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结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动单自由度系统是动力学中的一个基本模型，用于描述质点或弹性系统在其中一方向上的振动。
在实际应用中，往往会遇到系统受到外力作用的情况，这时系统的运动方程称为受迫振动方程。
本文将基于第一章学习的单自由度系统的动力学原理，通过一个实际的例子，展示如何利用谐响应分析方法来解决单自由度系统的受迫振动问题。
假设一个质量为m的小球通过一根无摩擦的弹簧与固定点相连，并受到一个周期性外力的作用。
我们的目标是求解小球的运动方程，并分析系统在谐响应下的特性。
首先我们需要建立系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律，可以得到受迫振动方程：m*a + c*v + k*x = F0*sin(ω*t)其中，m是小球的质量，a是小球的加速度，c是阻尼系数，v是小球的速度，k是弹簧的刚度，x是小球与平衡位置的位移，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率，t是时间。
根据系统的初始条件，可以得到小球的初始位移和初始速度：x(0)=x0,为了求解受迫振动方程的特解，假设系统在稳态下的解为:x = A*sin(ωt + φ).将上式代入受迫振动方程，可以得到A和φ的关系式：A*[(-mω^2 + k)*sin(ωt + φ) + cω*cos(ωt + φ)] =F0*sin(ωt).由于上式中左右两侧的正弦项和余弦项的系数相等，根据同角正弦和余弦函数的和差公式，可以得到:A*[(-mω^2 + k)*sinφ + cω*cosφ] = F0,为了使得上述两个方程成立，可得到A和φ应满足的条件：解以上方程可以得到稳态下的解A和φ。
得到稳态解之后，我们可以分析系统的振动特性。
首先，可以计算出系统的谐响应函数：谐响应函数H(ω)描述了系统在不同外力频率下的响应强度。
图像的幅频响应特性被称为频率响应曲线。
为了绘制频率响应曲线，我们可以通过改变外力的频率ω来计算不同的稳态解A，进而得到H(ω)的数值。
其次，还可以分析系统的幅频特性。
共振时候最大振幅公式
1. 单自由度系统受迫振动共振时最大振幅公式推导。
- 对于单自由度系统的受迫振动，其运动方程为m ẍ+c ẋ+kx = F_0sin(ω t)，其中m为质量，c为阻尼系数，k为弹簧刚度，F_0为激振力幅值，ω为激振力频率，x 为位移。
- 设稳态解x = Xsin(ω t-φ)，将其代入运动方程可得：
- -mω^2Xsin(ω t - φ)+cω Xcos(ω t-φ)+kXsin(ω t-φ)=F_0sin(ω t)。
- 根据三角函数关系展开并整理可得X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，相位角φ=arctan(cω)/(k - mω^2)。
- 当发生共振时，ω=ω_n=√(frac{k){m}}（ω_n为系统的固有频率）。
- 在无阻尼c = 0的情况下，共振时ω=ω_n，此时最大振幅X_max=(F_0)/(k)。
- 在有阻尼c≠0的情况下，将ω=ω_n=√(frac{k){m}}代入X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，可得X_max=(F_0)/(cω_n)。
2. 相关知识点补充。
- 固有频率的物理意义。
- 固有频率是系统本身的一种特性，它只与系统的质量m和刚度k有关（在单自由度系统中）。
例如，对于一个弹簧 - 质量系统，质量越大，固有频率越低；弹簧越“硬”（刚度越大），固有频率越高。
- 阻尼对共振的影响。
- 阻尼会抑制共振时振幅的无限增大。
当阻尼较小时，共振频率接近系统的固有频率，且共振时振幅仍然较大；随着阻尼的增大，共振时的振幅逐渐减小，并且共振频率会略微偏离固有频率。
单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。
简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。
（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。
物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。
F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。
第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。
0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。
1-2单自由度体系的受迫振动主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应1-3-5 隔振1-3-4 等效阻尼激励响应系统1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应单自由度系统振动方程t F kx x c xm ωsin 0=++ 非自治系统tf x x x n n ωωςωsin 202=++t k F t k F t xt x x n n n n ωλωλλωωωsin 11sin 1sin cos 202000-+--+= 无阻尼系统⎪⎩⎪⎨⎧====+0002)0(,)0(,0sin x xx x t t f x x n ωω方程之解无阻尼自由振动无阻尼受迫振动自由伴随振动瞬态过程稳态过程实际系统中，阻尼的客观存在，随着时间的推移，瞬态响应逐渐衰减，系统进入稳态振动过程系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式⇩ελ21+=⇩0→εtt f x n n ωεωεcos sin 20-≈tt f x n n ωωcos 210-≈“拍”无阻尼系统的稳态响应t k F x ωλsin 1120-=kF st 0=δ静变形211λβ-=动力放大因子1<<λ⇩1>>λ⇩1=λ⇩1→β系统表现为静态特征0→β系统表现为动态特征∞→β系统出现“共振”现象θβi e k-=1θβ 阻尼系统的稳态响应tf x x x n n ωωςωsin 202=++ ti nn e f x x x ωωςω022=++ 设系统的稳态响应为ti Bex ω=B 为复振幅)(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数222)2()1(1ςλλ+-=212arctanλςλ-=动力放大因子响应与激励的相位差！系统的幅频特性！系统的相频特性⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=2222)2()1(211)(ςλλςλλωi k H系统的稳态响应)(θω-=t i Aex )sin(θω-=t A x βδst A =为系统的实振幅稳态响应的特征幅频特性曲线β-λ⇳稳态响应是与激励同频率的简谐振动⇳稳态响应的幅值和相位差仅由系统的物理参数和激励确定⇳，1>>λ，0→β，1<<λ，1→β振幅为弹簧静变形振幅趋近于零⇳，1>>λ，1→λ，1<<λ阻尼影响不显著振幅对阻尼十分敏感⇳，1→λ振幅急剧增大，出现共振现象动力放大因子为ςβλ211==2021ςωω-=共振频率为⇳为品质因子。
表征共振峰的陡峭程度ςβλ211===Q nςωω2=∆共振区频带宽相频特性曲线θ-λ，1→λ⇳相位差为π/2，与阻尼无关⇳，1>λ，1<λ响应与激励同相阻尼越小反响现象越明显响应与激励反相不同形式简谐激励的稳态响应 转子偏心质量引起的受迫振动ω系统振动方程tme kx x c x M ωωsin 2=++2222)2()1(ςλλλβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=212arctan λςλθ幅频特性曲线相频特性曲线支承运动引起的受迫振动系统振动微分方程0)()(=-+-+d d x x k x x c xm t ak t ac kx x c xm ωωωsin cos +=++2222)2()1()2(1ςλλςλβ+-+=幅频特性曲线相频特性曲线)2arctan(12arctan 2ςλλςλθ-⎪⎭⎫⎝⎛-=1-2-2周期激励作用的受迫振动响应tFtF对于周期激励)2,1,0()()( =±=n nT t F t F F (t )由Fourier 级数展开∑∞-∞==n tn i neF t F ω)(),2,1,0(d )(122±±==⎰--n t e t F T F T T tn i n ω()∑∞-∞=+=n n nt n b t n at F ωωsin cos )(),2,1,0(d sin )(2,d cos )(22222 ±±===⎰⎰--n tt n t F T b t t n t F T a T T T T n n ωω系统的振动方程∑∞-∞==++n tin neF kx x c xm ω ()⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞-∞=n n n t n b t n a ωωsin cos由叠加原理，系统地稳态响应为[]∑∞-∞=-+-=n n n n n n t n b t n a kt x )sin()cos(1)(θωθωβ∑∞-∞=-=n t n i n n n e F kt x )(1)(θωβ动力放大因子与相位差为()()2222211ςλλβn n n +-=2212λςλθn n n -=将周期激励或响应展成Fourier 级数的分析方法称为谐波分析法。
谐波举例F (t )弹簧-质量系统受周期方波激励。
已知。
1.0,12==ςωπnT 确定系统的响应⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=T t TF T t F t F 220)(00方波激振力)sin 13sin 31(sin 4)(1110++++=t n nt t F t F ωωωπ系统的稳态响应)sin(415,3,10n n nt n kF x θωβπ-=∑∞=如何能形象地表现出任意周期激励的系统响应？工程实际问题中，Fourier展开后的无穷多项如何处理？频谱图频谱分析法的物理意义就是将函数由时间域转到了频率域1-3-3任意激励作用的受迫振动响应F (t )系统振动方程)(t F kx x c xm =++ Ftδ分布函数及其应用定义()τδτδεε-=-→t t 0lim )(且1d )(=-⎰∞∞-t t τδ⎪⎩⎪⎨⎧≠=∞=-τττδt t t 0)(取任意值面积为1⎪⎩⎪⎨⎧+><+≤≤=-εττεττετδεt t t t ,01)(δ分布函数的筛选性质()()()ττδf t d t t f =-⎰∞∞-()()()0f t d t t f =⎰∞∞-δ()()()ττδf t d t t f =-⎰∞=τt≤<τ0δ 函数可以用来描述在时间或空间上一点集中的物理量举例脉冲力作用时间无限短具有有限冲量假设脉冲力P (t )的冲量为U ，定义平均脉冲力)()(t U t P εεδ=冲量为U 的脉冲力P (t ))()(lim )(0t U t P t P δεε==→举例集中力或集中力矩空间上一点集中)()(a x P x P -=δ)()(b x M x M -=δ单位脉冲响应U=1对于冲量为U 的脉冲力)()(t U t F δ=当U =1时，为单位脉冲力)()(t t F δ=系统的振动方程⎪⎩⎪⎨⎧====++--0)0(,0)0(,0)(xx t t kx x c x m δ由冲量定理t t xm d )(d δ= ⎪⎩⎪⎨⎧====++++m x x t kx x c x m 1)0(,0)0(,00⎰⎰+-+-=0000d )(1d t t m x δ mx1)0(=+系统对单位脉冲的响应te m t h d tdn ωωςωsin 1)(-=)()(sin 1)()(ττωωττςω>-=---t t e m t h d t dn 任意激励的受迫振动响应（Duhamel 积分）在时间间隔（τ , τ+d τ）内，激励的脉冲量为F (τ)d τ。
当t >τ 时，系统的响应为τττd )()(d -=t h F x 由线性叠加原理，系统对任意激励的响应为⎰-=tt h F t x 0d )()()(τττ⎰-=tt h F t x 0d )()()(τττ杜哈梅（Duhamel ）积分零初始条件下，系统对任意激励的响应为单位脉冲响应与激励的卷积分⎰-=tn nt F m t x 0d )(sin )(1)(ττωτω若无阻尼，则有⎰-=tn n t F m 0d sin )(1ττωτω举例无阻尼弹簧-质量系统在（0 , t 1）时间间隔内受突加矩形脉冲的作用，确定系统的响应。
⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=1100)(t t t t F t F由杜哈梅积分，在（0 , t 1）内，有⎰-=tn nt F m t x 00d )(sin 1)(ττωω)cos 1(0t k F n ω-=当t > t 1时，有⎰-=100d )(sin 1)(t n nt F m t x ττωω[])cos )(cos 10t t t kF n n ωω--=系统响应为[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-=110cos )(cos 0)cos 1()(t t t t kF t t t kF t x n n n ωτωω阶跃激励响应-F 0t 1利用叠加原理t0F (t )F 0对于阶跃激励F (t)=F 0，由杜哈梅积分有)cos 1()(0t kF t x n ω-=而时刻t =t 1的阶跃激励F (t)=－F 0，有⎰--=tt n n t F m t x 1d )(sin )(1)(0ττωω[])(cos 110t t kF n ---=ω叠加得系统在t > t 1时的响应[])cos )(cos )(10t t t kF t x n n ωω--=系统在t > t 1时为自由振动，以t =t 1为自由振动开始时刻，有)cos 1()()(1011t kF t x t x n tt ω-===101sin d d )(1t kF t xt x n n t t ωω=== 系统的自由振动响应为t t xt t x t x n nn ωωωsin )(cos )()(11 +=[])cos )(cos 10t t t kF n n ωω--=脉冲的作用时间t 1 对响应有什么影响?工程设计中最关心的是冲击载荷作用后的最大响应值，如何描述？系统在t > t 1时自由振动的幅值为21212max )()(nt xt x x ω +=2sin 210t k F n ω=Tt k F 10sin 2π=幅值与比值t 1/T 相关⇩当211=T t 时，stkF A δ220==⇩当11=Tt 时，0=A 定义：最大响应值与激励某参数的关系曲线称为响应谱⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=2220sin 211T t T t T t x st m πδ逐步积分法⎰-=tthFtxd)()()(τττ？逐步积分法的基本思想：将计算的时间区间分割，以已知运动量的点为开始时刻，递增地逐点求出各个时间点所对应的运动量。
增加时间，以下介绍几种对加速度的变化规律进行假设的逐步积分法。
特点是利用运动微分方程，由某时刻t 的已知位移，速度，加速度计算出时刻t +△t 相应的各量，并依次进行，逐点求出系统的响应? 对于运动量，如何对其中的一个量进行假设x xx ,,? 对近似计算结果（或计算方法）的优劣线加速度法将时间区间[ a , b ]剖分成若干个分点：a = t 0 < t 1<· · · · · · < t n = bii h i t t +=0ni ,2,1,0=i i i t t h -=+1时间步长等时间步长ii t t h -=+1⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=++++12211161312121i i i i i i i i i xh x h x h x x xh x h x x 假设在第i 时间间隔[ t i , t i+1 ]内，加速度呈线性变化，即()11++≤≤-+=i i i i i t t t hxx x x τht t i≤≤-=ττ0()Chxx x x i i i +-+=+221ττ ()D C hx x x x i i i ++-+=+τττ621312 当i t t =i i i i x t xx t x ==)(,)(i i x D xC ==, 当ht =τ∫∫补充运动微分方程)(211211++++=++i i n i n i t f x x x ωςω ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-++=-=++++++++++i i i i i i i i i i i i n i n x h x x h x x h x h x x h x t f x x x 21213161)(211212111112ςωω线加速度法的递推公式ΔtΔtΔt⇳线加速度法的计算精度高⇳线加速度法的计算结果是条件稳定时间步长Δt一般要小于振动周期的1/6~1/10计算量大！Lagrange 中值定理若f(x ）在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）可微，则在（a ，b ）间至少有一点c ，使bc a c f a b a f b f <<'-=-)()()()(Newmark 法在区间[ t i , t i+1 ]内，由微分中值定理h xx x i i ξ +=+1假设1)1(++-=i i x x x γγξ10<<γ速度Lagrange 中值定理由Tayloy 级数展开221h xh x x x iii η++=+假设12)21(++-=i i xx x ββη120<<β位移⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+-+=++++21211i 121)1(h x h x h xx x h x h x x xi i i i i i i i ββγγ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--+=-=++++++++++i i i i i i i i i i i i n i n x h x h x x h x x h x x h x t f x x x 2121111111221)1()(2ββγγςωωNewmark 法的递推公式⇳β 值影响算法精度即为线加速度法⇳当61，21==βγNewmark 法无条件稳定⇳当22141，21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≥γβγ算法引起附加阻尼（数值解周期延长、振幅缩减），21>γ⇳当算法精度高，但条件稳定21=β算法精度低，但无条件稳定41>βWilson-θ 法基本思想引入一个参数，1>θ[]t t t ∆+θ,在更大的时间间隔内，对线加速度法进行修正。
