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角动量算符

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【精品】5.4角动量算符

【精品】5.4角动量算符

【精品】5.4角动量算符角动量是量子力学中的一个重要概念，描述了物体绕某个轴旋转的性质。

在量子力学中，角动量由角动量算符表示。

5.4 角动量算符是指由两个轨道角动量算符构成的总角动量算符。

在量子力学中，角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。

轨道角动量算符用L表示，自旋角动量算符用S表示。

轨道角动量算符具有以下性质：1. 轨道角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。

2. 轨道角动量算符的大小由量子数l确定，满足 |L| = ℏ√(l(l+1))。

3. 轨道角动量算符的z分量由量子数m确定，满足Lz = ℏm。

4. 轨道角动量算符的不确定关系为 [Lx, Ly] = iℏLz。

自旋角动量算符具有以下性质：1. 自旋角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。

2. 自旋角动量算符的大小由自旋量子数s确定，满足 |S| = ℏ√(s(s+1))。

3. 自旋角动量算符的z分量由自旋量子数ms确定，满足 Sz =ℏms。

4. 自旋角动量算符的不确定关系为 [Sx, Sy] = iℏSz。

5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成。

总角动量算符J由L和S相加，即 J = L + S。

总角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。

总角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。

5.4角动量算符的性质：1. 5.4角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。

2. 5.4角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。

3. 5.4角动量算符满足角动量的加法关系，即 J² = L² + S² + 2LS。

5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成，描述了物体的总角动量性质。

动量算符和角动量算符

动量算符和角动量算符


周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
动量算符角动量算符

动量算符角动量算符


这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
5.4角动量算符

5.4角动量算符

各因子空间中的完全性关系为： ∫ r 2 dr r r = 1 ∵ 和
∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
动量算符和角动量算符

动量算符和角动量算符

显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
exp⎢⎣⎡
i h
( px
−
px′ )⎥⎦⎤dx
=
2πhδ
( px
−
px′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
(py
−
p y′ )⎥⎦⎤dy
=
2πhδ
(
py
−
py′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
( pz
−
pz′ )⎥⎦⎤dz
=
2πhδ ( pz
−
pz′ )
式中 δ ( px − p′x ) 是以 px − p′x 为宗量的 δ 函数，故有
§3.2 动量算符和角动量算符 1．动量算符和本征方程 1). 动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
∂ ∂x
−
x
∂ )
∂z
lˆz
=
xpˆ y
−
3.2 动量和角动量算符

3.2 动量和角动量算符

0
得归一化的波函数为
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
(m = 0, ±1, ±2,⋯ )
L2的本征值问题
ˆ L2Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ )
L2 的本征值方程可写为：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 −ℏ [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ ) (3.2.16) sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ 2 或：
的本征方程 L2的本征方程
ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)ℏ 2Ylm (θ , ϕ )
(3.2.22） ） Lz的本征方程
ˆ LzYlm (θ , ϕ ) = mℏYlm (θ , ϕ )
(3.2.23） ）
→
l z = mℏ
m = 0,±1,±2, ⋯
例: 若体系的波函数就是球谐函数 Y20 (θ , ϕ ) (1)求其角动量矢量与 z 轴的加角. 求其角动量矢量与 轴的加角
2
1 ∂ ∂ 1 ∂2 [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = −λY (θ , ϕ ) 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
(3.2.17)
其中 Y(θ,ϕ) 是 L2 属于本征值 Y(θ λℏ2 的本征函数。此方程就是球谐函数方程 ℏ 的本征函数。 为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的区域(0, π)内是有限的， 则必须满足：λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ... (3.2.18） ）
− iℏ∇ψ p (r ) = pψ p (r )
求解 采用分离变量法，令： 采用分离变量法，
（3.2.1） ）
ψ p ( r ) = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
3.2动量算符和角动量算符

3.2动量算符和角动量算符

§3.2 动量算符和角动量算符一．动量算符。

1. 动量算符的本征值方程：()()r p r ip p ψψ=∇，三个分量方程是 （3.2.1） ()()r p r xi p x p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-x ()()r p r yi p y p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-y （3.2.2） ()()r p r zi p z p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-z 通解是()r p i pCe r∙=ψ，C 是归一化常数。

（3.2.3） 2.动量本征函数的归一化。

()()()()()[]⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-'-+'-+'-∙∞+∞-=dxdydze C d r r z p p y p p x p p ip pz z y y x x2τψψ因为()()x x x p p ip p dx ex x '-=⎰∞+∞-'-δπ2，所以有()()()()()()()()p p C p p p p p p C d r r z z y y x x p p'-='-'-'-=∙+∞∞-⎰δπδδδπτψψ323222如果取()232-= πC ，则()r pψ归一化为δ函数。

()()()()()r p i pp per p p d r r∙∙+∞∞-='-=⎰2321;πψδτψψ（3.2.4）（3.2.5）3.箱归一化在A （L/2,y,z ）和A '(-L/2,y,z)点, ()r p i p Ce r∙=ψ的值应相同。

即⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++-=z p y p L p i z p y p L p i z y x z y x CeCe2121()1=L p ix e所以πx xn L p 2=，x n 是正负整数或零。

,1,0,2±==x xx n Ln p π （3.2.6）,1,0,2±==y yy n Ln p π （3.2.7）,1,0,2±==z zz n Ln p π （3.2.8） 当L ∞→时，z y x p p p ,,的本征值就变为连续谱。

12角动量算符 共同完备本征函数系 力学量完全集

12角动量算符 共同完备本征函数系 力学量完全集


ˆ A n an n
ˆ B n bn n
ˆ ˆ [ A, B] 0 则必有 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 证明： BA n an B n an bn n AB n bn A n an bn n ˆ ˆ 于是 [ A, B] n 0 cn n 对于任意态
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
二、角动量算符的本征问题
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物 理量。为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为轨道角动量。 1．轨道角动量算符的定义
ˆ ˆ Lrp
ˆ Lx yp z zp y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L y zp x xp z ˆ ˆ ˆ Lz xp y yp x
证明：
一个常数因子，即
ˆ B n bn n
ˆ 实际上，当算符 A 的本征值有简并时，可以证明上述结论也是 正确的，但是，此时的共同本征函数系需要加以适当选择。
二、力学量完全集
2
ˆ l 算符 L 的本征值简并，仅由量子数 无法唯一地确定其本征态。 ˆ Lz 要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符 。这样 的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能 唯一地确定体系的状态。 将其推广之，如果有N个相互对易的力学量算符能唯一 地确定体系的状态，就将这N个力学量称为力学量完全集， 或者完整力学数量组。
Y1,0 ( , ) 3 cos 4
3 Y1,1 ( , ) sin ei 8
15 sin cos ei 8
Y1,1 ( , )
3 sin ei 8
Y2,1 ( , )
高等量子力学角动量算符和角动量表象自旋表象

高等量子力学角动量算符和角动量表象自旋表象


在量子力学中，波函数可以在不同的表 象之间进行转换。对于角动量表象和坐 标表象之间的转换，可以通过傅里叶变
换或拉普拉斯变换实现。
在进行表象转换时，需要注意不同表象 之间基函数的正交性和完备性，以及转 换过程中可能出现的数学困难和物理意
义的变化。
在实际应用中，可以根据具体问题的需 要选择合适的表象进行描述和计算，以
未来发展趋势预测
要点一
发展新的理论和方法
随着科学技术的不断进步和计算能力 的不断提高，未来有望发展出更为精 确和高效的理论和方法来处理角动量 和自旋相关的问题。例如，基于量子 计算机的新型算法和模拟方法有望在 解决复杂多体问题方面取得突破。
要点二
拓展应用领域
角动量和自旋作为量子力学中的基本 概念和工具，在各个领域都有着广泛 的应用前景。未来有望将角动量和自 旋的理论和方法拓展到更多的领域， 如量子信息、量子计算、量子模拟等 前沿领域。
自旋算符定义及性质描述
自旋算符定义
自旋算符是用于描述粒子自旋状态的算符，包括自旋角动量算符和其分量算符。
自旋算符性质
自旋算符满足角动量算符的一般性质，如对易关系、本征值问题等。此外，自旋 算符还具有一些特殊性质，如自旋量子数的取值只能是整数或半整数。
自旋算符在量子力学中地位和作用
描述粒子内禀属性
角动量性质
角动量是守恒的，即在没有外力矩作 用的情况下，物体的角动量保持不变 。此外，角动量具有叠加性，多个物 体的角动量可以相加。
量子力学中角动量重要性
描述微观粒子状态
在量子力学中，角动量是描述微观粒子状态的重要物理量之一，它与粒子的自 旋、轨道运动等密切相关。
解释原子光谱
角动量的量子化假设成功解释了原子光谱的规律性，为量子力学的发展奠定了 基础。
角动量算符的本征值和本征函数

角动量算符的本征值和本征函数

角动量算符的本征值和本征函数角动量算符是量子力学中非常重要的一个概念，它描述了粒子的旋转运动。

而角动量算符的本征值和本征函数则是解决角动量问题的基础。

我们来了解一下角动量算符的定义。

在量子力学中，角动量算符是用来描述粒子围绕一个固定点旋转的运动的。

它是一个矢量算符，通常用符号$\hat{L}$表示。

角动量算符可以被分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两种类型。

轨道角动量算符$\hat{L}$描述的是粒子在绕某个点旋转时的运动，而自旋角动量算符$\hat{S}$描述的是粒子自身固有的旋转运动。

接下来，我们来了解一下角动量算符的本征值和本征函数。

本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。

本征值是指在某个特定的状态下，测量角动量算符所得到的结果。

而本征函数则是指在这个状态下，角动量算符作用于某个量子态所得到的结果。

对于轨道角动量算符$\hat{L}$来说，它的本征值为$L(L+1)\hbar^2$，其中$L$为量子数，$\hbar$为普朗克常数除以$2\pi$。

轨道角动量算符的本征函数是球谐函数，它们描述的是粒子在三维空间中的运动。

对于自旋角动量算符$\hat{S}$来说，它的本征值为$s(s+1)\hbar^2$，其中$s$为自旋量子数。

自旋角动量算符的本征函数是自旋函数，它们描述的是粒子自身固有的旋转运动。

在物理学中，我们经常需要计算多个角动量算符的本征值和本征函数。

这时候，我们可以使用CG系数来计算。

CG系数是一组复数系数，它们描述的是两个角动量算符的本征函数之间的关系。

角动量算符的本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。

我们可以使用它们来计算粒子的旋转运动，以及多个角动量算符之间的关系。

在量子力学中，角动量算符的本征值和本征函数是非常重要的概念，对于我们理解粒子的旋转运动和量子力学的基础理论都有着重要的作用。

3.2动量算符和角动量算符

3.2动量算符和角动量算符


i
2
exp[ ( px p x ) x ]dx exp[ ( p y p y ) y ]dy exp[ ( p z p z )z ]dz

i

i
2 3 C 2 (2 )3 ( px p ) ( p p ) ( p p ) C (2 ) ( p p) ( p p) x y y z z
一、 动量算符 (Momentum operator)
ˆ i p
x p i ( , x, y, z )
ˆx p ˆxx i xp ˆ x i p ˆy p ˆyy i yp x ˆ ˆzz i zp z p ˆ y i p ˆy p ˆyx 0 y xp ˆz p ˆz y 0 yp ˆ z i zp p ˆxz 0 z ˆ x p
§3.2 动量算符和角动量算符
p (r ) 本征值方程: i p (r ) p
i x p px p p p y p 三个分量方程: i y p pz p i z
解之得:
p (r ) Ce
i
pr
第三章 量子力学中的力学量
3/34
Quantum mechanics
§3.2 动量算符和角动量算符
归一化常数的确定:


* p (r )dxdydz p ( r )
2
C C




exp[ ( px p x ) x ( p y p y ) y ( p z p z ) x ]dxdydz i
ˆ x F Fp ˆ x i p ˆ y F Fp ˆ y i p ˆ z F Fp ˆ z i p F x F y F z

量子力学中的角动量和角动量算符

量子力学中的角动量和角动量算符量子力学是一门研究微观世界的学科，其理论框架是由一系列的数学工具和基本原理构成的。

其中，角动量是量子力学中一个重要的概念之一。

本文将深入探讨量子力学中的角动量和角动量算符。

一、经典力学中的角动量在深入讨论量子力学中的角动量之前，我们首先要回顾一下经典力学中的角动量。

在经典力学中，角动量是描述物体旋转运动的物理量。

它的大小等于物体的转动惯量乘以角速度，即L=Iω。

根据角动量公式，我们可以得知，当物体的转动惯量变大或角速度增大时，其角动量也会随之增大。

二、角动量的量子化然而，在量子力学中，角动量与经典力学有所不同。

根据量子力学的原理，物理量是以量子的形式存在的，即具有能级的离散取值。

角动量便是其中之一。

量子力学中的角动量是由波函数描述的，而波函数是角动量算符的本征函数。

三、角动量算符在量子力学中，角动量算符用J表示，可以分为轨道角动量算符L和自旋角动量算符S两部分。

轨道角动量算符L与物体的形状和运动有关，描述的是物体的转动运动；而自旋角动量则是描述粒子自身的性质，与其内在特性有关。

这两者的和即为总角动量算符J。

四、角动量算符的本征函数和本征值由于角动量算符是具有量子性质的，所以它的本征函数和本征值是量子力学研究中的重要问题之一。

角动量算符的本征函数可以用球谐函数表示，它们具有特定的轨道和角动量量子数。

这些本征函数对应的本征值则是角动量的取值。

五、角动量的算符性质角动量算符具有一些特殊的代数性质，比如它们之间的对易关系和升降算符。

对易关系给出了角动量算符之间的相互关系，如[Lx,Ly]=iħLz。

而升降算符则可以用来改变角动量的量子态。

这些性质使得我们可以更好地研究和描述量子力学中的角动量现象。

六、角动量的应用角动量在量子力学中具有广泛的应用。

例如，我们可以通过角动量算符来描述原子、分子和固体中的电子的运动状态。

此外，角动量还可以用于解释和预测粒子的自旋现象，如自旋磁矩和自旋共振等。

量子力学中的角动量与角动量算符

量子力学中的角动量与角动量算符角动量是描述物体旋转运动的物理量，它在量子力学中起着至关重要的作用。

量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有所不同，其运动规律由角动量算符来描述。

一、角动量的基本概念在量子力学中，角动量是由角动量算符来表示的，它是描述粒子旋转运动的物理量。

角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两部分。

1. 轨道角动量算符轨道角动量算符由位置和动量算符通过矢量叉积得到，表示为L= r × p。

其中，r为位置矢量，p为动量矢量。

轨道角动量算符包括三个分量：Lx、Ly和Lz。

它们满足角动量的对易关系：[Lx, Ly] = iħLz，[Ly, Lz] = iħLx，[Lz, Lx] = iħLy，其中ħ为普朗克常数除以2π。

2. 自旋角动量算符自旋是粒子的内禀属性，不同于轨道角动量由粒子的运动决定。

自旋角动量算符表示粒子的自旋，通常用S来表示，包括三个分量：Sx、Sy和Sz。

自旋角动量算符的对易关系与轨道角动量相似，均满足：[Sx, Sy] = iħSz，[Sy, Sz] = iħSx，[Sz, Sx] = iħSy。

二、角动量的量子化角动量的量子化是指角动量在量子力学中具有离散的取值。

轨道角动量和自旋角动量的量子化规律不同。

1. 轨道角动量的量子化轨道角动量的量子化是由角动量算符的本征值问题引出的。

根据角动量算符的对易关系，可以得到角动量算符的共同本征函数，并通过求解薛定谔方程得到它们的本征值。

进一步讨论可以得到轨道角动量的量子化条件：L^2 = l(l+1) ħ^2，Lz = mħ，其中l为角量子数，m为磁量子数。

角量子数决定了角动量的大小，磁量子数决定了角动量在空间中的方向。

2. 自旋角动量的量子化自旋角动量的量子化是由自旋角动量算符的性质引出的。

自旋算符的本征值满足：S^2 = s(s+1) ħ^2，Sz = msħ，其中s为自旋量子数，ms 为自旋在空间中的方向。

量子力学中的角动量算符

量子力学中的角动量算符在量子力学中，角动量是一个非常重要的物理量。

它描述了粒子的旋转运动和自旋状态。

为了描述和计算量子系统中的角动量，我们使用角动量算符。

本文将介绍量子力学中的角动量算符以及其相关特性。

一、角动量算符的定义角动量算符是量子力学中用来描述角动量的数学表达式。

对于自然界中的粒子，其角动量算符由三个互相独立的分量组成：Lx、Ly和Lz。

它们分别对应了角动量在x、y和z方向上的投影。

这些算符可以写成以下形式：Lx = yLz - zLyLy = zLx - xLzLz = xLy - yLx其中，x、y和z是坐标系中的轴。

二、角动量算符的性质角动量算符具有一些重要的性质，其中一些是经典力学中角动量的推广，而另一些则是由量子力学的性质决定的。

1. 对易关系角动量算符满足对易关系，即：[Lx, Ly] = iħLz[Ly, Lz] = iħLx[Lz, Lx] = iħLy其中ħ是普朗克常量的约化版本。

2. 共同本征态角动量算符有一组共同的本征态，即轨道角动量的本征态和自旋的本征态。

这些本征态由量子数来标记，分别是轨道角动量量子数l、角动量的z分量量子数m以及自旋量子数s。

对于每一个量子数组合，都对应着一个特定的本征态。

3. 角动量的取值范围轨道角动量的量子数l可以取零或正整数值，如0、1、2等，而z分量量子数m的取值范围为-l到l的整数，例如l为1时，m可以是-1、0或1。

自旋量子数s只能取0或1/2。

这些量子数的取值范围决定了角动量算符的本征值。

三、角动量算符的应用角动量算符在量子力学中的应用非常广泛。

下面将介绍一些常见的应用。

1. 角动量的量子数通过角动量算符，我们可以得到一些重要的物理量，如角动量的大小和方向。

通过计算角动量算符的本征值，可以确定量子系统的角动量取值。

2. 角动量的叠加当将两个或多个角动量相加时，我们需要使用角动量算符来描述。

通过对角动量算符的叠加，可以得到合成系统的总角动量。

动量算符和角动量算符


Lˆ+
=
Lˆx
+ iLˆy
=
ih(−ieiϕ
∂ ∂θ
+ ctgθeiϕ
∂) ∂ϕ
( )( ) ( ) Lˆ+ Lˆ− = Lˆx + iLˆ y Lˆx − iLˆ y = Lˆ2x + Lˆ2y − i Lˆx Lˆ y − Lˆ y Lˆx = Lˆ2 − Lˆ2Z − i(ihLˆz )
所以
见p88 [Lˆx , Lˆ y ] = ihLˆz
[lˆα , pˆ β ] = ihεαβγ pˆγ
——注意到笛卡尔尔坐标 x 、 y 、 z 和球极坐标 r、θ、ϕ 之间的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sinθ sinϕ ，z = r cosθ
4
r 2 = x2 + y 2 + z 2 ， cosθ = z ， tgϕ = y
其中α , β = x, y, z 或1, 2,3
证明：
[xα , lˆβ ] = ihεαβγ xγ
或
[lˆα , xβ ] = ihεαβγ xγ
α, β = x, y, z
[ pˆα , lˆβ ] = ihεαβγ pˆγ 或 [lˆα , lvˆ 2 ] = 0
②在球坐标系中角动量算符的对易关系
=
c exp⎢⎣⎡hi
(1 2
pxl
+
py
y
+
pz z)⎥⎦⎤
或
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
=1
因
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠

动量算符和角动量算符


L/2
L/2
p
*
p
d
c2
d c2L3 1
L / 2
L / 2
( ) e c = L-3/2，归一化的本征函数为： nxnynz
1 3/2
i
p•r
L
e 1
i
p•r
V
关于箱归一化的讨论
（1）箱归一化实际上相当于周期性边界条件。 （2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以 看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L成反比。 当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L 时， 本征值变成为连续谱。
x x0 x x0
0
x0
x
或
x0
x0
(x x0 )dx来自(x x0)dx 1或等价的表示为：对在x=x0 邻 域连续的任何函数 f（x）有：
( 0)
f (x) (x x0)dx f (x0)
—函数的 Fourier 积分形式
1
2
(x x0 )eikxdx
1 eikx0
其分量形式
i i i
x
p
(r )
y
p
(r )
z
p
(r
)
px
p
(r )
p
y
p
(r
)
pz
p
(r
)
(3) 求解动量本征方程
采用分离变量法，令：
p
(r
)
(
x)
(
y)
(
z)
代入动量本征方程分量形式且等式两边除以该式，得：
i
(x
i

球坐标系中的角动量算符

球坐标系中的角动量算符
角动量，又叫角动能，是物理学用来描述物体在它旋转运动时它手上能量的量。

角动量描述物体转动运动的量，而角动能描述物体转动运动的能量。

角动量是以转动物体的质量，其角速度和转动半径的乘积来定义的。

在物理学中，角动量用矢量公式来表示，表示成一个由向量积体积构成的向量，该向量的方向垂直于角速度方向，其模等于角速度质量、其半径乘积。

在天体力学中，角动量是衡量天体旋转运动状态的重要物理量，表示天体转动
物质在任意半径以内的转运动能量的总和。

特别是重力潮汐影响下的多天体系统，研究其能量换取机制，对分析其运动状态和稳定性有重要意义。

角动量算符也被称为洛伦兹算符，它是构成天体力学的基础，是可以用力学方
程来表示它的运动和演化的物理学量。

角动量算符具有一些特性，用来表示它在转运动中的特点，它是一个向量变量，描述速度、加速度算符中的转角，具有质量、立体角等特点。

它可以把旋转方程参数化，从而提供天体运动状态和演变律的数学描述。

角动量算符还有其他一些应用，比如在重力潮汐影响下的多天体系统中，它可
以用来分析系统的能量变化和转移情况。

它还可以用来描述行星物理量的总体特性，帮助提供行星的动力学行为的数值模拟。

最后，由于它具有特殊的立体角特性，还可以用来分析控制机器人的动作，从而提供五摆动和六自由度技术。

总的来说，角动量算符是一个重要的物理概念，可以用来表示物体在它转动运
动中的能量特征。

它还可以提供天体力学中物体演化律及其他应用，是它在实际工程、科学研究中受到广泛重视的。

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设m有N个值,且已知 N = 2 j + 1 → j = , 2 可见,j取零,整数和半整数.如轨道角动量j=l,电子自旋角动量j=1/2.
N 1
角动量算符的本征方程为:
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
J 2 和 J x 的本征值问题 7.1.4
A A 1 利用算符公式: e Pe = P + [ A, P] + 2 [ A, [ A, P]] + …
π
2
,则相应的
1 = Jx, 得: R J z R 2 1 2 RJ R = J ,
即
J x .R j, m = mR j, m , 2 2 J .R j, m = j ( j + 1) R j, m
2 J + J = J 2 J Z + J Z
2 J _ J + = J 2 J Z J Z
λ ≥ m 2.由前性质5,具
这样,
2 J 2 J Z = J _ J + + J Z = J + J J Z
= 1 (J + J + J _ J + ) 2
+ + = 1 (J J + J + J + ) 2
(3) (4) (5)
2 [J ± , J ] = 0
∧ [ J ± , J Z ] = J ± ;
2 J ± J = J 2 J Z ± J Z
7.1.3
J 2, JZ
的本征值
设本征方程为:
2 2 J λ , m = λ λ , m , J z λ , m = m λ , m
首先证明 J 2 的本征值不小于 J Z本征值的平方,即 体的有:
将上式两端分别乘以 λ , m 和 λ , m 所以: λ , m J 2 J 2 λ , m ≥ 0,
Z
,由于 λ , m A + A λ , m ≥ 0,
即: (λ m 2 ) 2 λ , m λ , m ≥ 0,
2 得: λ m ≥ 0 或
λ ≥ m2
上式表明m数值有一定的限制.对于给定 的 符的性质有
J 作态空间的转动变换,设变换为幺正变换,绕 y 轴旋转 i i 转动算符为:R = exp[ π y.J ] = exp[ π J y ], 2 2 这样上小节中求得的本征方程就变换为:
RJ z R 1 .R j , m = m.R j , m , RJ 2 R 1 .R j , m = j ( j + 1) 2 .R j , m
λ ,设m 的最大值为j,则利用升算
J + λ, m = j = 0
则
2 2 0 = J J + λ , j = ( J J z J z ) λ , j = ( λ j 2 j ) 2 λ , j
从而有:
λ = j + j 2 = j( j +1)
类似的设m的最小值为 j ′ ,利用降算符的 性质有 , J λ, m = j′ = 0 2 2 则 0 = J + J λ , j ′ = ( J J z + J z ) λ , j ′ = (λ j 2 + j ′) 2 λ , j ′ 从而有: λ = j ′ 2 j ′ 代入 λ = j( j +1) 解得 j ′ = j 或 j ′ = j + 1 但是 j ′ = j + 1 没有意义,所以: j ≤ m ≤ j
2 2 这样, R j , m 是 J ,J x本征值为 j ( j + 1) ,m 的本征矢.
�Hale Waihona Puke 7.1 角动量算符7.1.1定义
以一下对易关系作为角动量算符的一般定义: 2 2 2 2 J × J = iJ , J = J x + J y + J z
∧
可以证明,J
2
与
2
∧
J
的每一个分量都对易:
2 2
[J , J x ] = [J , J y ] = [J , J z ] = 0
两个算符对易时有共同点本征矢量,因此 J 与 J 的每一个分量,如 J Z , 都有共同的本征矢量,记为 j, m ,本征方程设为
2
∧
∧
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
式中j和m是待定量子数.
7.1.2 升算符和降算符
容易证明: + (1) J + = J (2) [ J + , J ] = 2J z ;
引入升降算符: ± = J x ± iJ y J