最新高中数学 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换学案 苏教版选修4-4练习试卷

1 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

1．了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．

2．体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化．

[基础·初探]

1．横坐标的伸缩变换

一般地，由 kx＝x′，y＝y′(k＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x′，y′)是变换后的点)．

2．纵坐标的伸缩变换

一般地，由 x＝x′，ky＝y′(k＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x′，y′)是变换后的点)．

3．伸缩变换

一般地，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λxλ＞，y′＝μyμ＞的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．

[思考·探究]

1．如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的12，圆x2＋y2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？

【提示】 x2＋y2＝4的图形变为椭圆：x24＋y2＝1.

伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状．

2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？ 2 【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f(x，y)＝0的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1k.第(1)种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样，f(x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f(x，y)＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f(x，y)＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f(x，y)＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_____________________________________________________

解惑：_____________________________________________________

疑问2：_____________________________________________________

解惑：_____________________________________________________

疑问3：_____________________________________________________

解惑：_____________________________________________________

伸缩变换

对下列曲线进行伸缩变换 kx＝x′，ky＝y′(k≠0，且k≠1)．

(1)y＝kx＋b；

(2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

【自主解答】 设P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点，由题意，得 kx＝x′，ky＝y′，即

x＝1kx′，y＝1ky′.

(1)由1ky′＝k(1kx′)＋b，y′＝kx′＋kb，得直线y＝kx＋b经过伸缩变换后的方程为3 y＝kx＋kb，仍然是一条直线．

当b＝0时，该直线和原直线重合；当b≠0时，该直线和原直线平行．

(2)由(1kx′－a)2＋(1ky′－b)2＝r2，(x′－ka)2＋(y′－kb)2＝(kr)2，得圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过伸缩变换后的方程为(x－ka)2＋(y－kb)2＝(kr)2，它是一个圆心为(ka，kb)，半径为|kr|的圆．

[再练一题]

1．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．

【解】 设变换为 x′＝λx，λ＞0y′＝μy，μ＞0，

代入直线方程2x′－y′＝4

得：2λx－μy＝4，即λx－μ2y＝2，

比较系数得：

λ＝1，μ＝4，

即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.

伸缩变换的应用

曲线y＝2sin 3x变换成曲线y＝3sin 2x，求它的一个伸缩变换．

【导学号：98990021】

【思路探究】 设 x′＝λxλ＞，y′＝μyμ＞代入y′＝3sin 2x′，所得式再与y＝2sin

3x比较即可求λ、μ.

【自主解答】 将变换后的曲线y＝3sin 2x改成y′＝3sin 2x′.

设伸缩变换 x′＝λxλ＞，y′＝μyμ＞，代入y′＝3sin 2x′；

得μy＝3sin(2λx)

即y＝3μsin(2λx)，与y＝2sin 3x比较系数，

得 2λ＝3，3μ＝2，即 λ＝32，μ＝32， 4 所以伸缩变换为 x′＝32x，y′＝32y.

确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．

[再练一题]

2．(1)圆x2＋y2＝a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x2a2＋y2b2＝1(0＜b＜a)?

(2)分析圆x2＋y2＝a2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．

【解】 (1)椭圆x2a2＋y2b2＝1可以化为x2＋a2y2b2＝a2，

设 x＝x′，y＝aby′，即 x＝x′，bay＝y′.

所以圆x2＋y2＝a2经过向着x轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k＝ba，可以使方程变为x2a2＋y2b2＝1.

(2)若圆x2＋y2＝a2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx＋m，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y＝－1kx.

由aby′＝kx′＋m，得y′＝bkax′＋bam.所以直线y＝kx＋m经过变换，方程可变为y＝bkax＋bam.

由aby′＝－1kx′，得y′＝－bkax′，所以直线y＝－1kx经过变换，方程可变为y＝－bkax.

此时，两条直线的斜率乘积是定值－b2a2.

若圆x2＋y2＝a2的弦所在直线的方程为x＝n，则经过其中点的直径所在直线的方程为y＝0，伸缩变换后其方程分别变为x＝n，y＝0.此时两直线依然垂直． 5 若圆x2＋y2＝a2的弦所在直线的方程为y＝n，则经过其中点的直径所在直线的方程为x＝0，伸缩变换后其方程分别变为y＝ban，x＝0.此时两直线依然垂直．

[真题链接赏析]

(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k＝2：

(1)x2－4y2＝16；(2)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.

求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线x′29＋y′24＝1.

【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．

【解】 设变换为 x′＝λx，λ＞0，y′＝μy，μ＞0，代入方程x′29＋y′24＝1，得λ2x29＋μ2y24＝1.与x2＋y2＝1比较，将其变形为λ29x2＋μ24y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.

∴ x′＝3x，y′＝2y，即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x′29＋y′24＝1.

1．直线x＋4y－6＝0按伸缩系数12向着x轴的伸缩变换后，直线的方程是________．

【答案】 x＋8y－6＝0

2．直线2x－3y＝0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是________．

【答案】 2x－9y＝0

3．曲线x2＋y2＝4按伸缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是________．

【导学号：98990022】

【答案】 x216＋y24＝1

4．y＝cos x经过伸缩变换 x′＝2x，y′＝3y后，曲线方程变为______． 6 【解析】 由 x′＝2xy′＝3y，得 x＝12x′y＝13y′，代入y＝cos x，