单自由度系统受迫振动

振动理论(4-3)第四章单自由度的受迫振动陈永强北京大学力学系振动的隔离原理●机械或者其他原因产生的振动常常是不可避免的，但是通过适当的措施可以把影响降低到最小●隔振系统的作用是保护特定对象免受传过来的过大振动(被动隔振)，或者防止过大的振动力传递到周围环境（主动隔振）●这两个方面本质上是相同的，都是试图降低传递的振动力振动的隔离原理00000/()st x x kx x P k P TR ======弹簧力传递力传递比外力外力k通过弹簧传给下层结构的力012345-1－2-3-41A BCω/ωn振动的隔离原理：无阻尼012345-1－2-3-41A BCω/ωn传递比大于1如果无阻尼情况下2振动的隔离原理: 阻尼考虑阻尼的影响，传递的力包括两部分：弹簧力和阻尼力，分别与位移和速度同相而具有的相位差传递比振动的隔离原理: 阻尼ω/ωn10201230.250.50.5c /c c =0●区域中，阻尼使可传性减小(但仍然比1大)●,传递比小于1，阻尼的存在使可传性更差2●阻尼的存在可以有效防止共振●阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补在不改变传动比的情况下如何降低隔离质量的振幅可以把附放在一个大的质量上, 同时增加弹簧的刚度，保持不变。

由方程可以看到，由于的增大，将降低632014/10/22例题●一机器质量为，支承在总刚度为的弹簧上。

机器上的非平衡旋转部件在转速为3000 rpm时导致的扰动力. 假定阻尼比为, 试确定(a) 非平衡导致的运动振幅；(b) 传递比；(c) 传递的力●解：系统的静挠度为19811411−3m141mm其固有频率为=1332Hz系统的振幅为m=0.0379mm642014/10/22●传递比●传递的力=扰动力传递比N652014/10/22复频率响应●继续讨论系统激励(输入)与响应(输出)关系和描述●振动微分方程可以看成是矢量平衡投影⏹竖直轴投影⏹水平轴投影●把谐振激励表示为●位移记为cωx0mω2x0x0ϕωP0kx0●把复位移向量带入微分方程●可以求得●定义复频率响应(输出与输入的比值)容易看出，依赖于频率比和阻尼因子。

第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动单自由度系统是动力学中的一个基本模型，用于描述质点或弹性系统在其中一方向上的振动。

在实际应用中，往往会遇到系统受到外力作用的情况，这时系统的运动方程称为受迫振动方程。

本文将基于第一章学习的单自由度系统的动力学原理，通过一个实际的例子，展示如何利用谐响应分析方法来解决单自由度系统的受迫振动问题。

假设一个质量为m的小球通过一根无摩擦的弹簧与固定点相连，并受到一个周期性外力的作用。

我们的目标是求解小球的运动方程，并分析系统在谐响应下的特性。

首先我们需要建立系统的动力学方程。

根据牛顿第二定律，可以得到受迫振动方程：m*a + c*v + k*x = F0*sin(ω*t)其中，m是小球的质量，a是小球的加速度，c是阻尼系数，v是小球的速度，k是弹簧的刚度，x是小球与平衡位置的位移，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率，t是时间。

根据系统的初始条件，可以得到小球的初始位移和初始速度：x(0)=x0,为了求解受迫振动方程的特解，假设系统在稳态下的解为:x = A*sin(ωt + φ).将上式代入受迫振动方程，可以得到A和φ的关系式：A*[(-mω^2 + k)*sin(ωt + φ) + cω*cos(ωt + φ)] =F0*sin(ωt).由于上式中左右两侧的正弦项和余弦项的系数相等，根据同角正弦和余弦函数的和差公式，可以得到:A*[(-mω^2 + k)*sinφ + cω*cosφ] = F0,为了使得上述两个方程成立，可得到A和φ应满足的条件：解以上方程可以得到稳态下的解A和φ。

得到稳态解之后，我们可以分析系统的振动特性。

首先，可以计算出系统的谐响应函数：谐响应函数H(ω)描述了系统在不同外力频率下的响应强度。

图像的幅频响应特性被称为频率响应曲线。

为了绘制频率响应曲线，我们可以通过改变外力的频率ω来计算不同的稳态解A，进而得到H(ω)的数值。

其次，还可以分析系统的幅频特性。

单自由度受迫振动一、运动方程的建立在简谐荷载t P θsin )t (P =作用在质点m 上，其作用线与运动方向一致。

此时的运动方程为：t mP t y t y θωsin )()(2=+∙∙ 经积分可求得运动方程的解。

由初始条件t=0时，0,0v y 可得到方程为t m p t m P t v t y t y θθωωωθθωωωωsin )(sin )(sin cos )(222200-+∙--+= 1.1 当θ=0时或P=0时，体系为自由振动，图像如下图： 考虑阻尼的情况下不考虑阻尼的情况下当P不为0，且θ不为零的情况下，体系发生受迫振动。

二、无阻尼振动单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。

在模型建立过程当中，可以直接进行建立。

在运行时，只需将c=0即可。

如下图，结构在受迫振动的同时会有初位移，初速度引起的自由振动，以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量，即伴随自由振动。

三、有阻尼受迫振动由于有阻尼的作用，自由振动会很快的衰减掉。

在振动计算过程中，通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段，而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。

这时的振幅和频率是恒定的。

成为稳态强迫振动。

如图：3.1 振幅22-11A ωβm P ∙=，ωθβ= 由公式可见，强迫振动的振幅除与干扰力这幅P 有关外，还与ωθβ=有关。

3.1.1 ωθ<< 此时0≈=ωθβ，得st y ≈≈A 1，μ，可知与自振频率相比，频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显，可当静荷载处理，可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化，不存在振动问题。

图像如下图所示3.1.2ωθ>> 此时ωθβ=是一个很大的数，st y <<<<A 1，μ。

表明当干扰力平率远大于自振频率时，动位移将远小于扰力幅值P 所产生的静位移，质体将接近静止状态，如下图：θ→3.1.3ωθ→时，放大系数和动位移的振幅A理论上将趋于无限，而实际上由于阻当ω尼的存在，振幅不会趋于无穷，但仍会远大于静位移y。

共振时候最大振幅公式
1. 单自由度系统受迫振动共振时最大振幅公式推导。

- 对于单自由度系统的受迫振动，其运动方程为m ẍ+c ẋ+kx = F_0sin(ω t)，其中m为质量，c为阻尼系数，k为弹簧刚度，F_0为激振力幅值，ω为激振力频率，x 为位移。

- 设稳态解x = Xsin(ω t-φ)，将其代入运动方程可得：
- -mω^2Xsin(ω t - φ)+cω Xcos(ω t-φ)+kXsin(ω t-φ)=F_0sin(ω t)。

- 根据三角函数关系展开并整理可得X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，相位角φ=arctan(cω)/(k - mω^2)。

- 当发生共振时，ω=ω_n=√(frac{k){m}}（ω_n为系统的固有频率）。

- 在无阻尼c = 0的情况下，共振时ω=ω_n，此时最大振幅X_max=(F_0)/(k)。

- 在有阻尼c≠0的情况下，将ω=ω_n=√(frac{k){m}}代入X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，可得X_max=(F_0)/(cω_n)。

2. 相关知识点补充。

- 固有频率的物理意义。

- 固有频率是系统本身的一种特性，它只与系统的质量m和刚度k有关（在单自由度系统中）。

例如，对于一个弹簧 - 质量系统，质量越大，固有频率越低；弹簧越“硬”（刚度越大），固有频率越高。

- 阻尼对共振的影响。

- 阻尼会抑制共振时振幅的无限增大。

当阻尼较小时，共振频率接近系统的固有频率，且共振时振幅仍然较大；随着阻尼的增大，共振时的振幅逐渐减小，并且共振频率会略微偏离固有频率。

振动理论(4-1)第四章单自由度系统受迫振动陈永强北京大学力学系减速带speed bump2014/10/172橡胶减速带32014/10/1742014/10/17无阻尼受迫振动●图示电磁式振动台，励磁线圈通直流电形成恒定磁场；振动线圈通交流电时，导杆和台面在磁场中振动●激振力由正弦交流电引起的电磁力提供，是简谐力受迫振动（强迫振动）：系统由外界持续激振引起振动；从外界不断获得能量补偿阻尼所消耗的能量，维持系统的等幅振动响应：外界激振引起的系统振动状态（位移形式，速度形式，加速度形式）外界激振：持续的激振力（包括系统的不平衡离心惯性力）；持续的支承作用单自由度系统振动微分方程不考虑阻尼的作用是这个方程的解，代入上式，有或重写为所以记(静变形)定义振幅放大因子82014/10/17●全微分方程的一般解是齐次方程的通解和全方程的特殊解之和●简谐力作用下，受迫振动是简谐振动，频率与激振作用的频率相同●受迫振动的振幅与相位差与初始条件无关；初始条件只影响瞬态振动自由振动受迫振动瞬态振动稳态振动012345-1-2-3-41A B C 负振幅？:频率低，静变形:频率极高，振幅小:受迫频率＝固有频率：力永远在正确时间正确的方向上推动质量●如果在施加外来激励的时候，外来激励的圆频率与系统的固有频率相同（而不是在求解后分析二者相同的情况），此时如何求解？●实际上相当于求解如下方程：即该微分方程的解为：12cos sin cos 2n n n np y c t c t t tωωωω=+123456-6-4-2246第三项的时间曲线（前20周期）包括前两项自由振动影响的前20周期曲线123456-6-4-2246在1-2个周期内，也能引起较大的振动●无阻尼受迫振动的通解●在零初始条件下●假定和比较接近，例如,则在很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此 这是拍的方程，利用这一特性，拍的原理可以用于校正乐器，测量声的频率等等。

单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。

km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。

简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。

（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。

物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。

F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。

齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。

第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。

第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。

0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。

振动理论(4-2)第四章单自由度受迫振动陈永强北京大学力学系●谐变化的力在谐位移上的功是●运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹阻尼振幅⏹阻尼消耗的功=外力功⏹⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅每周的能量振幅外力阻尼力0A B C共振时的放大因子共振另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解例题汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。

把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。

假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。

解：rad具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅的力kgcm●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡2014/10/2232运动平衡方程sinsin这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅tan332014/10/22进一步，可以写成如下的无量纲关系tan342014/10/22转动失衡受迫振动幅频和相频特性352014/10/22●前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡⏹不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出转子失衡2014/10/2236平衡机一般来讲，比较长的转子，例如马达的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程度的失衡⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平衡机⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检测不平衡力⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而确定转子的不平衡量并进行修正⏹这是一个二自由度问题：转子的平动和转动是同时发生的372014/10/22●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。

2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。

kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。

d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。

sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。

欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。