当然与我们直接由 L = r p 求得的结 果相一致。
4
2、多分量态函数情况
多分量态函数的旋转变换，有一矩阵 D 作用于内禀 自由度；即其形成态函数各分量的线性组合。
5
因此，(43)式幺正算符的普遍形式为
(46)
它的两个因子相互对易，因为第一个作用于坐 标x, 而第二个作用于列矢量的分量. 幺正矩阵D 可以写作
(47)
6
其中，S = (Sx, Sy, Sz)为厄米矩阵.
将(47)代入(46)并与(43)比较，我们看到角动量 算符的形式为
J=L+S
(48)
这里 L = r p ，[ L , S ]=0 ( = x, y, z).
算符 L 和 S 分别称为角动量的轨道部分和自旋 部分.
7
§3.4 角动量算符的明确形式
如上所述，相应于绕一轴旋转角的幺正算符
可以表示为
(43)
其中， 表示沿转轴的单位矢量。
1
1、单分量态函数情况
令 为一在坐标表象中的单分量态函数，则 经一旋转变换后为
(44)
其中，R是(43)形式的算符，R-1是33的坐标旋 转矩阵的逆矩阵。譬如对于直角坐标的三个轴：
对于绕 z 轴旋转 角，(44)式成为
若是一无穷小角度，则可将上式展开并保留 到一阶项：
3
将此式与(43)式的一阶展开 比较得到
此式当然与我们直接由 L = r p 求得的结 果相一致。
4
2、多分量态函数情况
多分量态函数的旋转变换，有一矩阵 D 作用于内禀 自由度；即其形成态函数各分量的线性组合。
5
因此，(43)式幺正算符的普遍形式为
(46)
它的两个因子相互对易，因为第一个作用于坐 标x, 而第二个作用于列矢量的分量. 幺正矩阵D 可以写作
(47)
6
其中，S = (Sx, Sy, Sz)为厄米矩阵.
将(47)代入(46)并与(43)比较，我们看到角动量 算符的形式为
J=L+S
(48)
这里 L = r p ，[ L , S ]=0 ( = x, y, z).
算符 L 和 S 分别称为角动量的轨道部分和自旋 部分.
7
§3.4 角动量算符的明确形式
如上所述，相应于绕一轴旋转角的幺正算符
可以表示为
(43)
其中， 表示沿转轴的单位矢量。
1
1、单分量态函数情况
令 为一在坐标表象中的单分量态函数，则 经一旋转变换后为
(44)
其中，R是(43)形式的算符，R-1是33的坐标旋 转矩阵的逆矩阵。譬如对于直角坐标的三个轴：