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动量算符角动量算符

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第三章 力学量的算符表示

第三章 力学量的算符表示


∂ ∂ L y = −ih(cos ϕ − ctg θ sin ϕ ) ∂ϕ ∂θ
∧
∂ L z = −ih ∂ϕ
∧
L = L x+ L y+ L
1 2 ∇ = 2 r
∧2
∧2
∧2
∧2 z
1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 = −h [ (sin θ )+ 2 ] 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 )+ (sin θ )+ (r ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ 1 ∂ 2 ∂ L2 = 2 (r )− 2 21 r ∂r ∂r h
（连带勒让德微分方程）
d2y dy 2 (1 − x ) 2 − 2 x + λy = 0 dx dx
（m=0, 勒让德微分方程）
[L x , L y ] = L x L y − L y L x = ( y p z − z p y )( z p x − x p z ) − ( z p x − x p z )( y p z − z p y )
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= y pz z px − y pz x pz − z py z px + z py x pz − z px y pz + z px z py + x pz y pz − x pz z py
厄密算符 两个波函数ψ和ϕ，满足下列等式
ˆ ˆ ψ ∗ Fϕdτ = ∫ ( Fψ )∗ϕdτ ∫
ˆ 的算符 F 称为厄密算符
5
厄密算符的本征值为实数
ˆ 若 Fψ = λψ
∗
ˆ ψ Fψdτ = λ ∫ψ ψdτ ∫
《量子力学》课程6

《量子力学》课程6

i ( p p )r ห้องสมุดไป่ตู้


2 p ( r ) p ( r ) d c e
* 2
d dxdydz
c





i

e
[( p x p x ) ( p y p y ) y ( p z p ) z ] x z
3 2
p (r )
1
e
i p r
量子力学
函数为

(x) px
1 ( 2 )
1/ 2
i
e
pxx
3、箱归一化
如果我们仍然要求按通常的归一化方式 对动量本征函数归一化，就必须放弃无穷空 间的积分，采用箱归一化方法。以一维为例 [ L , L ] 中运 讨论。设粒子只能在有限空间 2 2 动。由
(x) pn
1 L
i 2 n x
e
L
则满足归一化条件



* pn

pn
dx 1
讨论： h L , p n p n 1 p n L 0 1）当 h 则本征谱由分立谱变成了连续谱 L dp 2）三维情况：粒子被限制的边长为 L 的一个 正方形箱中，取箱的中心为坐标原点，波函 数满足的周期性边界条件为：在两个相对的
L

i L

dx

L 2
i
*

dx
2
L 2
) (
L 2
)
所以对于任意的 ,
(L) 2
*
都有
const 1
( L ) 2
*
角动量算符平方与动量分量的对易关系

角动量算符平方与动量分量的对易关系

角动量算符平方与动量分量的对易关系角动量算符和动量算符是量子力学中的两个重要算符，它们描述了粒子的运动和旋转性质。

在量子力学中，一个物理量A的算符表示为^A，而物理量B的算符表示为^B。

首先，我们来定义角动量算符和动量算符：1. 角动量算符：在量子力学中，角动量算符通常用L表示，其三个分量的算符分别为^L_x，^L_y和^L_z。

2. 动量算符：动量算符通常用p表示，其三个分量的算符分别为^p_x，^p_y和^p_z。

然后，我们来讨论角动量算符平方和动量算符分量的对易关系。

在量子力学中，对易关系可以用来描述两个算符的关系，对易关系为[ ^A, ^B ] = ^A ^B - ^B ^A。

首先，我们来计算角动量算符平方和角动量分量的对易关系：( ^L_x )^2 = ^L_x ^L_x = ( ^L_x ^L_x - ^L_x ^L_x ) + ^L_x^L_x= ^L_x ( ^L_x ^L_x - ^L_x ^L_x ) + ^L_x ^L_x= [ ^L_x, ^L_x ] ^L_x + ^L_x ^L_x= 0 + ^L_x ^L_x= ^L_x ^L_x同理，可得( ^L_y )^2 = ^L_y ^L_y 和 ( ^L_z )^2 = ^L_z ^L_z。

接下来，我们来计算角动量平方与动量算符分量的对易关系：[ ( ^L_x )^2, ^p_x ] = ^L_x ^L_x ^p_x - ^p_x ^L_x ^L_x根据量子力学中的对易关系，角动量算符和动量算符的分量满足对易关系：[ ^L_i, ^p_j ] = iħ ε_ijk ^L_k其中ε_ijk是三维Levi-Civita符号，i，j，k可以取x，y，z。

带入上式：[ ( ^L_x )^2, ^p_x ] = ^L_x ^L_x ^p_x - ^p_x ^L_x ^L_x= ^L_x ħ ε_xyz ^L_z - ħ ε_xyz ^L_z ^L_x= ħ ε_xyz ( ^L_x ^L_z - ^L_z ^L_x )同理可得：[ ( ^L_y )^2, ^p_y ] = ħ ε_xyz ( ^L_y ^L_z - ^L_z ^L_y )[ ( ^L_z )^2, ^p_z ] = ħ ε_xyz ( ^L_z ^L_z - ^L_z ^L_z )可见，角动量算符平方和动量算符分量并不对易。

动量算符和角动量算符

动量算符和角动量算符

§3.2 动量算符和角动量算符 1．动量算符和本征方程 1). 动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
或
∇2 = − pˆr2 − lvˆ 2 = − pˆr2 − lvˆ 2
h2 h2r2
h2 h2r2
其中
pˆ r
=
h( ∂ i ∂r
+
1 ), r
pˆ r2
=
−h 2
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )， ∂r
pˆ r 可称为径向动量算符。
③角动量升降阶算符
(I) 定义
5
lˆ+ = lˆx + ilˆy ， lˆ− = lˆx − ilˆy
例： l = 1 m = 0 时，写出Ylm (θ ,ϕ) = Y10 (θ ,ϕ)
r
x
将 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂r ， ∂r ， ∂r ∂x ∂y ∂z
3.2 动量算符和角动量算符

3.2 动量算符和角动量算符


作 换 px ⇔ x，p′ ⇔ x0， 代 ： 则 x 1 δ ( px − p′ ) = x ∫−∞ e 2πh i
∞ i ( px − p′ ) x x h
dx
1 ∞ h px ( x−x0 ) δ (x − x0 ) = dpx ∫−∞ e 2πh
性质
f (x)δ (x − a) = f (a)δ (x − a)
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
r L rA′ ≡ − , y, z 2
y A
r L rA ≡ , y, z 2
ce
i L [ px + py y+ pz z] h 2 i −L [ px + py y+ pz z] h 2
x = r sin θ cosφ, tanφ = y / x sin φ 1 ∂φ x tanφ = y, +x =0 cosφ cos2 φ ∂x
∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂φ = + + ∂xi ∂r ∂xi ∂θ ∂xi ∂φ ∂xi
∂ ∂ ∂r ∂ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂ ∂ ∂r ∂ 或 = + ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂ ∂ ∂r ∂ = + ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂θ ∂ + ∂φ ∂x ∂θ ∂ + ∂y ∂φ ∂θ ∂ + ∂z ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z
∂r n ∂x = si θ cosφ ∂r n n = si θ si φ ∂y ∂r = cosθ ∂z
∂θ 1 = cosθ cosφ r ∂x 1 ∂θ = cosθ sinφ r ∂y ∂θ 1 = − sinθ r ∂z
动量算符和角动量算符的对易关系

动量算符和角动量算符的对易关系

动量算符和角动量算符的对易关系
动量算符和角动量算符的对易关系是量子力学中一个重要的基本原理。

在物理学中，对易关系是指两个算符A和B，它们的对易子是0，即[A,B]=AB-BA=0。

如果两个算符A和B的对易子不等于0，那么它们是不对易的。

在量子力学中，动量算符和角动量算符的对易关系是：
[Px, Lz]=iħYx
[Py, Lz]=iħYy
[Pz, Lz]=iħYz
其中Px、Py和Pz分别表示沿着X、Y和Z方向的动量算符，Lz表示沿着Z方向的角动量算符，ħ是普朗克常数除以2π，而Yx、Yy和Yz 表示一个轨道角动量算符在X、Y和Z方向上的本征值，它们称为
“本征矢”。

这个对易关系告诉我们，在量子力学中，动量算符和角动量算符是互
相影响的。

如果我们测量一个粒子的动量，就会影响其角动量，并且
在测量其角动量时，会影响其动量。

这个关系是量子力学的基本原理
之一，它描述了物理世界的量子性质。

总的来说，动量算符和角动量算符的对易关系是量子力学中一个非常
重要的基本原理，它不仅仅涉及到动量和角动量的测量，还涉及到粒
子的本质结构和量子性质。

因此，对于每一个学习量子力学的人来说，理解动量算符和角动量算符的对易关系是非常必要的。

3.2 动量算符和角动量算符

3.2 动量算符和角动量算符

动量算符的本征方程
本征方程
力学量算符
本征值波函数 本征值
本征值和本征波函数由本征值方程得到 动量算符
动量算符的本征态
解以上方程得
c为归一化常数
归一化出现问题,发散 px = px’ 两种归一方法
利用
( x)
x
这样一来
同时我们从解本征方程看，动量的本征值可取任意值， 连续谱，在处理动量问题时，常把动量的连续本征值变 为分立值，最后在把分立体征值实回到连续本征值。
箱中粒子波函数是动量取分立值的平面波
角动量算符
角动量平方算符
角动量平方算符
角动量算符——球坐标系中的表示
球坐标中P点，直角坐标表示（x,y,z) 球坐标（ r, , ），
z
p
r

y
ห้องสมุดไป่ตู้
在球坐标下，以上算符
有怎样的具体形式？
x
角动量算符——球坐标系中的表示
例如
由
角动量算符——球坐标系中的表示
定轴转动呢？
本征方程
方程求解是困难的 物理要求在整个区域有限
在直坐标 球坐标
角动量算符的本征值和本征函数
有限条件 解是球函数
勒让德多项式
角动量算符的本征函数的归一化
球谐函数
角动量算符的本征值和本征函数
L为角量子数
m为磁量子数
量子数？
角动量算符的本征值问题的应用
应用转动问题 刚性转子 定态薛方程 刚体运动分解 为平动和转动
角动量算符——球坐标系中的表示
这样就求得了 同样方法可求得 带入
角动量算符——球坐标系中的表示
(1)
(2)
(3)
角动量算符——球坐标系中的表示
动量算符角动量算符

动量算符角动量算符


函
即

p
(rv)
p (rv)d
( pv
pv) (3)
其中
p (rv)

1
3
(2 h) 2
exp( i h
pv rv) (4)
这是为由什于么动 量p (rv本) 征不值能可归以一取化连为续1，值而，是pv归的一各化分为量可函取数任：
意实数，动量本征值构成连续谱。
Lˆ2z

h2
2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
h2
1

sin


(sin
)

1
sin2
2
2

Y
(
,)

h2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin


)

1 sin2

2
2

Y
(
,

数中断成为多项式： l(l 1) l 0,1, 2,L (20)
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2,L l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8

(x,
y,

L)

(x,
y,
L)
2
可得到
2
2
2
py
ny
2 h
L
, n
y
0, 1, 2,L
5算符 动量算符和角动量算符

5算符 动量算符和角动量算符

i i
为本征值方程！本征值为动量 Px ，为一实常数。
作业：1、一维线性谐振子的势能为 U x
1 2 x 2 ，它处在 2
x e 2

1 2 x2 2
2
2
x 2 1 的状态中，式中

问：该谐振子的能量有没有确定值？
d2 2 ˆ x ①证明 2、设某体系的哈密顿算符为 H 2 dx
sin x 2 当x 0时， 以周期 振荡，振幅随 x 的增加而减少 x
sin x 2 sin x lim dx lim dx x x 0


1
2
2
k
1 2


e ikx dx

sin k k lim k
i
(1)写为分量形式：
P r ——相应于本征值 P 的本征函数
的本征值
？求解
d Px x dx d Py y d Pz z dz
dy
Px Px x
Py Py y
2
3
i
i
Pz Pz z
4
动能 经典表达式
2 2 ˆ T 动能算符(Kinetic energy operator) 2 角动量
经典表达式
P2 T 2
L rP
ˆ ˆ 角动量算符(Angular momentum operator) L r P ir
三、算符和力学量间的关系
ˆ H E
P i
ˆ 引入动量算符符号： P i
ˆ P 在直角坐标系中的三个分量： ˆ i ，P i ，P i ˆ ˆ Px y z x y z
3.2 动量和角动量算符

3.2 动量和角动量算符

0
得归一化的波函数为
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
(m = 0, ±1, ±2,⋯ )
L2的本征值问题
ˆ L2Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ )
L2 的本征值方程可写为：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 −ℏ [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ ) (3.2.16) sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ 2 或：
的本征方程 L2的本征方程
ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)ℏ 2Ylm (θ , ϕ )
(3.2.22） ） Lz的本征方程
ˆ LzYlm (θ , ϕ ) = mℏYlm (θ , ϕ )
(3.2.23） ）
→
l z = mℏ
m = 0,±1,±2, ⋯
例: 若体系的波函数就是球谐函数 Y20 (θ , ϕ ) (1)求其角动量矢量与 z 轴的加角. 求其角动量矢量与 轴的加角
2
1 ∂ ∂ 1 ∂2 [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = −λY (θ , ϕ ) 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
(3.2.17)
其中 Y(θ,ϕ) 是 L2 属于本征值 Y(θ λℏ2 的本征函数。此方程就是球谐函数方程 ℏ 的本征函数。 为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的区域(0, π)内是有限的， 则必须满足：λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ... (3.2.18） ）
− iℏ∇ψ p (r ) = pψ p (r )
求解 采用分离变量法，令： 采用分离变量法，
（3.2.1） ）
ψ p ( r ) = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
动量算符及角动量算符的球坐标表示

动量算符及角动量算符的球坐标表示

=p •
一
很显然动量算符的 r,0 分量 仇 形式为
九 ＝－访
a
1
a
O
8r
r 汾
分量
r
r
^ ，过渡到量子力学，由于 p 和 r 不对易，为了保证径向
l
8
rsin 0 8<p
。
动量算符是厄密算符我们可以取
仇＝早 • 6 + 6 • _i:_) = -itz立 ＿ 竺 2 r r ar r
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 同理，可以构造 九＝—他 • p +p • e。) = - in.- — - in. 。它 2 r 80 2rt的 也满足厄密性的要求。 2.2.3 -in
在世子力学中，动匮打符P= ih'v这样角动扭环符表示为 l-= ;- f, =-盼X'v
代入(1), 表示成直角坐标系中的(i j k)方向
这样就得到了CL. 工，L.)的球坐标表示式 L, a a := iii(sin!p -十ctgfJcos!p一） afJ 呼
四、推出球坐标中C'的表示式 由(5)可知 一 - a8· aO· -=r·= cos旰· ＇ 、J 动 砰
r 汾
= -itz — - — ，
6
巾
Or
r
I 8
1
2rtg0
， p~ = - iii
1
a
rsin 0 acp
。
' . ' ^ =-ism <p + jcos<p 由坐标变换得 e
- in
1
rsin 0
— = e0 • p
匈
8
•
,
= ~ism <p + j cos<p X九 - y y

3.2动量算符和角动量算符

§3.2 动量算符和角动量算符一．动量算符。

1. 动量算符的本征值方程：()()r p r ip p ψψ=∇，三个分量方程是 （3.2.1） ()()r p r xi p x p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-x ()()r p r yi p y p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-y （3.2.2） ()()r p r zi p z p ψψ=∂∂ ， +∞<<∞-z 通解是()r p i pCe r∙=ψ，C 是归一化常数。

（3.2.3） 2.动量本征函数的归一化。

()()()()()[]⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-'-+'-+'-∙∞+∞-=dxdydze C d r r z p p y p p x p p ip pz z y y x x2τψψ因为()()x x x p p ip p dx ex x '-=⎰∞+∞-'-δπ2，所以有()()()()()()()()p p C p p p p p p C d r r z z y y x x p p'-='-'-'-=∙+∞∞-⎰δπδδδπτψψ323222如果取()232-= πC ，则()r pψ归一化为δ函数。

()()()()()r p i pp per p p d r r∙∙+∞∞-='-=⎰2321;πψδτψψ（3.2.4）（3.2.5）3.箱归一化在A （L/2,y,z ）和A '(-L/2,y,z)点, ()r p i p Ce r∙=ψ的值应相同。

即⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++-=z p y p L p i z p y p L p i z y x z y x CeCe2121()1=L p ix e所以πx xn L p 2=，x n 是正负整数或零。

,1,0,2±==x xx n Ln p π （3.2.6）,1,0,2±==y yy n Ln p π （3.2.7）,1,0,2±==z zz n Ln p π （3.2.8） 当L ∞→时，z y x p p p ,,的本征值就变为连续谱。

3.2动量算符和角动量算符


i
2
exp[ ( px p x ) x ]dx exp[ ( p y p y ) y ]dy exp[ ( p z p z )z ]dz

i

i
2 3 C 2 (2 )3 ( px p ) ( p p ) ( p p ) C (2 ) ( p p) ( p p) x y y z z
一、 动量算符 (Momentum operator)
ˆ i p
x p i ( , x, y, z )
ˆx p ˆxx i xp ˆ x i p ˆy p ˆyy i yp x ˆ ˆzz i zp z p ˆ y i p ˆy p ˆyx 0 y xp ˆz p ˆz y 0 yp ˆ z i zp p ˆxz 0 z ˆ x p
§3.2 动量算符和角动量算符
p (r ) 本征值方程: i p (r ) p
i x p px p p p y p 三个分量方程: i y p pz p i z
解之得:
p (r ) Ce
i
pr
第三章 量子力学中的力学量
3/34
Quantum mechanics
§3.2 动量算符和角动量算符
归一化常数的确定:


* p (r )dxdydz p ( r )
2
C C




exp[ ( px p x ) x ( p y p y ) y ( p z p z ) x ]dxdydz i
ˆ x F Fp ˆ x i p ˆ y F Fp ˆ y i p ˆ z F Fp ˆ z i p F x F y F z

量子力学中的角动量与角动量算符

量子力学中的角动量与角动量算符角动量是描述物体旋转运动的物理量，它在量子力学中起着至关重要的作用。

量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有所不同，其运动规律由角动量算符来描述。

一、角动量的基本概念在量子力学中，角动量是由角动量算符来表示的，它是描述粒子旋转运动的物理量。

角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两部分。

1. 轨道角动量算符轨道角动量算符由位置和动量算符通过矢量叉积得到，表示为L= r × p。

其中，r为位置矢量，p为动量矢量。

轨道角动量算符包括三个分量：Lx、Ly和Lz。

它们满足角动量的对易关系：[Lx, Ly] = iħLz，[Ly, Lz] = iħLx，[Lz, Lx] = iħLy，其中ħ为普朗克常数除以2π。

2. 自旋角动量算符自旋是粒子的内禀属性，不同于轨道角动量由粒子的运动决定。

自旋角动量算符表示粒子的自旋，通常用S来表示，包括三个分量：Sx、Sy和Sz。

自旋角动量算符的对易关系与轨道角动量相似，均满足：[Sx, Sy] = iħSz，[Sy, Sz] = iħSx，[Sz, Sx] = iħSy。

二、角动量的量子化角动量的量子化是指角动量在量子力学中具有离散的取值。

轨道角动量和自旋角动量的量子化规律不同。

1. 轨道角动量的量子化轨道角动量的量子化是由角动量算符的本征值问题引出的。

根据角动量算符的对易关系，可以得到角动量算符的共同本征函数，并通过求解薛定谔方程得到它们的本征值。

进一步讨论可以得到轨道角动量的量子化条件：L^2 = l(l+1) ħ^2，Lz = mħ，其中l为角量子数，m为磁量子数。

角量子数决定了角动量的大小，磁量子数决定了角动量在空间中的方向。

2. 自旋角动量的量子化自旋角动量的量子化是由自旋角动量算符的性质引出的。

自旋算符的本征值满足：S^2 = s(s+1) ħ^2，Sz = msħ，其中s为自旋量子数，ms 为自旋在空间中的方向。

动量算符和角动量算符的交互作用

动量算符和角动量算符的交互作用动量算符和角动量算符的交互作用引言：动量和角动量是量子力学中非常重要的概念。

在量子力学中，我们通常使用算符来描述和操作物理量。

动量算符和角动量算符是两个关键的算符，它们在量子系统中起着至关重要的作用。

接下来，我们将深入探讨动量算符和角动量算符之间的交互作用，并分享我们对这个主题的观点和理解。

一、动量算符和角动量算符的定义和特性1. 动量算符：根据量子力学的原理，动量算符表示粒子的运动状态。

在一维情况下，动量算符可以表示为P = -iħ(d/dx)，其中P是动量算符，ħ是约化普朗克常数，d/dx是对坐标的偏导数运算。

在三维情况下，动量算符变为P = -iħ(∇)，其中∇是哈密顿算符。

2. 角动量算符：角动量算符描述了物体的自转和轨道运动。

在量子力学中，角动量算符一般用L来表示。

在三维情况下，角动量算符有三个分量：Lx、Ly和Lz，它们分别表示绕x、y和z轴的角动量。

3. 动量算符和角动量算符的特性：a. 动量算符和角动量算符都是厄米算符，即它们的本征值都是实数。

b. 动量算符和角动量算符之间满足对易关系：[P, Lx] = [P, Ly] = [P, Lz] = 0。

这意味着动量算符和角动量算符可以同时测量，不会相互干扰。

c. 角动量算符的三个分量之间也满足对易关系：[Lx, Ly] = iħLz，以及它们的循环置换关系。

二、动量算符和角动量算符的交互作用1. 薛定谔方程：在量子力学中，我们使用薛定谔方程来描述物体的量子态演化。

薛定谔方程中的哈密顿算符通常由动量算符和势能算符构成。

在一维情况下，薛定谔方程可以表示为HΨ = EΨ，其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量的本征值。

2. 动量和角动量的耦合：a. 动量和角动量之间的耦合通过角动量算符的导数来实现。

考虑一个单粒子系统，其哈密顿算符可以表示为H = (P^2/2m) + V(r)，其中P是动量算符，m是质量，V(r)是势能。

§3.1-3.2 表示力学量的算符 动量算符和角动量算符


[Ô, Û] = 0 (Ô Û)+ = Ô Û
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
d d d2 (1) 4 x 2 2 (c1u1 + c2u2 ) = 4 x 2 2 (c1u1 ) + 4 x 2 2 (c2u2 ) dx dx dx d2 d2 = c1 ⋅ 4 x 2 2 u1 + c2 ⋅ 4 x 2 2 u2 是线性算符 dx dx
（3Байду номын сангаас算符之和
若两个算符 Ô、Û 之和定义为：对体系的任何波函数 有： 、 之和定义为：对体系的任何波函数ψ
(Ô＋Û)ψ=Ôψ+ Ûψ
Hˆ = Tˆ + V ˆ 算符 Hamilton 体系动能算符 势能算符 表明 Hˆ 等于 Tˆ 和 V ˆ 之和。 之和。
显然，算符求和满足交换率和结合率。 显然，算符求和满足交换率和结合率。
4 掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。了 解 掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果 氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。 氢原子内电子坐标取值的概率分布、 氢原子内电子坐标取值的概率分布、电流密度分布和原 子磁矩的概念。 子磁矩的概念。 5 掌握厄密算符的性质：本征值为实数，本征函数的正 掌握厄密算符的性质 本征值为实数， 厄密算符的性质： 交性和完备性。 交性和完备性。 6 理解和掌握测不准关系。 理解和掌握测不准关系。 测不准关系
例如： 例如：算符 x ∂ ˆ px = −iℏ ∂x 不对易。 不对易。
证：
ˆ (1) xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ = − iℏx ∂∂x ψ
ˆ (2) px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ = −iℏψ − iℏx ∂∂x ψ

动量算符和角动量算符


Lˆ+
=
Lˆx
+ iLˆy
=
ih(−ieiϕ
∂ ∂θ
+ ctgθeiϕ
∂) ∂ϕ
( )( ) ( ) Lˆ+ Lˆ− = Lˆx + iLˆ y Lˆx − iLˆ y = Lˆ2x + Lˆ2y − i Lˆx Lˆ y − Lˆ y Lˆx = Lˆ2 − Lˆ2Z − i(ihLˆz )
所以
见p88 [Lˆx , Lˆ y ] = ihLˆz
[lˆα , pˆ β ] = ihεαβγ pˆγ
——注意到笛卡尔尔坐标 x 、 y 、 z 和球极坐标 r、θ、ϕ 之间的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sinθ sinϕ ，z = r cosθ
4
r 2 = x2 + y 2 + z 2 ， cosθ = z ， tgϕ = y
其中α , β = x, y, z 或1, 2,3
证明：
[xα , lˆβ ] = ihεαβγ xγ
或
[lˆα , xβ ] = ihεαβγ xγ
α, β = x, y, z
[ pˆα , lˆβ ] = ihεαβγ pˆγ 或 [lˆα , lvˆ 2 ] = 0
②在球坐标系中角动量算符的对易关系
=
c exp⎢⎣⎡hi
(1 2
pxl
+
py
y
+
pz z)⎥⎦⎤
或
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
=1
因
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
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２、角动量平方算符定义：
v2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L = L2 = Lx 2 + Ly 2 + Lz 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ 2 −h ( y − z ) + ( z − x ) + ( x − y ) (14) = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z
2
利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 ( x, y, z ) → (r ,θ , ϕ )
x = r sin θ cos ϕ r 2 = x 2 + y 2 + z 2 y = r sin θ sin ϕ θ = z / r cos (15) z = r cos θ tanϕ = y / x z
可得
ˆ = ih(sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ) Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih(cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ) Ly (16) ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ Lz x ∂ϕ
θ
y
ϕ
和
∂2 ˆ L2 = −h 2 2 (17) z ∂ϕ
1 ∂ ∂ ∂2 1 ˆ L2 = − h 2 (sin θ )+ 2 (18) 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ ˆ ˆ ３、角动量 z 分量算符 Lz ： Lz = −ih ∂ (16)′ ∂ϕ
i v v v ψ p (r ) = C exp( p ⋅ r ) 求归一化常数 C ？ h
i = C ∫ ∫ ∫ exp ( px − px′ ) x + ( p y − p y′ ) y + ( pz − pz′ ) z dxdydz h −∞ −∞ −∞
i ′ ) x dx = 2π hδ ( px − px′ ), 其中δ ( px − px′ ) Q ∫ exp ( px − px －∞ h
m
N lm 由 Ylm (θ,ϕ) 的归一化条件定出：
∫ ∫
0
π
2π
0
∗ Ylm (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ = 1 (22)
(l − m )! 2l + 1 得 N lm = (23) (l + m )! 4π
所以，角动量平方算符的本征值是l (l + 1)h 2，本征
函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) ： ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1) h 2Ylm (θ , ϕ ) (24) 本征方程(24)是式(18)的简化表示。
ˆ ６、角动量 z 分量算符 Lz 的本征值方程
ˆ L z Ylm (θ , ϕ ) = m h Ylm (θ , ϕ ) (25)
３、动量本征值的分立化：箱归一化
设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即
L L ψ (− , y, z ) = ψ ( , y, z ) 2 2 i 1 i 1 C exp (− px L + p y y + pz z ) = C exp ( px L + p y y + pz z ) (5) h 2 h 2 px L i 或 exp ( px L) = 1 = 2nxπ , nx = 0, ±1, ±2, ±3L (6) h h
ˆ Lz 算符的本征值为 mh ，本征函数为 Ylm (θ , ϕ ) 。
７、角量子数与磁量子数
(24)式中 l 表示角动量的大小， l 称为角量子数，而
m m 则称为磁量子数。对于一个 l ， = 0, ±1, ±2,L ± l ，共
ˆ 可取 (2l + 1) 个不同值，即对于Lz 的一个本征值 l (l + 1)h 2
(20) 数中断成为多项式：λ = l (l + 1) l = 0,1, 2,L
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) ：
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl (cos θ )eimϕ m = 0, ±1, ±2,L ± l (21)
m
N Pl (cos θ ) 是缔合勒让德多项式， lm 是归一化常数。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
1
v ψ (r , t ) =
v v i ( p ⋅r − Et ) 1 eh (11) 3 (2π h) 2
v v 测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
二、角动量算符
v v v ˆ ˆ １、定义：角动量算符 L = r × p (12)
1 s态 : Y00 = p态 : 4π
3 Y1,1 = sin θ eiϕ 8π Y1,0 = 3 cos θ 4π
3 Y1,−1 = sin θ e− iϕ 8π
2π h 2π h 2π h , py = , pz = 相邻两个分立值的差： px = L L L 当 L → ∞ 时， px → dpx , p y → dp y , pz → dpz , 分立
值
连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化 为１，归一化常数 C =
1 L
3 2
，即
i v v ψ p = 3 exp p ⋅ r (10) h L2 L L 1 L v v 2 2 2 ∗ 证： ∫ψ p′ (r )ψ p (r )dτ = L3 ∫− L2 dx ∫− L2 dy ∫− L2 dz = 1 这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件 归一化方法，称为箱归一化。
，有 (2l + 1) 个不同的本征函数 Ylm (θ , ϕ ) 。
l = 0,1, 2,3L 分别称为s态并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
ˆ L2 本征值是 (2l + 1) 度简并的。
９、球谐函数的例子：
∂2 ˆ L2 = − h 2 z 2 ∂ϕ
４、角动量平方算符的本征值方程：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 Y (θ , ϕ ) = λ h 2Y (θ , ϕ ) −h 2 (sin θ )+ 2 (18) 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 或 (sin θ )+ 2 Y (θ , ϕ ) = −λY (θ , ϕ ) (19) 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
＋∞
是以px − px′为宗量的δ 函数。
v v ∴ (r )ψ p (r )dτ ∫ψ
∗ p′
(2π h)3 C 2δ ( px − px′ )δ ( p y − p y′ )δ ( pz − pz′ ) = v v′ 2 3 C (2π h) δ ( p − p ) =
∴ 如果取 C 2 =
i v v v 它们的解是 ψ p (r ) = C exp( p ⋅ r ) (2) h v 本征值 ( px , p y , pz ) → p 可取所有实数，构成连续谱。
２、动量本征函数的归一化
v v (r )ψ p (r )dτ 计算积分： ψ ∫
∗ p′ +∞ +∞ +∞ 2
ˆ Y (θ , ϕ ) 是 L2 算符属于本征值λ h 2 的本征函数。 其中，
５、角动量平方本征值方程的解
方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要 求 Y (θ , ϕ ) 在 θ，ϕ 变化的范围都能取有限值。
θ : (0, π ) ϕ : (0, 2π )
必须取限制条件确定本征值 λ ，才可以使无穷级
分量式为
ˆ = yp − zp = h ( y ∂ − z ∂ ) = −ih( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx i ∂z ∂y ∂z ∂y ˆ = zp − xp = h ( z ∂ − x ∂ ) = −ih( z ∂ − x ∂ ) (13) ˆx ˆz Ly ∂z ∂x ∂z i ∂x ˆ = xp − yp = h ( x ∂ − y ∂ ) = −ih( x ∂ − y ∂ ) ˆy ˆx Lz i ∂y ∂x ∂y ∂x
数。
∗ p′
1 δ函 3 ，则动量本征函数归一化到 (2π h)
v v v v 即 ∫ψ (r )ψ p (r )dτ = δ ( p − p′) (3) 1 i v v v exp( p ⋅ r ) (4) 其中 ψ p (r ) = 3 h (2π h) 2 v 为什么 ψ p (r ) 不能归一化为1，而是归一化为 δ 函数： v 这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。
这样p x 只能取分立值：
2π h p x = nx nx = 0, ±1, ±2,L (7) L
L L 同理，根据周期性条件 ψ ( x, − , z ) = ψ ( x, , z ) 和 2 2 L L ψ ( x, y, − ) = ψ ( x, y, ) 可得到 2 2 2π h p y = ny , n y = 0, ±1, ±2,L (8) L 2π h p z = nz , nz = 0, ±1, ±2,L (9) L
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
v v v −ih∇ψ p (r ) = pψ p (r ) (1)
函数。
v v p 是动量算符的本征值， ( r ) 是属于此本征值的本征 ψp
分量式：
∂ v v −ih ψ p (r ) = pxψ p (r ) ∂x ∂ v v −ih ψ p (r ) = p yψ p (r ) ∂y ∂ v v −ih ψ p (r ) = pzψ p (r ) ∂z