最小二乘法线性详细说明

—26 n 基本概念与数据处理4.最小二乘法线性拟合(非常好)我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分 散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据 处理方法，求出的a 和b 误差较大。

用最小二乘法拟合直线处理数据时 ，任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b 。

显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。

(1)求回归直线设直线方程的表达式为： y 二 a bx(2-6-1)要根据测量数据求出最佳的 a 和b o 对满足线性关系的一组等精度测量数据 (X i ，y i )， 假定自变量X i 的误差可以忽略，则在同一 X i 下，测量点y i 和直线上的点 a+bx i 的偏差d i 如下：d i = y i - a - bx-id^ — y 2~ a - bx 2d n = yn ~a ~ bx n显然最好测量点都在直线上(即 d i =d 2=,, =d n =0),求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑d i 、d 2、”、 d n 为最小，也就是考虑d i +d 2+,, +d n 为最小，但因d i 、d 2、，，、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d i | + |d 2|+ ,,+ |d n |又不好解方程，因而不可行。

现在米取一种等效方法：当d^+d/ + ,,+d n 2222对a 和b 为最小时，d i 、d 2、，，、 d n 也为最小。

取(d i +d 2 +,, +d n )为最小值，求 a和b 的方法叫最小二乘法。

nD 八 d i 2i JD 对a 和b 分别求一阶偏导数为:n-na -b ' X i ]i T nnD 八 d i 2 = i ±(2-6-2)-=D-=b:D-a n 一2「y ii 3 n一2[、X i y i i 』n基本概念与数据处理—27 - -b' X j2]i d—28 - n 基本概念与数据处理2 ' x -x将a 、b 值带入线性方程y = a bx ，即得到回归直线方程。

最小二乘法公式计算公式最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定拟合曲线的参数。

在数学领域中，最小二乘法通过求解线性方程组来确定问题的最优解。

本文将详细介绍最小二乘法的计算公式，并给出应用示例。

1. 最小二乘法的一般形式假设我们有一组观测数据，包括自变量x和因变量y。

我们希望找到一个拟合曲线，使得观测数据与该曲线的残差平方和最小。

拟合曲线的一般形式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，f(x, β)是关于自变量x和参数向量β的函数，ε是误差项。

根据最小二乘法的原理，我们需要最小化残差平方和:RSS(β) = Σ(y - f(x, β))^22. 最小二乘法的求解过程为了找到使得残差平方和最小的参数向量β，我们需要对该函数进行求导，并令导数为零。

首先，我们定义一个矩阵X，该矩阵的每一行表示一个观测数据的自变量，每一列表示一个参数。

类似地，我们定义一个向量y，其中每个元素对应一个观测数据的因变量。

拟合曲线可表示为：y = Xβ + ε将这个表达式代入残差平方和的公式中，得到：RSS(β) = (y - Xβ)T(y - Xβ)我们的目标是找到一个参数向量β，使得RSS最小化。

使用微积分的方法，我们可以对RSS进行求导，得到：∂RSS(β) / ∂β = -2X^T(y - Xβ) = 0通过上述求导结果，我们可以解得最小二乘法的估计量β的闭式解为：β = (X^TX)^(-1)X^Ty3. 应用示例让我们通过一个简单的线性回归示例来演示最小二乘法的应用。

假设我们有以下观测数据：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [2, 4, 5, 4, 5]我们希望通过最小二乘法来拟合一个线性模型y = β0 + β1x。

首先，我们将数据转换为矩阵形式：X = [[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]]y = [[2], [4], [5], [4], [5]]接下来，我们可以计算参数向量β：β = (X^TX)^(-1)X^Ty计算过程如下：X^TX = [[5, 15], [15, 55]](X^TX)^(-1) = [[11, -3], [-3, 1]]X^Ty = [[20], [70]]将上述结果代入β的公式，即可计算得到具体的参数值：β = [[11, -3], [-3, 1]] * [[20], [70]] = [[1.1818], [3.2727]]因此，最小二乘法拟合出的线性模型为：y = 1.1818 + 3.2727x通过该模型，我们可以预测其他自变量对应的因变量的值。

最小二乘法的原理及其应用1. 最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的数学优化方法，其原理是通过最小化残差平方和来寻找数据的最佳拟合线或曲线。

当数据存在随机误差时，最小二乘法可以有效地估计模型参数。

最小二乘法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.首先，假设模型的形式，如线性模型：y=mx+b。

2.然后，定义一个衡量模型拟合程度的误差函数，通常采用残差的平方和：$E(m, b) = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - (mx_i + b))^2$。

3.接下来，根据最小二乘法的原理，我们需要通过对误差函数求偏导数，得出使误差函数最小化的模型参数。

4.最后，通过优化算法，如梯度下降法等，迭代地调整模型参数，使误差函数达到最小值，从而获得最佳拟合模型。

最小二乘法的原理非常简单和直观，因此被广泛应用于各个领域，如统计学、经济学、工程学等。

2. 最小二乘法的应用最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。

2.1 线性回归线性回归是最小二乘法最常见的应用之一。

在线性回归中，最小二乘法用于估计自变量与因变量之间的线性关系。

通过最小化残差平方和，我们可以找到一条最佳拟合直线，从而对未知的因变量进行预测。

线性回归广泛应用于经济学、社会学等领域，帮助研究者探索变量之间的相互关系。

2.2 曲线拟合最小二乘法还可以用于曲线拟合。

当我们需要拟合一个非线性模型时，可以通过最小二乘法来估计参数。

通过选择适当的模型形式和误差函数，可以得到最佳拟合曲线，从而准确地描述数据的变化趋势。

曲线拟合在信号处理、图像处理等领域具有重要的应用。

2.3 数据降维数据降维是指将高维度的数据转化为低维度表示，以便于可视化和分析。

最小二乘法可以用于主成分分析（PCA）等降维方法中。

通过寻找投影方向，使得在低维度空间中的数据点到其投影点的平均距离最小化，可以实现数据的有效降维。

2.4 系统辨识在控制工程中，最小二乘法经常被用于系统辨识。

最小二乘法线性与非线性拟合最小二乘法实现数据拟合最小二乘法原理函数插值是差值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同，即p( )=f( ) (i=0,1,2,3……,n)，而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点( )，也就是说拟合函数在处的偏差=不都严格地等于零。

但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求| |按某种度量标准最小。

即=为最小。

这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。

(一)线性最小二乘拟合根据线性最小二乘拟合理论，我们得知关于系数矩阵A的解法为A＝R\Y。

例题假设测出了一组，由下面的表格给出，且已知函数原型为y(x)=c1+c2*e^(-3*x)+c3*cos(-2*x)*exp(-4*x)+c4*x^2试用已知数据求出待定系数的值。

在Matlab中输入以下程序x=[0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5]';y=[2.88;2.2576;1.9683;1.9258;2.0862;2.109;2.1979;2.5409;2.9627;3.155;3.2052];A=[ones(size(x)) exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x) x.^2];c=A\y;c'运行结果为ans =1.22002.3397 -0.6797 0.8700下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图x1=[0:0.01:1.5]';A1=[ones(size(x1)) exp(-3*x1),cos(-2*x1).*exp(-4*x1) x1.^2];y1=A1*c;plot(x1,y1,x,y,'o')事实上，上面给出的数据就是由已知曲线y(x)= 0.8700-0.6797*e^(-3*x)+ 2.3397*cos(-2*x)*exp(-4*x)+ 1.2200*x^2产生的，由上图可见拟合效果较好。

1.最小二乘法的原理最小二乘法的主要思想是通过确定未知参数（通常是一个参数矩阵），来使得真实值和预测值的误差（也称残差）平方和最小，其计算公式为E=\sum_{i=0}^ne_i^2=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2 ，其中 y_i 是真实值，\hat y_i 是对应的预测值。

如下图所示（来源于维基百科，Krishnavedala 的作品），就是最小二乘法的一个示例，其中红色为数据点，蓝色为最小二乘法求得的最佳解，绿色即为误差。

图1图中有四个数据点分别为：(1, 6), (2, 5), (3, 7), (4, 10)。

在线性回归中，通常我们使用均方误差来作为损失函数，均方误差可以看作是最小二乘法中的 E 除以m（m 为样本个数），所以最小二乘法求出来的最优解就是将均方误差作为损失函数求出来的最优解。

对于图中这些一维特征的样本，我们的拟合函数为h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x ，所以损失函数为J(\theta_0,\theta_1)=\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))^2=\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-\theta_0-\theta_1x^{(i)})^2 （这里损失函数使用最小二乘法，并非均方误差），其中上标(i)表示第 i 个样本。

2.最小二乘法求解要使损失函数最小，可以将损失函数当作多元函数来处理，采用多元函数求偏导的方法来计算函数的极小值。

例如对于一维特征的最小二乘法， J(\theta_0,\theta_1) 分别对 \theta_0 ， \theta_1 求偏导，令偏导等于 0 ，得：\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial\theta_0}=-2\sum_\limits{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta_0-\theta_1x^{(i)}) =0\tag{2.1}\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial\theta_1}=-2\sum_\limits{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta_0-\theta_1x^{(i)})x^{(i)} = 0\tag{2.2}联立两式，求解可得：\theta_0=\frac{\sum_\limits{i=1}^m(x^{(i)})^2\sum_\limits{i=1}^my^{(i)}-\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}y^{(i)}}{m\sum_\limits{i=1}^m(x^{(i)})^2-(\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)})^2} \tag{2.3}\theta_1=\frac{m\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}y^{(i)}-\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}\sum_\limits{i=1}^my^{(i)}}{m\sum_\limits{i=1}^m(x^{(i)})^2-(\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)})^2} \tag{2.4}对于图 1 中的例子，代入公式进行计算，得： \theta_0 = 3.5, \theta_1=1.4,J(\theta) = 4.2 。

最小二乘法公式详细步骤1.建立线性回归模型在最小二乘法中，我们首先假设所要拟合的数据具有线性关系。

线性回归模型可以表示为：Y=α+βX+ε，其中Y是因变量，X是自变量，α和β是模型的参数，ε是误差项。

2.构建残差平方和残差是预测值与观测值之间的差异，我们用误差的平方和来表示数据的整体拟合度。

求解残差平方和的目的是找到最小的误差，来获取最佳的拟合数据集。

残差平方和的计算公式：RSS = Σ(yi - (α + βxi))^2，其中yi 是观测值，(α + βxi)是对应的预测值，Σ表示求和。

3.求解参数α和β的最优值通过最小化残差平方和，可以求解得到参数α和β的最优值。

将残差平方和对参数α和β分别求偏导数，并令偏导数等于0，可以得到如下两个方程：∂RSS/∂α = -2Σ(yi - (α + βxi)) = 0 -> Σyi - nα - βΣxi = 0∂RSS/∂β = -2Σ(yi - (α + βxi))xi = 0 -> Σxiyi -αΣxi - βΣxi^2 = 0其中n表示数据集的大小。

将上述两个方程联立解得α和β的最优值：α = (Σyi - βΣxi) / nβ = (Σxiyi - αΣxi) / Σxi^24.求解回归直线方程通过求解参数α和β的最优值，可以得到回归直线的方程。

将最优值代入线性回归模型的公式中，得到：Y=α+βX5.进行模型评估在最小二乘法中，我们需要对拟合模型进行评估，以确定模型的可靠性和拟合优度。

常用的评估指标包括：决定系数（R^2）、均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）等。

决定系数用来衡量模型对数据的解释程度，其计算公式为：R^2 = 1 - (Σ(yi - ŷi)^2 / Σ(yi - ȳ)^2)其中，yi表示观测值，ŷi表示模型预测值，ȳ表示观测值的平均值。

通过以上步骤，我们可以得到最小二乘法的公式和对应的求解步骤。

这个方法用于参数估计和数据拟合，尤其在拟合回归模型时非常常用。

最小二乘法与线性回归模型线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究因变量与一个或多个自变量之间的关系。

在线性回归中，我们经常使用最小二乘法来进行参数估计。

本文将介绍最小二乘法和线性回归模型，并探讨它们之间的关系和应用。

一、什么是最小二乘法最小二乘法是一种数学优化技术，旨在寻找一条直线（或者更一般地，一个函数），使得该直线与一组数据点之间的误差平方和最小化。

简而言之，最小二乘法通过最小化误差的平方和来拟合数据。

二、线性回归模型在线性回归模型中，我们假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y ≈ βX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，ε表示误差。

线性回归模型可以用来解决预测和关联分析问题。

三、最小二乘法的原理最小二乘法的基本原理是找到一条直线，使得该直线与数据点之间的误差平方和最小。

具体而言，在线性回归中，我们通过最小化残差平方和来估计回归系数β。

残差是观测值与估计值之间的差异。

在最小二乘法中，我们使用一组观测数据(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)，其中x表示自变量，y表示因变量。

我们要找到回归系数β₀和β₁，使得残差平方和最小化。

残差平方和的表达式如下：RSS = Σ(yᵢ - (β₀ + β₁xᵢ))²最小二乘法的目标是最小化RSS，可通过求导数等方法得到最优解。

四、使用最小二乘法进行线性回归分析使用最小二乘法进行线性回归分析的一般步骤如下：1. 收集数据：获取自变量和因变量的一组数据。

2. 建立模型：确定线性回归模型的形式。

3. 参数估计：使用最小二乘法估计回归系数。

4. 模型评估：分析回归模型的拟合优度、参数的显著性等。

5. 利用模型：使用回归模型进行预测和推断。

五、最小二乘法与线性回归模型的应用最小二乘法和线性回归模型在多个领域都有广泛的应用。

1. 经济学：通过线性回归模型和最小二乘法，经济学家可以研究经济指标之间的关系，如GDP与失业率、通胀率之间的关系。

利用最小二乘法求线性回归方程最小二乘法的线性回归方程是一种常用的统计分析方法，其用于描述两变量之间的依赖关系，这些变量可以是连续或离散类型的。

线性回归方程可以用来估计目标变量，预测特定的输入变量，或者预测一组输入变量的相互作用。

最小二乘法可以用来拟合线性回归模型，以获得最佳的拟合结果。

最小二乘法的线性回归模型需要一个因变量和至少一个自变量来构建拟合曲线。

因变量是拟合曲线的响应变量，而自变量是因变量的驱动变量。

最小二乘法确定一条最佳拟合线，该拟合线可以使响应变量与自变量之间的误差最小。

最小二乘法可以用来拟合一维、二维或多维线性回归方程。

一维线性回归模型由以下线性方程所确定：y = aX + b其中，a为斜率，b为原点。

X表示自变量，y表示因变量，而a 和b表示拟合曲线的参数。

最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数a 和b，从而拟合一维线性回归模型。

二维线性回归模型由以下线性方程所确定：y = aX1 + bX2 + c其中，X1和X2分别为两个自变量，y表示因变量，而a、b和c 表示拟合曲线的参数。

最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数a、b 和c，从而拟合二维线性回归模型。

多维线性回归模型由以下线性方程所确定：y = aX1 + bX2 + cX3 ++ z其中，X1、X2、X3、…Z分别为多个自变量，y表示因变量，而a、b、c、…z表示拟合曲线的参数。

最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数a、b、c、…z，从而拟合多维线性回归模型。

最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数的最优值，从而得到最佳的拟合效果。

它的原理是：最小二乘法估计公式参数使得残差平方和最小，残差即为实际值和拟合值之差。

通过最小二乘法拟合方程，计算出不同变量之间的回归系数，以衡量变量之间的相互依赖性，以及拟合曲线的准确程度。

最小二乘法线性回归方程可以有效地用于统计分析，以了解变量之间的依赖关系。

它可以用来估算目标变量，预测特定的输入变量，以及预测一组输入变量的相互作用。

最小二乘法线性回归
最小二乘法线性回归是一种常用的统计分析方法，它可以求出与实际观测值最接近的线性函数模型。

最小二乘法线性回归是一种强大且灵活的数据分析方法，可以应用于各种领域来探索其中的趋势和规律。

最小二乘法线性回归的思想是：通过使用拟合的线性模型来最小化数据之间的差异，以此来找到一组最适合的解决方案。

它的步骤是：首先选取一组样本，然后计算样本点与线性函数之间的差异，接着计算每个样本点与拟合函数之间的差异，最后，对这些差异求平方和（也称为平均残差平方和），并通过最小化这个值来找到最佳拟合参数。

最小二乘法线性回归可以用来解决实际问题，例如灾害预测、疾病预测以及商业决策分析。

在灾害预测中，可以使用最小二乘法线性回归来预测未来灾害的发生率，从而采取相应措施。

此外，也可以通过最小二乘法线性回归，预测疾病发生的概率以及预测疾病治疗的疗效，为医学决策提供可靠的参考。

在商业决策分析领域，最小二乘法线性回归可以用来分析市场价格波动、定价策略、销售预测等各种问题。

最小二乘法线性回归也有一些缺点，例如，它只能拟合一维的线性函数，无法提取数据中的曲线及非线性特征，因此，在实际应用中，最小二乘法线性回归并不总是最有效的分析方法。

尽管有一些缺点，最小二乘法线性回归仍然是一种有效的数据分析方法，可以用于探究数据之间的联系及关系，从而获得有效的结论。

熟练掌握最小二乘法线性回归的原理及相关应用，不仅可以帮助我们更好地掌握数据，还可以帮助我们做出更明智的决策，应对复杂的实际问题。

奇异值分解和最小二乘法奇异值分解和最小二乘法都是线性代数中的常用方法，用于解决最小二乘问题和矩阵分解问题。

本文将详细介绍奇异值分解和最小二乘法的原理、应用以及比较。

一、奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）1.奇异值分解的定义和原理奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，具体为A = UΣV^T，其中，A是一个m×n的矩阵，U和V是m×m和n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵。

Σ的对角线上的元素称为奇异值，且满足奇异值从大到小排列。

2.奇异值分解的应用奇异值分解在数据处理和机器学习中具有广泛的应用。

例如，奇异值分解可以用于图像压缩、推荐系统、主成分分析等领域。

在图像压缩中，奇异值分解能够将图像进行压缩存储，同时保留图像的主要信息；在推荐系统中，奇异值分解可以分析用户对商品的偏好，从而进行个性化的推荐。

3.奇异值分解与最小二乘法的联系奇异值分解与最小二乘法有着密切的联系。

通常情况下，奇异值分解可以用于最小二乘问题的求解。

对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A不是满秩的，即没有逆矩阵，我们可以通过奇异值分解将其转化为一个近似问题，然后利用最小二乘法求解。

二、最小二乘法1.最小二乘法的定义和原理最小二乘法是一种优化方法，用于寻找能够最小化观测数据与拟合函数之间差异的方程。

假设有一组观测数据(xi, yi)，我们希望找到一个函数y = f(x)来拟合这些数据点，使得观测数据与拟合函数之间的残差平方和最小。

最小二乘法的解可以通过求解一组线性方程得到。

2.最小二乘法的应用最小二乘法在各个领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计等；在经济学中，最小二乘法常常用于拟合经济模型和分析经济数据；在统计学中，最小二乘法可以用于线性回归等问题。

3.最小二乘法与奇异值分解的联系最小二乘法与奇异值分解之间存在一定的联系。

最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是一种求解线性回归问题的常用方法，可以通过求解最小化残差平方和来得到回归系数。

在实际应用中，线性回归问题非常广泛，例如：用于根据人口、GDP等因素预测国家的经济增长；用于预测某个公司未来的销售额等等。

因此，掌握最小二乘法的原理及实现方法对于数据分析人员来说是非常有必要的。

一、线性回归问题的定义首先，我们需要了解什么是线性回归问题。

简单地说，线性回归问题是指在给定的一些输入自变量和输出因变量之间，通过线性函数建立它们之间的联系，然后预测新的自变量所对应的因变量的值。

例如，在预测房屋价格时，我们可以使用房屋面积等自变量来建立一个线性模型，模型的输出为房屋价值。

二、最小二乘法的原理最小二乘法的本质是通过找到一组能够最小化误差平方和的回归系数来进行预测。

对于给定的自变量和因变量，我们假设它们之间存在一个线性关系：$$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n+\epsilon$$其中，$\beta_0$表示常数项，$\beta_1, \beta_2,...,\beta_n$分别表示$x_1, x_2,...,x_n$的系数，$\epsilon$表示误差。

因此，我们需要求解出这些系数，使得误差平方和最小化。

误差平方和的表达式为：$$S(\beta_i)=\sum_{i=1}^n (y_i-\tilde{y_i})^2 =\sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\beta_1x_{i1}-\beta_2x_{i2}-...-\beta_nx_{in})^2$$将上述表达式对系数进行求导，并令导数等于0，我们就可以得到最小二乘法的回归系数。

对于任意的自变量$x$，它所对应的因变量$y$的预测值$\tilde{y}$为：$$\tilde{y}=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n$$三、最小二乘法的实现最小二乘法的实现可以分为两步：Step 1：计算回归系数回归系数的计算可以使用矩阵的形式进行，公式如下：$$\begin{bmatrix}\beta_0 \\\beta_1 \\\beta_2 \\... \\\beta_n \\\end{bmatrix}=(\textbf{X}^T\textbf{X})^{-1}\textbf{X}^T\textbf{y}$$其中，$\textbf{X}$是自变量特征矩阵，形式为$n \times m$，即有$n$个样本和$m$个自变量；$\textbf{y}$是因变量向量，形式为$n \times 1$。

线性回归最小二乘法公式一、线性回归的概念线性回归是回归分析的一种，用于描述在影响因素和结果之间存在着线性关系的研究领域。

在波士顿房屋数据中，我们可以用线性回归来研究一个房屋的价格（Dependent Variable）是如何被不同的房屋特征（Independent Variable），如房屋大小，房间数量，地段位置等影响的。

二、最小二乘法原理最小二乘法（Least Square Method，LSM）是一种进行数据拟合的最常用的优化方法。

它的核心思想是通过求取数据的总平方偏差最小的解来拟合数据，这里的平方偏差反映的是拟合数据和原始数据之间的差异，拟合数据和原始数据越相似，总偏差越小，就可以认为这种拟合越好。

最小二乘法的核心就是求得使总平方偏差最小的参数向量$\beta$，即解下式：$$ \min|Y-X\beta|^2$$其中$Y$是未知变量矩阵，$X$是已知变量矩阵，$\beta$是拟合参数。

根据最小二乘法的原理，下面继续推广为多元线性回归模型：$$ \min|Y-X\beta|^2$$等价于：$$\min\sum_{i=1}^n(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^px_{ij}\beta_j)^2 $$其中$y_i$是未知变量，$\beta_0$是常量，$x_{ij}$是已知变量，$\beta_j$是拟合参数。

最小二乘法的推广，从成本函数中分离出了不同的参数，也扩展到了多元线性回归中。

多元线性回归模型为：$$Y = \beta_0+\sum_{j=1}^px_{ij}\beta_j $$为求得上述通式中参数$\beta$的值，我们可以得到最小二乘法的解：$$\beta=(X^T X)^{-1} X^T Y$$从上述式中我们可以看出，最小二乘法为我们提供了一种数据拟合的优化方法，以达到模型最佳的预测效果。