单自由度系统受迫振动

2
F0
= H (ω ) F0
k − mω + icω = re
2 2 2
iϕ
• 有： r = (k − mω ) + (cω )
x = xe
_ iωt
cω ϕ = arctan k − mω 2
F0 i (ωt −ϕ ) F0 e i (ωt −ϕ ) = e = r (k − mω 2 ) 2 + (cω ) 2
X = X 0ω 0
2 2
(ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2ζω 0ω ) 2
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
tan ϕ =
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 相频特性曲线
• 当频率比s等于1时，相角为 2 。 • 利用相位判断共振：共振相位法。 • 利用振幅判断共振：共振幅值法。
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
2ζs 1− s2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 结论 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同
于激振频率）线性系统对简谐激励的稳态响应是 频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐 振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物 理性质（m, , k, , c）和激振力的频率及力幅，而 与系统进入运动的方式（即初始条件）无关
H v (ω ) ：速度导纳 H a (ω ) ：加速度导纳
k − mω 2 + icω ：速度阻抗 Z v (ω ) = iω k − mω 2 + icω ：加速度阻抗 Z a (ω ) = − 2

振动理论(4-3)第四章单自由度的受迫振动陈永强北京大学力学系振动的隔离原理●机械或者其他原因产生的振动常常是不可避免的，但是通过适当的措施可以把影响降低到最小●隔振系统的作用是保护特定对象免受传过来的过大振动(被动隔振)，或者防止过大的振动力传递到周围环境（主动隔振）●这两个方面本质上是相同的，都是试图降低传递的振动力振动的隔离原理00000/()st x x kx x P k P TR ======弹簧力传递力传递比外力外力k通过弹簧传给下层结构的力012345-1－2-3-41A BCω/ωn振动的隔离原理：无阻尼012345-1－2-3-41A BCω/ωn传递比大于1如果无阻尼情况下2振动的隔离原理: 阻尼考虑阻尼的影响，传递的力包括两部分：弹簧力和阻尼力，分别与位移和速度同相而具有的相位差传递比振动的隔离原理: 阻尼ω/ωn10201230.250.50.5c /c c =0●区域中，阻尼使可传性减小(但仍然比1大)●,传递比小于1，阻尼的存在使可传性更差2●阻尼的存在可以有效防止共振●阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补在不改变传动比的情况下如何降低隔离质量的振幅可以把附放在一个大的质量上, 同时增加弹簧的刚度，保持不变。

由方程可以看到，由于的增大，将降低632014/10/22例题●一机器质量为，支承在总刚度为的弹簧上。

机器上的非平衡旋转部件在转速为3000 rpm时导致的扰动力. 假定阻尼比为, 试确定(a) 非平衡导致的运动振幅；(b) 传递比；(c) 传递的力●解：系统的静挠度为19811411−3m141mm其固有频率为=1332Hz系统的振幅为m=0.0379mm642014/10/22●传递比●传递的力=扰动力传递比N652014/10/22复频率响应●继续讨论系统激励(输入)与响应(输出)关系和描述●振动微分方程可以看成是矢量平衡投影⏹竖直轴投影⏹水平轴投影●把谐振激励表示为●位移记为cωx0mω2x0x0ϕωP0kx0●把复位移向量带入微分方程●可以求得●定义复频率响应(输出与输入的比值)容易看出，依赖于频率比和阻尼因子。

用电磁式振动台为例说明。图 4.1 是一种电磁式振动台的结构示意图。
图 4.1 电磁式振动台
当励磁线圈通以直流电流时，导磁体就形成恒定磁场。当在这种磁场中的振动线圈
有交流电通过时，便受到交变电磁力的作用，使支承在平板弹簧上的导杆以及与导杆联
在一起的台面等在磁场中振动。
由于振荡器供给的交流电是正弦波，产生的电磁力也是简谐力，可用
表示。其频率 和幅值 都可以调节，从而使台面能以不同的频率和振幅作上下振动。
将振动线圈、导杆、台面等简化为集中质量 ，平板弹簧为具有刚度 的弹性元件，
并考虑各部分的阻尼作用，用 表示相应的阻尼系数，振动台可以简化成图 4.1b 所示的
单自由度有阻尼的质量弹簧体系，受
的简谐激励。
4.2 无阻尼受迫振动
进一步分析(4.5)式表示的含义。显然， 是一个具有振幅为
的正弦
波，该振幅取决于频率比 。
图 4.2 常幅 变 频力作用于质量 上的系统绝对运动 共振图
当
时，纵坐标（即振幅）是负值，如何理解负振幅的意义？考虑到
上式表明，“负振幅”相当于与原波相位差为 180 度。在物理上，它表示，当
，
力和运动同相，质量在平衡位置下面而力又向下推质量；而当
以表示为
⁄
假定 和 比较接近，例如
/
,则
⁄
/
⁄
/
在 很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此
⁄
/
/
这是拍的方程。当激振频率和固有频率相等，即
/
，有
即为振幅随时间发散的振动方程。当然，在共振情况下的振幅发展到无穷大是需要一定 时间的。
4-4
4.3 外力的振幅取决于频率的情况
前面讨论的问题中，外力的振幅 是独立于其频率 的。工程中常见的还有振幅 取

第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动单自由度系统是动力学中的一个基本模型，用于描述质点或弹性系统在其中一方向上的振动。

在实际应用中，往往会遇到系统受到外力作用的情况，这时系统的运动方程称为受迫振动方程。

本文将基于第一章学习的单自由度系统的动力学原理，通过一个实际的例子，展示如何利用谐响应分析方法来解决单自由度系统的受迫振动问题。

假设一个质量为m的小球通过一根无摩擦的弹簧与固定点相连，并受到一个周期性外力的作用。

我们的目标是求解小球的运动方程，并分析系统在谐响应下的特性。

首先我们需要建立系统的动力学方程。

根据牛顿第二定律，可以得到受迫振动方程：m*a + c*v + k*x = F0*sin(ω*t)其中，m是小球的质量，a是小球的加速度，c是阻尼系数，v是小球的速度，k是弹簧的刚度，x是小球与平衡位置的位移，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率，t是时间。

根据系统的初始条件，可以得到小球的初始位移和初始速度：x(0)=x0,为了求解受迫振动方程的特解，假设系统在稳态下的解为:x = A*sin(ωt + φ).将上式代入受迫振动方程，可以得到A和φ的关系式：A*[(-mω^2 + k)*sin(ωt + φ) + cω*cos(ωt + φ)] =F0*sin(ωt).由于上式中左右两侧的正弦项和余弦项的系数相等，根据同角正弦和余弦函数的和差公式，可以得到:A*[(-mω^2 + k)*sinφ + cω*cosφ] = F0,为了使得上述两个方程成立，可得到A和φ应满足的条件：解以上方程可以得到稳态下的解A和φ。

得到稳态解之后，我们可以分析系统的振动特性。

首先，可以计算出系统的谐响应函数：谐响应函数H(ω)描述了系统在不同外力频率下的响应强度。

图像的幅频响应特性被称为频率响应曲线。

为了绘制频率响应曲线，我们可以通过改变外力的频率ω来计算不同的稳态解A，进而得到H(ω)的数值。

其次，还可以分析系统的幅频特性。