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二维有限体积法
二维有限体积法是一种数值解法，用于求解二维空间中的流体力学问题。
它将流体力学方程离散化为差分方程，通过对网格中有限体积进行积分，求解各个网格单元的平均物理量。
在二维有限体积法中，计算域被划分为有限个网格单元，每个网格单元都包含一个小体积，称为控制体。
对于每个控制体，通过应用质量守恒、动量守恒和能量守恒方程，在控制体内对物理量进行积分，得到差分方程。
对于质量守恒方程，可以使用面积分来近似积分，得到流量的离散形式。
对于动量守恒方程，可以使用体积分或面积分来近似积分，得到速度或压力的离散形式。
对于能量守恒方程，可以使用体积分或面积分来近似积分，得到温度或能量的离散形式。
在得到离散形式的方程后，可以通过迭代求解这些差分方程，从而求解出各个网格单元的物理量。
通常使用迭代方法，如追赶法或Jacobi迭代法来求解差分方程。
二维有限体积法在模拟流体流动、热传导和传质等问题中具有广泛应用。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且能够较准确地模拟流体力学现象。
一维对流扩散方程是指一维均匀的边界层上的传质过程的数学模型，常用于描述对流扩散过程中的温度、湿度、速度等场的分布情况。
一维对流扩散方程的数学形式为：∂φ/∂t+U∂φ/∂x=D∂^2φ/∂x^2其中φ表示传质物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，U表示对流速度，D表示扩散系数。
二维对流扩散方程是指二维均匀的边界层上的传质过程的数学模型，常用于描述对流扩散过程中的温度、湿度、速度等场的分布情况。
二维对流扩散方程的数学形式为：∂φ/∂t+U∂φ/∂x+V∂φ/∂y=D∂^2φ/∂x^2+D∂^2φ/∂y^2其中φ表示传质物质的浓度，t表示时间，x和y分别表示两个空间坐标，U和V分别表示两个方向上的对流速度，D表示扩散系数。
单调差分格式是一种常用的数值求解方法，它通过进行差分运算来求解微分方程的数值解。
在求解一维和二维对流扩散方程时，可以使用单调差分格式来解决。
具体来说，可以将空间坐标和时间分别离散化，将对流扩散方程转化为一个线性方程组，然后使用单调差分格式来解决。
单调差分格式的具体形式取决于方程的类型和离散化的方式，但一般来说，它都是将微分方程的差分形式写成一个线性方程组的形式。
例如，在求解一维对流扩散方程时，可以使用下面的单调差分格式：φ_i^{n+1}=φ_i^n+Δt(D(φ_{i+1}^n-2φ_i^n+φ_{i-1}^n)/Δx^2+U(φ_ {i+1}^n-φ_{i-1}^n)/2Δx)其中φ_i^n表示第i个网格点在时间步n的浓度值，Δx和Δt分别表示网格的空间步长和时间步长。
同样的，在求解二维对流扩散方程时，可以使用下面的单调差分格式：φ_i^n=φ_i^n+Δt(D(φ_{i+1,j}^n+φ_{i-1,j}^n+φ_{i,j+1}^n+φ_{i,j-1}^ n-4φ_i^n)/Δx^2+U(φ_{i+1,j}^n-φ_{i-1,j}^n)/2Δx+V(φ_{i,j+1}^n-φ_ {i,j-1}^n)/2Δy)其中φ_i^n表示第(i,j)个网格点在时间步n的浓度值，Δx和Δy分别表示网格在x和y方向上的空间步长，Δt表示时间步长。
第36卷第1期2019年3月经济数学JOURNAL OF QUANTITATIVE ECONOMICSVol.36,No.1Mar.2019二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法”张国平，罗贤兵（贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025）摘要针对二维非稳态对流扩散边界控制问题计算量大的问题，提出了基于降阶模型的最优实时控制方法.利用POD（the Proper Orthogonal Decomposition）和奇异值分解以及Galerkin投够方法得到了具有高精度离散形式的状态空间降阶模型.在所得的降阶状态空间模型中，利用离散时间线性二次调节器方法设计出了最优控制器.对沆一扩散过程的控制模拟结果说明了所提方法的有效性和准确性.关键词对流扩散边界控制问题；特征正交分解（POD）;奇异值分解；降维模型中图分类号0242.1文献标识码AA Reduced Algorithm for Two-Dimensional UnsteadyConvective-Diffusion Boundary Control ProblemsZHANG Guoping,LUO Xianbing{School of Mathematics and Statistics,Guizhou University,Guiyang t Guizhou550025,China)Abstract Boundary control of two-dimensional unsteady convection diffusion is a large-scale optimization problem,and an approach was presented for optimal control based on reduced-order model,which was derived from a discrete-time low-order state-space model with high accuracy by using POD(the Proper Orthogonal Decomposition),singular value decomposition (SVD)and Galerkin projection.Optimal controllers were designed based on the low-order state-space models using discrete-time linear quadratic regulator(LQR)techniques.The controlling simulation results in the convection-diffusion process illustrate the effectiveness and accuracy of the proposed method.Key words convection-diffusion boundary control problem；the Proper Orthogonal Decomposition(POD)；singular value decomposition；dimensionality reduction model1引言对流扩散方程所描述的最优控制问题山广泛应用于许多领域，如：大气污染控制问题，流体控制问题等，所以寻找稳定、高速实用的数值方法⑷，有着非常重要的实际意义.目前常用有限差分法⑷和有限元法⑷解决此类问题，然而一般情况下，大多数的差分格式和有限元格式计算量比较大，而且占用计算机内存多，特别是对于高阶的离散系统,其计算量将呈指数规律增长，计算成本将变得很大.因此，现在重要的问题是如何简化计算，减少计算时间和内存容量，并确保解具有足够的精确性.基于矩阵奇异值分解的特征正交方法（Proper Or*收稿日期:2018-10-25基金项目：国家自然科学基金项目资助（11461013）作者简介：张国平（1994-）,女，贵州遵义人•硕士研究生，研究方向：计算数学E-mail:zygpzhang®92经济数学第36卷thogonal Decomposition）能提供具有足够高精度而自由度又较小的低阶模型，简化计算，节省CPU和内存.文中所介绍的特征正交分解方法旳主要是提供一种有效逼近大量数据的最优逼近方法，它的实质是在最小二乘意义下⑷找寻能代表已知数据的一组正交基.即一种求已知数据的最优逼近方法.此外，由于POD方法是在最小二乘意义下最优的，所以该方法有完全依赖数据而不对数据作任何先验假设的优点.在文献［7］中以对流-扩散-反应过程为例，设计了基于低阶模型的线性二次调节器的最优控制⑺，将离散空间模型的阶数大大地降低了，其仿真实现了最优反馈控制的实时应用，但是没有对二维对流扩散方程描述的系统实现最优控制.本文将特征正交分解应用于二维非稳态对流扩散边界控制问题，在文献［7］的基础上将低阶模型与最优控制问题相结合提出了基于低阶模型的二维对流扩散边界控制问题.首先采用有限差分法计算出由瞬时对流扩散方程解集构成的瞬像（snapshots）,再利用奇异值分解⑷和玖）D分解方法获得对流扩散瞬像的最优特征正交基，再与伽辽金投影方法结合将高阶的状态空间模型转化为精度较高的低阶模型，并结合线性二次调节器的最优控制方法，得出基于无约束的线性二次调节器的最优反馈控制的输入/输出.以二维对流扩散边界控制问题为例，结果表明在保证较高精度的优化结果的同时可大幅度提高求解速度.2对流扩散最优控制模型降阶的算法2.1最优控制问题描述以二维对流扩散边界控制问题为例，考虑如下初边值问题：dU.dU.dU rw’u./u帀+5+%矿D(狂+昕),工€[0,兀];y E E[0,1],y=0,17=u;y=兀，(7=0,(1)工=0,学=0或z=X,学=0,dJC djC、£=0,17=0.式中2=0,U=“是输入变量，石=0是输出变量，“，5是反应器中流动速度，D为扩散系数.在二维对流扩散方程条件下，目标函数丿有如下的最优控制问题描述minjU<1>[y(t)—力了dt+(2)e2J［u（t）—U/J2dt.其中J为最优控制的目标函数，力和吋分别为控制过程输出和输入的稳态值，e为过渡过程中控制动作的权重.2.2对流扩散方程初边值问题的差分格式为探讨其差分格式，将区间［0,k］等分为j等分，每一等分的长度为h,时间步长用r表示.网格点为（心，y,t”），召=ih,y,=jh,t…=nr,i,j= 1,2,,m-j-1,n=1,2,"'Nth=7t/m.考虑最优控制问题（1）在"+1时刻的值，时间导数用向后差分格式，对流项采用迎风格式，扩散项采用中心差分格式.对式（1）离散整理得U旷=A0U；+A i S h“+AQ?.屮++A4,（3）式中：A。
流体力学中的偏微分方程模型与数值模拟流体力学是研究流体运动规律的一门学科，它涉及到许多复杂的数学模型和方程。
其中，偏微分方程模型在流体力学中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常见的偏微分方程模型，并探讨它们在数值模拟中的应用。
首先，我们来介绍一维不可压缩流体的模型。
一维不可压缩流体的流动可以用一维Navier-Stokes方程来描述。
该方程由连续性方程和动量守恒方程组成。
连续性方程描述了质量守恒，即质量在流体中的守恒性。
动量守恒方程描述了流体中的力和加速度之间的关系。
通过将这两个方程结合起来，我们可以得到一维Navier-Stokes方程。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度和压力分布。
接下来，我们来介绍二维不可压缩流体的模型。
二维不可压缩流体的流动可以用二维Navier-Stokes方程来描述。
与一维情况类似，二维Navier-Stokes方程由连续性方程和动量守恒方程组成。
不同的是，二维情况下的流体速度是一个矢量，而不是一个标量。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度和压力分布。
此外，为了简化计算，我们通常会引入一些近似方法，如雷诺平均Navier-Stokes方程，来减少计算量。
除了不可压缩流体，可压缩流体也是流体力学中的重要研究对象。
可压缩流体的流动可以用可压缩Navier-Stokes方程来描述。
可压缩Navier-Stokes方程由连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。
连续性方程描述了质量守恒，动量守恒方程描述了流体中的力和加速度之间的关系，能量守恒方程描述了流体中的能量转换。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度、压力和温度分布。
在流体力学中，还有一些其他的偏微分方程模型，如输运方程和浸渗方程。
输运方程描述了流体中物质的输运过程，浸润方程描述了流体在多孔介质中的渗流过程。
使用扩散模型数值模拟二维湍流气固两相流
杨瑞昌;赵磊;巨泽建;刘若雷
【期刊名称】《工程热物理学报》
【年(卷),期】2005()z1
【摘要】本文从描述多维湍流气固两相流的两流体模型出发,导出了计算湍流气固两相流中固体颗粒扩散速度的计算模型,进而基于在一维流场中颗粒的终端速度是重力加速度gi的函数,提出在多维流场中颗粒相处于一个修正的加速度场g'i的作用下,该修正的加速度g'i包含了包括重力在内的各种力的作用,这些力对颗粒的加速作用与重力对颗粒的加速作用没有区别。
根据这种观点,提出了用于模拟多维湍流气固两相流的改进的扩散模型。
本文使用改进的扩散模型对台阶后方的气固两相流进行了数值模拟,并将数值计算结果与实验结果进行了比较,结果表明,改进的扩散模型的预报结果与实验结果符合得相当好。
【总页数】4页(P113-116)
【关键词】湍流气固两相流;改进的扩散模型;数值模拟
【作者】杨瑞昌;赵磊;巨泽建;刘若雷
【作者单位】热能动力工程与热科学重点实验室清华大学热能工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TB120
【相关文献】
1.木纤维脉冲-旋流气流干燥气固两相流分析及数值模拟 [J], 陈峰;高珣;程万里
2.旋转,弯曲,扩散流道中流固两相流场的数值模拟及其分析 [J], 袁丹青;刘天宝
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二维对流扩散方程是一个在自然界和工程应用中都十分重要的数学模型，它描述了传输过程中同时存在对流和扩散现象的情况。
在数值计算中，我们经常面临对二维对流扩散方程进行离散化和求解的问题。
而恒稳的蛙跳积分格式是一种常用的数值求解方法，它能够有效地处理对流项和扩散项并存的情况。
在本文中，我将深入探讨二维对流扩散方程恒稳的蛙跳积分格式的原理、求解方法和应用，希望能对您有所帮助。
一、二维对流扩散方程简介让我们从简单的情况开始，了解二维对流扩散方程的基本形式和含义。
二维对流扩散方程通常可以写成如下形式：∂u+∇⋅(vu)=∇⋅(D∇u)∂t其中，u(x,y,t)表示待求解的物理量，v为流速，D为扩散系数。
这个方程描述了物质浓度随时间和空间的变化，既包括了对流的输运效应，也包括了扩散的影响。
二、恒稳的蛙跳积分格式恒稳的蛙跳积分格式是一种数值求解二维对流扩散方程的方法，它的特点是能够同时处理对流项和扩散项，并且在一定条件下能够保持数值解的稳定性。
其基本思想是将时间推进的过程分为两步，先对对流项进行积分，再对扩散项进行积分，以此来避免数值解的不稳定性。
具体来说，对于给定的时间步长Δt，恒稳的蛙跳积分格式的计算步骤如下： 1. 对流步：首先根据当前时刻t n的解u n，使用对流方程的积分格式进行推进，得到临时解u∗。
2. 扩散步：然后根据临时解u∗，使用扩散方程的积分格式进行推进，得到下一个时刻t n+1的解u n+1。
这样，通过将对流项和扩散项分开处理，恒稳的蛙跳积分格式能够有效地避免数值解的不稳定行为，同时也能够保持较高的数值精度。
三、应用与实例分析恒稳的蛙跳积分格式在流体力学、地球科学和环境工程等领域都有着广泛的应用。
例如在地下水污染模拟中，对流扩散方程恒稳的蛙跳积分格式能够很好地模拟污染物在地下水中的输运和扩散过程，为环境保护和资源管理提供重要的决策依据。
四、个人观点与总结恒稳的蛙跳积分格式作为一种数值求解二维对流扩散方程的方法，具有很好的稳定性和精度。
流体流动模拟的数值计算方法计算流体力学和离散元素法流体流动模拟是指利用数值计算方法来研究流体力学和离散元素法的一种技术。
在科学研究和工程应用中，流体流动模拟能够提供对流体流动过程的深入理解和有效预测。
本文将介绍流体流动模拟的数值计算方法以及其在流体力学和离散元素法中的应用。
一、数值计算方法在流体流动模拟中的作用数值计算方法是流体流动模拟的核心技术之一，它通过离散化流体力学方程和物理边界条件，将流体流动问题转化为离散的代数方程组。
常见的数值计算方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。
有限差分法是最早应用于流体流动模拟的数值计算方法之一，它将流体流动领域划分为离散的网格点，并通过近似差分公式来计算网格点上的物理量。
有限差分法具有简单易实现和较高计算精度等优点，但对网格的剖分和边界条件的处理比较复杂。
有限体积法是一种以控制体积为基础的数值计算方法，它将流体流动领域划分为离散的控制体积，并通过对控制体积内流体的平均物理量进行计算。
有限体积法在处理复杂流动问题时具有较好的数值稳定性和精度，尤其适用于非结构网格的模拟。
有限元法是一种广泛应用于力学问题求解的数值计算方法，它将流体流动领域划分为离散的有限元单元，并通过构造合适的基函数来描述流体的物理行为。
有限元法在处理复杂流动问题时具有较好的网格适应性和数值精度，但相对于有限差分法和有限体积法而言，计算量较大。
二、流体力学中的数值计算方法流体力学是研究流体运动规律和流体力学性质的学科，其中数值计算方法在流体力学的模拟和分析中起到重要的作用。
在流体力学中，数值计算方法可以用于求解流体流动的速度场、压力场和温度场等物理量。
通过数值模拟，可以得到流体流动的速度分布、压力分布和温度分布等信息，进而分析和预测流动过程中的各种现象和特性。
数值计算方法在流体力学中的应用包括但不限于气体动力学、湍流模拟、多相流动和辐射传热等领域。
在气体动力学中，数值计算方法可用于模拟飞行器的气动特性和空气动力学效应；在湍流模拟中，数值计算方法可用于研究流体流动中的湍流结构和湍流能量传递；在多相流动中，数值计算方法可用于分析气液、气固和液固两相流动的相互作用和界面行为；在辐射传热中，数值计算方法可用于模拟能量的传输和转化过程。
对流降解模型是一个用于描述化学物质在流体中因对流和化学反应同时存在而发生的降解过程的数学模型。
此模型考虑了对流和扩散的综合效应，即浓度梯度引起的扩散和整体流体运动引起的对流。
对流-扩散方程是描述这种质量传递规律的基本运动方程，可以通过有限差分方法和有限元法等求解方法进行求解，以得出浓度分布。
对于二维或三维问题，可以使用有限元法等数值方法进行求解。
例如，当考虑随深度变化的一阶降解和随深度变化的线性平衡吸附时，可以使用一维反应溶质运移的对流-弥散方程。
此外，我们可以通过无量纲数Péclet数（Pe）来量化对流和扩散的贡献，该数是质量传输的对流贡献与扩散贡献之比。
第 30 卷第 1 期2024 年 2 月Vol. 30 No.1February 2024二维扩散方程的Du Fort-Frankel差分格式*黄卓红，唐榕羚（广西民族大学 数学与物理学院，广西 南宁 530006）摘 要：文章对水质污染分析模型的数值求解技术展开研究，深入细致地探索扩散方程的新型差分格式，应用Du Fort -Frankel 差分格式对二维扩散方程进行离散，使用泰勒展开式，提出该类差分格式具有二阶精度，指出该类差分格式与原二维扩散方程是相容的，并验证了该类差分格式的收敛性和绝对稳定性。
关键词：二维扩散方程；Du Fort -Frankel 差分格式；相容；收敛；稳定性中图分类号： O241.6 文献标识码： A 文章编号： 1673-8462（2024）01-0105-040 引言水质污染分析模型的数学表达式往往包含微分方程、积分方程、代数方程、差分方程和微分-差分方程，等等。
［1］水质污染分析模型既是水环境科学研究的内容之一，又是水环境研究的重要工具。
［2］对流和扩散现象大量出现在自然界及工程技术领域。
例如：河流污染、大气污染和核废物污染中污染物质的分布。
人类在不断探索的过程中发现描述污染物在水体运动过程的数学模型通常都是对流-扩散方程，对于复杂的数学模型问题，人们往往只能通过数值模拟方法获得近似的数值解。
为了寻求这类数学模型的数值解，国内外许多学者做了大量的工作。
［3-7］郑永红等人［6］利用SOWMAC 格式求解了二维对流扩散方程，汪守东和沈永明［7］将SOWMAC格式、Crank -Nicloson 格式等应用到三维对流扩散方程中，并指出迎风等多种格式在求解三维对流扩散问题时存在不足。
刘忠波、房克照和孙昭晨［8］使用Crank -Nicolson 和混合4阶Adams -Bashforth -Moulton 两种时间步进格式和两种空间精度格式处理对流项，并利用所建立的差分格式求解经典污染物浓度场的三维对流扩散问题。
问题：二维非定常热传导问题的有限体积法数值模拟求解 控制方程：T T T ck k t x x y y ρ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭其中c ρ=1*105，k=10.初始条件： t = 0 时 01y ≤≤ , 01y ≤≤ T = 100 边界条件： t > 0 时 x = 0 T = 20; x = 0.1 T =0y = 0 T = 20; y = 0.1 T =0（1）采用有限体积法离散和求解公式的推导； （2）采用Fortran 语言编写源程序代码我的疑问：这道题和初始条件有关系吗？一 有限体积法离散：考虑图1所示的二维控制容积。
在时间t t t +∆到间隔内和控制容积内对方程积分：L=0.1YL=0.1边界B边界D图 1t tt tt VtVt ttVT T c dVdt k dVdt tx x T k dVdt y y ρ+∆+∆∆∆+∆∆∂∂∂⎛⎫=⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂+⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1）由奥氏公式 （1）可以写为：[][()())][()())]t tt te w Vt tt tn s tT T Tc dt dV kA kA dttx xT TkA kA dty yρ+∆+∆∆+∆∂∂∂=-∂∂∂∂∂+-∂∂⎰⎰⎰⎰（2）取0P P T T T t t-∂≈∂∆ 则0[][]()t tt tP P P P VtVtT T Tc dt dV c dt dV c T T Vt tρρρ+∆+∆∆∆-∂==-∆∂∆⎰⎰⎰⎰（3）其中A 为控制容积的表面积，V ∆为其体积，为简便起见，取0.002x y ∆=∆=**,*,*e w n s V h x y A A h y A A h x ∆=∆∆==∆==∆此时 （2）式可以写为：0()[()()))())]t tP W N P P S E PP Pe w n s PE WP PN SPtT T T T T T T T c T T V kA kA kA kA dtx x y y ρδδδδ+∆-----∆=-+-⎰（3）对右端扩散项的时间积分，我们去加权组合，0(1)P P P T T T θθ=+-，(0~1)θ=从而P T 的时间积分TI 可以写为：0[(1)]t tTP P P tI T dt T T t θθ+∆==+-∆⎰这里我们选取全隐式格式，1θ=，（3）式两边同时除以*h t ∆，可得：0*****P W P P E PN P P ST T T T T T c x y k y k yt x x T T T T k x k xy yρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆（4）有前面假设0.002x y ∆=∆=可得：()()()()0*P P E P P W N P P S T T c x y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆将,,P E W T T T 的系数归一化处理00P P W W E E S S N N P Pa T a T a T a T a T a T=++++（5） 式中00*,,,,,P W E S N P W E S N P x ya a a a a a a k a k a k a k a ctρ∆∆=++++=====∆二 求解公式推导：将计算区域划分为50*50相等的控制容积，每个控制容积x ∆=L/50=0.002内节点249,249i j ≤≤≤≤的全隐式格式离散方程为：00P P W W E E S S N N P P a T a T a T a T a T a T=++++式中00*,,,,,P W E S N PW E S N Px ya a a a a a a k a k a k a k a ctρ∆∆=++++=====∆其余节点都属于边界节点，因此需特殊处理，我们将边界条件带入公式（4）1,1i j ==时0***/2**/2P P E P P B N P PDT T T T T T c x y k y k yt x x T T T T k x k x y y ρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*22P P E P P B N P P D T T cx y k T T k T T k T T k T T t ρ-∆∆=---+---∆ 式中：0,0,,0,*,4,2()P W E S N P P W E S N PP u B D a a a a a a S a a k a a kx y a c S k S k T T tρ=++++-====∆∆==-=+∆L=0.1YL=0.1 边界B边界D1,249i j =≤≤的方程为：0***/2**P P E P P B N P P ST T T T T T c x y k y k yt x x T T T T k x k xy yρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*2P P E P P B N P P S T T c x y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆式中：0,0,,,*,2,2P W E S N P P W E S N P P u Ba a a a a a S a a k a k a k x ya cS k S kT tρ=++++-====∆∆==-=∆1,50i j ==方程为：0***/2**/2P P E P P BC P P ST T T T T T c x y k y k y t x x T T T T k x k xy yρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*22P P E P P B C P P S T T cx y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆ 式中：0,0,,,0*,4,2()P W E S N P P W E S N PP u B C a a a a a a S a a k a k a x y a c S k S k T T tρ=++++-====∆∆==-=+∆同理可得到其他边界条件下的方程：249,1i j ≤≤=方程为：0*****/2P WP P E P N P P DT T T T T Tc x y k y k y t x x T T T Tk x k x y y ρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*2P P E P P W N P P D T T cx y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆ 式中：0,,,0,*,2,2P W E S N P P W E S N PP u Da a a a a a S a k a k a a kx y a c S k S kT tρ=++++-====∆∆==-=∆249,50i j ≤≤=方程为：0*****/2PW P P E PC P P ST T T T T T c x y k y k y t x xT T T T k x k xy y ρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*2P P E P P W C P P S T T c x y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆式中：0,,,,0*,2,2P W E S N P P W E S N PP u Ca a a a a a S a k a k a k a x y a c S k S kT tρ=++++-====∆∆==-=∆50,1i j ==方程为：0***/2**/2P WP P A P N P P DT T T T T Tc x y k y k y t x xT T T Tk x k x y y ρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*22P P A P P W C P P S T T c x y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆式中：0,,0,0,*,4,2()P W E S N P P W E S N PP u A D a a a a a a S a k a a a kx y a c S k S k T T tρ=++++-====∆∆==-=+∆50,249i j =≤≤方程为：0***/2**P W P P A PN P P ST T T T T T c x y k y k yt x x T T T Tk x k x y yρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*2P P A P P W N P P S T T c x y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆式中：0,,0,,*,2,2P W E S N P P W E S N P P u Aa a a a a a S a k a a k a k x ya cS k S kT tρ=++++-====∆∆==-=∆50,50i j ==0***/2**/2P WP P A P C P P ST T T T T Tc x y k y k y t x x T T T Tk x k x y yρ---∆∆=∆-∆∆∆∆--+∆-∆∆∆化简为：()()()()0*22P P A P P W C P P S T T c x y k T T k T T k T T k T T tρ-∆∆=---+---∆式中：0,,0,,0*,4,2()P W E S N P P W E S N PP u A C a a a a a a S a k a a k a x y a c S k S k T T tρ=++++-====∆∆==-=+∆由以上可知，边界点和内节点可化为统一的标准形式仍为：00P P W W E E S S N N P P u a T a T a T a T a T a T S =+++++虽然全隐式格式对时间步长没有要求，但为了保证计算精度起见，我们仍希望采用尽可能小的t ∆，在显示格式中0P W E S N a a a a a >+++故 5*0.002*0.0021*10*0.0144*10x y t ck ρ∆∆∆<== 这里取t ∆=0.005s,则5*0.002*0.00210,1*10*800.005W E S N P x y a a a a k a ct ρ∆∆========∆加上边界条件，代入数值可得：i j==1,1t(i,j)=(10*t(i+1,j)+10*t(i,j+1)+80*t0(i,j)+800)/140=≤≤1,249i jt(i,j)=(10*t(i+1,j)+10*t(i,j-1)+10*t(i,j+1)+80*t0(i,j)+400)/130 1,50==i jt(i,j)=(10*t(i+1,j)+10*t(i,j-1)+80*t0(i,j)+400)/140≤≤=249,1i jt(i,j)=(10*t(i-1,j)+10*t(i+1,j)+10*t(i,j+1)+80*t0(i,j)+400)/130≤≤≤≤i j249,249t(i,j)=(10*t(i-1,j)+10*t(i+1,j)+10*t(i,j-1)+10*t(i,j+1)+80*t0(i,j))/120i j≤≤=249,50t(i,j)=(10*t(i-1,j)+10*t(i+1,j)+10*t(i,j-1)+80*t0(i,j))/130==50,1i jt(i,j)=(10*t(i-1,j)+10*t(i,j+1)+80*t0(i,j)+400)/140 50,249=≤≤i jt(i,j)=(10*t(i-1,j)+10*t(i,j-1)+10*t(i,j+1)+80*t0(i,j))/130 ==50,50i jt(i,j)=(10*t(i-1,j)+10*t(i,j-1)+80*t0(i,j))/140由以上方程可以编程迭代求解。
