第三章第1节单自由度系统的强迫振动

单自由度振动系统

m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力

单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或（角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。

根据牛顿定律：mx+cx+kx=F

1.单自由度系统无阻尼自由振动

mx+kx=0；x+kmx=0； 令wm2=k/m，求微分方程的解，得

x=c1eiwnt+c2e−iwnt= c1+c2 coswnt+i c1−c2 sinwnt=b1coswnt+b2sinwnt

将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0

x=Asin(wnt+φ); A= x2+x02wn2 ; φ=tg−1x0wnx0

1.1固有频率

系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。

wn= km；fn=12π km

1.2固有频率计算方法

1）公式法。根据公式wn= km计算

2）静变形法。根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。

3）能量法。根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。

4）瑞利法。考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为wn= km+ρl3 ，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据Ts=12msx2，计算即可。

1.3扭转振动

根据扭转运动的牛顿定律 M=Iθ，M为施加到转动物体上的力矩，I转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。

圆盘转动惯量为I，轴的转动刚度为k。系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与方向相反的弹性恢复力矩-K。

结构动力学课后习题答案

结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：

习题1：单自由度系统自由振动分析

解答：

对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：

\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]

其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：

\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]

习题2：单自由度系统受迫振动分析

解答：

当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：

\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \]

其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。

习题3：多自由度系统模态分析

解答：

对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。特征值问题通常表示为：

\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]

其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。

习题4：结构的冲击响应分析

解答：

对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。

孳科学实践　支承运动引起的强迫振动分析　刘文震１　房娅女亚２（１安徽理工大学理学院；　２安徽淮南中北巴士有限公司）　摘要：根据单自由度系统中支承的运动规律，由达朗贝尔原理得到运动　微分方程，利用线性系统的叠加原理，分析系统中被支承质量的振幅及其与　支承振幅、频率比和阻尼比之间的关系，并由图线具体分析说明；同时，还对　隔振方法进行了分析。　关键词：单自由度叠加原理振幅，频率比阻尼比隔振　１　引言　振动是普遍存在的自然现象。在所有科学技术领域以及人们的　日常生活里，都会遇到各种不同程度的振动过程。在现代的汽车、飞　机、火箭、船舶、各种机械设备和地面建筑物的设计、制造或者使用　等各方面，都有大量的振动问题需要我们去处理。因此，振动过程是　广泛出现在各生产领域中的问题。　单自由度系统在有持续激励时的振动，我们称之为强迫振动。　激励按来源可分为两类，一类是力激励，它可以是直接作用于机械　运动部件上的力，也可以是旋转机械或往复运动机械中不平衡量引　起的惯性力：另一类是由于支承运动而导致的位移激励、速度激励　以及加速度激励，例如，固定在机器上的仪表的振动，车辆在波形路　面上行驶时的振动及凸轮阀门机构的运动等等，都是支承运动引起　的强迫振动。在第一个例子中，则主要考虑和质量块固连的指针与　仪表外壳之间的相对运动ｉ在后面两个例子中，通常感兴趣的是车　辆及质量块的绝对运动，本文只讨论系统的绝对运动。　２单自由度系统的强迫振动分析　ｌ　ｍ　］广一　厅●ｃＩ　ｋ　ｆｘ一　如图＜１＞所示，为一单自由度系统的计算简图，设Ｘ（ｔ）　及ｘ。【ｔ）分别是质量块及支承的位移，支承的运动规律是：　Ｘ　＝ａ　Ｓｌｎ　ｃｏ　ｔ　（１）　由于支承的运动，质量块受到的弹性恢复力为ｋ（Ｘ—ｘ　）阻尼　力为，Ｃ（文～文　）由达朗伯原理得到如下的运动微分方程：　ｍ叉＋Ｃ（文一文　）＋ｋｆｘ—ｘ　）＝０（２）　上式又可写为：　ｍｘ＋Ｃｘ＋ｋｘ＝ｋｘ　＋ＣＸ　．ｆ３）　将式（１）代入式（２）得到：　ｍ戈＋ｃ文＋ｋｘ＝ｋａｓｉｎ　ｔ＋ｃａ∞ＣＯＳｔｏ　ｔ（４）　由此可见，由于支承运动而使质量块ｍ受到得激振力由两部分　组成，一部分是由弹簧传递过来得ｋｘ。，相位与Ｘ　相同，另一部分是　由阻尼器传递过来的ＣＸ　相位比超前　。　由常微分方程理论知道，方程：　ｍ父＋ｃｘ＋ｋｘ＝　，ｓｉｎｕｔ（５）　的通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的任一个特解　两部分组成。　将方程（５）的两端同除以质量，并且令：　兰＝２ｆ　．　＝　（６）　，　其中Ｅ为相对阻尼系数，ｕ　为相应的无阻尼系统的固有频　率，则方程（５）改写为：　Ｐ　叉＋２‘ｕ　文＋ｃｏｅｘ＝　ｓｉｎ　ＣＯｔ　一　１１１　Ｉ　，　将上式写为下列的复数形式：　受十２　“　文＋¨　２ｘ＝ｒＥ）ｅ　（８）　２５４　其中：ｍ是复数，设复数形式的特解为：　ｘ：ｇｅ　（９）　其中：　称为复振幅，其意义是包含有相位的振幅。　百：　＝　＝１　１ＴＩ（　：一【　＋２ｉ毛　记入为频率比，它定义为：　（　）　＝——　则式（１ｏ）可段写成：　ｇ：　！　：　。“　√（１一　）　＋（２　）：　（１２）　Ｂｅ’　（１２）　式中：　Ｂ：　ｋ　Ｊ（Ｉ～　）：＋（２毛　）：　（１３）　：ｔ锄　利用线性系统的叠加原理可知，方程（４）的解是右端项仅为　ｋａ　ｓｉｎ（＾）ｔ和ｃａ　ＣＯ　ＣＯＳ　ｕ　ｔ仅为时的解的和。　由上面的结论，即式（１３），得到：　ｘ（ｔ）＝　Ｉｎ（ｕｔ一　＋　了—　ｃ０ｓ（ｕ卜　）　√（１一　）　＋（２‘　）：　√（１一　）！＋（２‘　）！　：——＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝一×　［ｓｉｎ（ｃ　ｔ一书　）＋２Ｅ）￣ＣＯＳ（ｃｏｔ一书　）】　ｒ—————————■　—　ｆ　１＋（２Ｅ九）　ｆ——————　———————　（ｊ—　）　＋（２Ｅ＾）　＝Ｂｓｉｎ（　）ｔ一（ｂ）　（１４）　其中毛、ＣＯ　、及　的意义与式（６）、（１１）相同，而　２￡＾　ｔａｎ　奇　：＝ｔａ１１　｛２　，＼）　（１５）　ｆ　Ｊ＝（１　一　、：ｔｆａｌ一．——＿＝　一　ｌ一，＼一＋（２∈Ａ）一　“Ｊ　《】一，、一）　＋（２｛，、）　可见，质量块ｍ的振幅ａ取决于支承振幅、频率比Ｊ、及阻尼比毛。　３结论　为了分析方便，这里，记为振幅放大因子，在这里把它定义为：　Ｂ　＝一　１＋（２≤　）　（１６）　以毛为参数，由式（１６）及（１５｝画出的幅频响应曲线及相频响应曲　线如图＜２＞、＜３＞所示。

单自由度受迫振动

一、运动方程的建立

在简谐荷载tPsin)t(P作用在质点m上，其作用线与运动方向一致。此时的运动方程为：

tmPtytysin)()(2

经积分可求得运动方程的解。由初始条件t=0时，0,0vy可得到方程为

tmptmPtvtytysin)(sin)(sincos)(222200

1.1 当θ=0时或P=0时，体系为自由振动，图像如下图：

考虑阻尼的情况下

不考虑阻尼的情况下

当P不为0，且θ不为零的情况下，体系发生受迫振动。

二、无阻尼振动

单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。在模型建立过程当中，可以直接进行建立。在运行时，只需将c=0即可。如下图，结构在受迫振动的同时会有初位移，初速度引起的自由振动，以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量，即伴随自由振动。

三、有阻尼受迫振动

由于有阻尼的作用，自由振动会很快的衰减掉。在振动计算过程中，通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段，而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。这时的振幅和频率是恒定的。成为稳态强迫振动。如图：

3.1 振幅

22-11AmP，

由公式可见，强迫振动的振幅除与干扰力这幅P有关外，还与有关。

3.1.1 

此时0，得styA1，，可知与自振频率相比，频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显，可当静荷载处理，可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化，不存在振动问题。图像如下图所示

3.1.2

此时是一个很大的数，styA1，。表明当干扰力平率远大于自振频率时，动位移将远小于扰力幅值P所产生的静位移，质体将接近静止状态，如下图：

3.1.3

当时，放大系数和动位移的振幅A理论上将趋于无限，而实际上由于阻尼的存在，振幅不会趋于无穷，但仍会远大于静位移sty。此时出现共振。如下图