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第09-11讲 角动量本征方程的解一、角动量和角总动量算符的回忆刚体转子的薛定谔方程ψψE H = 中IMH 2ˆ =2 因此方程即是ψψE IM=2ˆ2 (Ⅱ-1) 整理后得ψψψ22ˆ2ˆM IE M== (Ⅱ-2) 其中2222ˆˆ + ˆˆzy x M M M M +=且 ],[ˆy z z y i M x ∂∂-∂∂-= ][ˆzz z z i M y∂∂-∂∂-= , ][ˆx y y x i M z ∂∂-∂∂-= . 式(Ⅱ-2)也是角动量2M 的本征方程。
为了方便求解方程，采用球极坐标的形式，球坐标与直角坐标的变换关系φθcos sin r x = (r:0→∞) φθsin sin r y = (θ:0→π)θcos r z = (φ:0→2π) (Ⅱ—3)逆变换关系是222z y x r ++=222cos zy x z ++=θxy=ϕtan (Ⅱ—4) 于是有偏微商关系φθcos sin =∂∂xr φθsin sin =∂∂y r θcos =∂∂z rr x φθθcos cos =∂∂ r y φθθsin cos =∂∂ r z θθsin -=∂∂θφφsin sin r x =∂∂ θφφsin cos r y =∂∂ 0=∂∂z φ则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=y z zy i M x⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=φφθθθφφθθφθy y r y r r z z r z r r i cos sin sin()()()]cos cot sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin [22φφθθφθφθφθφφφθ∂∂-+∂∂--+∂∂--=r r r i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφcos cot sin i同法得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=φφθθφsin cot cos i M yφ∂∂-=i M z (Ⅱ---5) 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=y z z y i M x）（ 22cos cot sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφ）（ i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=φφθθφφφθθφcos cot sin cos cot sin 2 )cos cot cot cos sin cot sin cos cot cos cot cos sin sin 1cos sin (sin 2222222222222φφθφθφφθφθφφθθφθφθφφφθφφθφ∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂++∂∂∂+∂∂∂∂-=－222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=z x x z i M y）（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=φφθθφφφθθφφφθθφsin cot cos sin cot cos sin cot cos 2222y M)sin cot cot cos sin cot sin cos cot sin cot cos sin sin sin 1cos (cos 2222222222222φφθθφθφφφθφφθθφθφθφφφφθφθφ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂-+∂∂∂-∂∂+∂∂-=2222ˆˆ + ˆˆzy x M M M M += )cos cot cot cos sin cot sin cos cot cos cot cos sin sin 1cos sin (sin 2222222222222φφθφθφφθφθφφθθφθφθφφφθφφθφ∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂++∂∂∂+∂∂∂∂-=－)sin cot cot cos sin cot sin cos cot sin cot cos sin sin sin 1cos (cos 2222222222222φφθθφθφφφθφφθθφθφθφφφφθφθφ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂++∂∂∂-∂∂+∂∂-222φ∂∂-)cot cot (22222222φφθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=))1(cot cot (222222φθθθθ∂∂++∂∂+∂∂-= )sin 1cot (222222φθθθθ∂∂+∂∂+∂∂-= )sin 1sin sin 1(2222φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1φθθθθθ M (Ⅱ—6) 方程（Ⅱ—2）即为),(),(2),(sin 1sin sin 122222φθψφθψφθψφθθθθk IE ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- (Ⅱ---7) 其中常数22 IEk =。
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
