线性参数的最小二乘法处理

第五章 线性参数的最小二乘法处理
光电效应
1 E = hν = m υ0 2 + A 2
1 eU 0 = m υ0 2 2
h A U0 = ν e e
2
光电效应
频率νi(×1014Hz) 8.214 7.408 6.879 5.490 5.196 截止电压U0i(V) 1.790 1.436 1.242 0.688 0.560
3
光电效应
SLOPE函数
频率ν i(Hz) 8.214E+14 7.408E+14 6.879E+14 5.490E+14 5.196E+14 截止电压U0i(V) 1.790E+00 1.436E+00 1.242E+00 6.880E-01 5.600E-01
4.02964E-15
2.000E+00 1.800E+00 1.600E+00
1
i 2
e
i 2 ( 2 i 2 )
di
( i 1, 2,
, n)
由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率
为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P Pi
i 1
n
1

1 2 n
2
e n

i 1
n
i 2 (2 i 2 )
d 1d 2
d n
12
第一节 最小二乘原理
1.400E+00
y = 4E-15x - 1.5314
1.200E+00 1.000E+00 8.000E-01 6.000E-01
4.000E-01
2.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 5.000E+14 1.000E+15

例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g

；
ｎ（ｍ＋１）
Ｘ Ｙ
Ｔ
F F=
U/ｍ ｓ
２
显著性 0.01 0.05 0.1 或其他
２． 实验内容和结果
1、 程序及流程 用ＭＡＴＬＡＢ编写程序解答下面各题 １．材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。某种材料实验数据 如下表：
正应力ｘ （Ｐａ） 抗剪强度ｙ （Ｐａ） ２６．８ ２６．５ ２５．４ ２７．３ ２８．９ ２４．２ ２３．６ ２７．１ ２７．７ ２３．６ ２３．９ ２５．９ ２４．７ ２６．３ ２８．１ ２２．５ ２６．９ ２１．７ ２７．４ ２１．４ ２２．６ ２５．８ ２５．６ ２４．９
ｂ
Z14=log(y4); Z15=log(y5); Z1pz=(Z11+Z12+Z13+Z14+Z15)/5; x1=1.585; x2=2.512; x3=3.979; x4=6.310; x5=9.988; x6=15.85; Z21=log(x1); Z22=log(x2); Z23=log(x3); Z24=log(x4); Z25=log(x5); Z2pz=(Z21+Z22+Z23+Z24+Z25)/5; A1=(Z11)*(Z21); A2=(Z12)*(Z22); A3=(Z13)*(Z23); A4=(Z14)*(Z24); A5=(Z15)*(Z25); Apz=5*(Z1pz)*(Z2pz); B1=(Z11)*(Z11); B2=(Z12)*(Z12); B3=(Z13)*(Z13); B4=(Z14)*(Z14); B5=(Z15)*(Z15); Bpz=5*(Z1pz)*(Z1pz); b=((A1+A2+A3+A4+A5)-Apz)/((B1+B2+B3+B4+B5)-Bpz) a=10^((Z1pz)/b-Z2pz) y=(y1 y2 y3 y4 y5); x=(x1 x2 x3 x4 x5); y=a*x^b;

4.最小二乘法线性拟合（非常好）我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。

用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。

显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。

(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。

对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。

现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。

取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。

令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂n i i n i i n i i i x b x a y x b D再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂ni i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。