最小二乘法线性详细说明幻灯片课件

同理，要对真实的1做出统计推断，
也必须明确Yi的概率分布。
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总体回归函数
Yi 1 2 X i ui
要知道Yi的概率分布， 必须明确X i和ui是怎样产生的！
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)

xi yi xi2
ˆ1 Y ˆ2 X
惯例：小x写i 字Xi 母X 表, yi 示 Yi对Y均 值的离
差
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最小二乘估计量的特点
• OLS估计量是可观测样本值的函数，因而容 易计算。
• OLS估计量是点估计量。对于给定的样本， 只能获得总体参数的一个估计值。
• 一旦计算出OLS估计值，便容易画出样本回 归线。
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Y 样本 X
4
最小二乘估计量的推导
最小化 uˆi2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi 2
uˆi2 ˆ1

Yi
ˆ1 ˆ2 Xi ˆ1
2
2
Yi ˆ1 ˆ2 Xi
uˆi2 ˆ2

ˆ1 ˆ1

ˆ2 Xi ˆ2 Xi
0 Xi

0

uˆi 0 uˆi X i 0
正规方程组
Yi nˆ1 ˆ2 Xi
Yi Xi ˆ1
Xi ˆ2
X
2 i
解方程
ˆ2
( X i X )(Yi Y (Xi X )2
, ˆ1
Y
ˆ2 X
ˆ2为X i，Yi的函数,是一个随机变量。
如果X i取定值，则ˆ2仅仅为Yi的函数。
因此，Yi的随机波动决定了ˆ2的随机波动。 或者说，Yi的生成方式决定了ˆ2的生成方式。 从而，ˆ2的概率分布取决于Yi的概率分布。

利用年金现值公式： P = A (P/A,r,n) A = P/(P/A,r,n)
A -- 每年等额偿还额 P -- 期初贷款额 n — 期限 r — 年利率
利息支付额 = r×P
本金偿还额 = A – r×P
第二年初（即第一年末尚未偿还的本金额）
根据
=
P
– 1
(1(A-rr×)mPn)
PA
m
r
m
或Qb= Cf/(P-vc) =固定成本/（单价-单位变动成本）
损益平衡点销售额 设Rb为损益平衡点销售额
Rb = P×Qb = P×Cf/mc = Cf/MCR = 固定成本/边际贡献率
Qb - 损益平衡点销售量
练习：
某企业生产销售甲产品，单位售价为11元，单 位变动成本7元，全年甲产品应负担的固定成 本为4000元，请问：
P
A1
(1 i
i)n
或
P A(P / A,i, n)
• 年资本回收额：在给定的年限内等额回收初
始投入的资本或清偿初始所欠的债务。
• 年资本回收额为年金现值的逆运算。
A
P
1
i (1
i)
n
或
A P(A/ P,i, n)
案例分析1：
阿斗是个狂热的车迷，玩了多年的车，却始终 没有一辆自己的"坐骑"。终于有一天，阿斗时 来运转，不知通过什么途径，得到了一分收入 颇丰的工作，阿斗终于痛下决心，确定攒钱买 车，目标是十年后将一辆奔驰领进门。目标定 下后，阿斗发愁了，每年大概要存多少钱，才 能圆梦呢？
张三在一年前在银行里存入了1000元钱，当时的存款利率 是10%，存款到期时，张三上银行把钱取了出来，连本带 息总共1100元钱。张三是不是比1年钱更富有了呢？

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2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
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1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x

（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
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算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?