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行测讲义--数量关系(PDF,更新版)

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数量关系

总论

第一部分 数论基础 基础篇

第二部分 基本方法 工具篇

第三部分 基本题型 实用篇

第一部分 数论基础

第一节、 数的整除特性

一、 整除与除尽的概念

1、整除：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a）。

例子：28÷7=4，88÷11=8等。 2、除尽：两数相除，没有余数，这时就说被除数能被除数除尽。整除是除尽的一种情况。

例子：38÷5=7.6叫除尽，40÷3=13.3 就不叫除尽。 二、 整除的性质

1、 a︱b, b︱c[a, b] ︱c

【例如】：3︱24,4︱2412︱24，即24能被3整除，24也能被4整除，则24一定能被3和4的最小公倍数整除。

2、 a︱b c, (a, b)=1a︱c

【例如】：3︱4a,(3,4)=13次a, 4a能被3整除，3和4互质，则a一定能被3整除。

3、 a= n︱a, m︱b,(a, b, c∈Z) 例如：a= b, (a, b∈Z)3︱a, 4︱b,整数a和b之间有 （最简分数）倍数关系，则a一定能被3整除，b一定能被4整除。

4、 a︱b, b︱ca︱c

【例如】：3整除6, 6整除18，则3一定整除18。

三、 整除的核心

排除（抓住题中关键数量关系，判断未知量被某数字整除或具体的余数值，快速排除、甚至锁定选项）

四、 常用小数字的整除判定 （一） 看局部

（1） 一个数的末位能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。

（2） 一个数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。

（3） 一个数的末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。

以此类推……

（二） 看整体

1、 整体做和

一个数各位数数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

【例题】：判断4287能否被3或9整除？ 分析：4287=4×1000+2×100+8×10+8=4×（999+1）+2×（99+1）+8×（9+1）+7=4×999+2×99+8×9+4+2+8+7，其中4×999+2×99+8×9必然是3或9的倍数，所以只需要验证4+2+8+7能否被3或9整除。 2、 整体做差

（1）7、11、13

如果一个整数的末三位与末三位以前的数组组成的数字之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。

（此方法适用于四位及四位以上的大数字） 分析：原理7×11×13=1001。用此原理来证明能被7整除的数，只看末三位与剩余三位的数字差即可。12375=1001×12+（375-12）=12012+（375-12），而12012必然能被7整除，所以只需要看（375-12）能否被7整除就可以，即末三位与剩余数字之差能否被7整除。11、13的判定原理同7。 （2）11

奇数位上数字和偶数位上数字和只差能被11整除，原数一定义能被11整除。 分析：原理，3724=3×1000+7×100+2×10+4=3×(1001-1)+7×（99+1）+2×（11-1）+4=3×1001+7×99+2×11+[(7+4)-(3+2)]，显然1001,99,11都是11的倍数，故只需判断[(7+4)-(3+2)]能否被11整除，就可以做出判断了。 （三） 截尾法

一般适用于四位数字以下（含四位）的数字。

定义：一个数截去末位数字后，所得的数字减去（加上）末位数字的n被所得的差（和）能否被除数整除来判定整除的方法。

1) 7：把个位数字截去，再从余下的数字中，减去个位数的2倍，结果是7或是7的倍数，则原数能被7整除。 分析：原理，先割去末位数组字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的2倍，实际上又减去了所割数字的20 倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的21倍。因为21=7×3, 即21是7的倍数，减去的结果是7或是7的倍数（包括0），就证明原数能被7整除，反之，则不能。举例子:483。 2) 11：依次去掉最后一个数字并减去末位数字，结果是11或是11的倍数，则原数能被11整除。 分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位减去所割去数字的1倍，实际上是减去了所割数字的10倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的11倍。11是11的倍数，减去的结果是11或是11的倍数（包含0），都证明原数字一定能被11整除，反之，则不能。举例子：2629。 3) 13：逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍，结果是13或是13的倍数，则原数字能被13整除。 分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位加上所割去数字的4倍，实际上是加上了所割数字的40倍，加上原来减去的1倍，一共加上所割数字的39倍。因为39是13的倍数，加得的结果是13或是13的倍数（包含0），则原数字一定能被13整除，反之，则不能。举例子：364。 4) 17：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的5倍，结果是17或是17的倍数，则原数字能被17整除。 分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位减去所割去数字的5倍，实际上是减去了所割数字的50倍，加上原来减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51是17的倍数，减得的结果是17或是17的倍数（包含0），则原数字一定能被17整除，反之，则不能。举例子：8765。 5) 19：逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的2倍，结果是19或是19的倍数，则原数字能被19整除。 分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位加上所割去数字的2倍，实际上有又加上了所割去数字的20倍，加上已经减去的1倍，一共加上所割数字的19倍。因为19是19的倍数，加得的结果是19或是19的倍数（包含0），则原数字一定能被19整除，反之，则不能。举例子：475。 （四） 其他合数

将该合数进行因式分解，能同时被分解后的互质因数整除。

例如：既能被2整除又能被3整除的数，一定能被6整除。 五、 整除的常见应用

（一） 文字描述整除

明显的字眼、出现“每”“平均”“倍数”等 【例题】：单位组织员工听报告会，如果每三人一条长凳，那么剩下48人没有座位，如果每5人一条长凳，则刚好空出两条长凳。报告厅员工共有多少人？ A、128 B、135 C、146 D、152 分析：根据如果每5人一条长凳，则刚好空出两条长凳可知，报告厅员工数能被5整除，故选B。 （二） 数据体现整除

出现百分比、百分数、比例等。 【例题】：有父子5人，长子的年龄比父亲的一半少7岁，次子年龄的3倍比父亲少3岁，三子年龄的6倍比父亲多6岁，幼子的年龄是父亲年龄的 。则父亲今年为（）岁。 A、56 B、48 C、42 D、36 分析：根据题意，父亲的年龄既能倍2整除，也能被21整除，即能被42整除。故选C。 （三） 计算中用整除

1、 列式后，如果式子难解就用整除化简计算过程 【例题】：99999×22222+33333×33334= A、3333100000 B、3333200000 C、3333300000 D、3333400000 分析：直接计算比较难，选项中尾数法不可使用。原计算式子，每一部分都能被3整除，结果一定能被3整除。故选C。 2、 列式后，如果式子不能被某数整除，就利用同余特性。

【例题】：34×35+37×38= A、2596 B、2586 C、2576 D、2556 分析：尾数法不可用，又不能被3整除。各数字除以3所得余数为1×2+1×2=4，4÷3=1……1,结合选项，除以3余数为1的为2596。故选A。 3、 等差或等比数列求和中利用长出特性 【例题】火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯？ A、24 B、28 C、36 D、37 分析：整除法，求a4 ,a4=a1×q3 ,q=2，则a4能被8整除，结合选项故选A。 4、 题干的描述中出现了小数字的判定方法 （1） 如果问这个六位数的后两（三）位是多少，可能考察的是2、5、4、25、8、125的倍数。 （2） 如果问这个六位数的后三位比前三位多多少，可能考察的是7、11、13的倍数。 （3） 如果问这个六位数的所有数字之和，可能考察的是3、9的倍数。 第二节、 余数问题

一、 余数

1、 余数的概念

被除数减去商和除数的积，结果叫做余数。

2、 负余数 余数中大于0且小于除数的余数叫做“正余数”，即通常意义上的余数。正余数减去除数，所得的结果定义为“负余数”。

负余数的意义：若干相同物体均分为若干份时，最后一份不足的物体个数。 3、 计算关系式

被除数=除数×商+余数，

最小正余数-除数=最大负余数。

二、 同余

1、 同余系

定义：给定一个正整数m，如果整数a、b、c……一系列数用m除所得的余数相同，则称整数a、b、c……这系列数是m 的同余系。

2、 同余特性

（1） 余数的和决定和的余数。 【例】23、16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数是4；24、28除以5的余数分别是4和3，所以（23+28）除以5的余数是7，正余数是2。真也是为什么用“决定”而不用“等于”的原因，下同。 （2） 余数的差决定差的余数。 【例】29、17除以5所得的余数分别为4和2，那么29-17=12除以5所得的余数为2=4-2。 （3） 余数的积决定积的余数。 【例】23、16除以5所得的余数分别为3和1，那么，23×16除以5所得的余数为3×1=3；22、19除以5所得的余数分别为2和4，而22×19除以5所得的余数为8，正余数为3。 （4） 余数的幂决定幂的余数。

【例】求20122012÷7的余数。 分析：一个2012除以7的余数为3，所以32012÷7的余数为32012，32012=91006，除以7的余数为2；21006=8335×2，相应的余数是1335×2=2。 3、 同余特性的应用

（1） 解不定方程 【例】不定方程x+3y=100，其中x、y均为正整数。则x可以为下列的那个值（ ） A、41 B、42 C、43 D、44 分析：因为3y能被3整除，100除以3的余数为1，根据同余特性，x除以3的余数必定是1，故选C。 （2） 求日期 【例】老王、老李、老周三人周一同去图书馆，已知老王每隔15天去一次图书馆，老李每隔16天去一次图书馆，老周每隔17天去一次图书馆。那么三人下次一同去图书馆是周几。 分析：要求下次三人一同去图书馆的时间，即求15、16、17的最小公倍数，然后除以7找余数。已知，15、16、17除以7的余数分别为1、2和3，那么，15×16×17除以7的余数为1×2×3=6。所以下次一同去图书馆的时间为周一后的6天，即周日。 三、 中国剩余定理

1、 剩余问题的通用形式

（1） 余同：某个数字R分别除以a、b、c…所得的余数相同，则称为余同。 【例】507除以7，余数为3；除以8余数为3；除以9余数为3。（504=7×8×9+3） 余同求被除数的公式：被除数=除数的最小公倍数+余数。 （2） 和同：某个数字S分别除以a、b、c…所得的余数与分别与对应的除数相加之和相等，称为和同。 【例】514除以7余数为3；514除以8,余数为2，514除以9余数为1。（514=7×8×9+10） 和同求被除数公式：被除数=最小公倍数+和。 （3） 差同：某个数字T分别除以a、b、c…所得的余数，除数与其相对应余数的差相等，称为差同。 【例】498除以7余数为1；除以8余数为2；除以9余数为3。（498=7×8×9-6） 差同求被除数公式：被除数=最小公倍数-差。 2、 剩余问题的解法

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行测数量关系技巧备考：掌握“日期问题”解题规律

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⾏测数量关系技巧备考：掌握“⽇期问题”解题规律

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⾏测数量关系技巧备考：掌握“⽇期问题”解题规律

在⾏测考试中，有⼀类和⽣活实际相关，考试出题量不⼤但却能够作为得分点的题型——⽇期问题。接下来的这篇⽂章就来揭开⽇期问题的“⾯纱”，掌握规律进⾏解题。

⾸先需要掌握⽇期问题的常见规律：

年：平年365天(2⽉28天)，闰年366天(2⽉29天)。

星期：平年365÷7=52个……1天，闰年366÷7=52个……2天。

⽉份：⼤⽉31天：1、3、5、7、8、10、12;⼩⽉30天：4、6、9、11⽉;2⽉特殊。

解决⽇期问题可以按照周期问题的思想来进⾏解题。

【例1】某⽉有31天，有4个星期三和4个星期六，那么这个⽉的15号星期⼏?

A.星期⽇ B.星期六 C.星期五 D.星期四

【解析】该⽉31天，则31÷7=4……3天，该⽉有4个完整周期余下三天。可将31天看为1号、2号、3号、4~31号(28天)，根据题⼲4~31号这四个星期有4个星期三和4个星期六，则剩余的1~3号不可能存在星期三和星期六。则证明3号⼀定是星期⼆，向前推导1号为星期⽇，本⽉15号向前数完整的星期数14恰好为1号，则15号星期数与1号相同，为星期⽇。答案为A选项。

【例2】 某⼀年有53个星期⼆，并且当年的元旦不是星期⼆，那么下⼀年的最后⼀天是( )?

A.星期⼀ B. 星期⼆ C.星期三 D. 星期四

【解析】题中并未明确说明这⼀年是闰年还是平年，需要分情况考虑。若此年为平年有52个完整星期余1天，正好有53个星期⼆，且当年的元旦不是星期⼆，则最后⼀天为星期⼆，那么下⼀年最后⼀天为星期三。若此年为闰年，有52个完整星期余下2天，最后⼀天为星期⼆，当年元旦为星期⼀，则下⼀年的第⼀天为星期三，最后⼀年为星期五。综上答案为C选项。

2012江苏深度讲义-数量关系

2012江苏深度讲义-数量关系

第一章 两个“数”的敏感性 第一节 数字敏感性

一、基础知识

1、含义

2、要求

二、能力训练

例1.0，7，26，63，124，（ ）【2009-江苏-省考A-1】

A.125 B.215 C.216 D.218

例2.5，2，17，10，（ ），26 【2011-江苏-省考B-79】

A.49 B.30 C.35 D.37

例3.121，729，2 401，3125，729，（ ）【2009-江苏-省考C-4】 A.100 B.1 C.0.5 D.125

例4. 1，4，3，1，

51

，361

，（ ）

A.1

92 B. 1

124 C. 1

262 D. 1

343

第一章 基本思想

第一节 数的整除思想

一、核心思想

（1）基础知识：

（2）应用环境：

二、能力训练

例1.四位数1♢0♢0能被55整除，那么空格处应是数字？

A .1、5 B .6、5 C .6、2 D.7、2

例2.六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，

乙取2张，丙取1张，结果甲、乙各自手中卡片上的数字加和之后发现其中一个人是另一个

人的2倍，则丙手中卡片上的数是_________。

A.1193 B. 1258 C. 1912 D.2494

例3.父亲的年龄个位和十位数字交换之后恰好等于儿子的年龄，那么父子俩年龄之差可

能是多少？

A.9 B.19 C.25 D.27

行测数量关系题型：牛吃草模型的巧解方法

行测数量关系题型：牛吃草模型的巧解方法

⾏测数量关系题型：⽜吃草模型的巧解⽅法

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⾏测数量关系题型：⽜吃草模型的巧解⽅法

在⾏测数量关系的常考题⽬中，⽜吃草是⼀类常见的考题类型，⽽最常考的两类题型是追及型⽜吃草和相遇型⽜吃草，只

要掌握这类题型的做题原理和⽅法，就能快速准确地选出正确答案。

⼀、追及型⽜吃草例1.⼀⽚草地上草每天都均匀地⽣长，如果放24头⽜，则6天吃完牧草；如果放21头⽜，则8天吃完牧

草。问如果放16头⽜，⼏天可以吃完牧草？

如图所⽰，⽤M表⽰草地上的原始草量，⽜吃草使草量减少，草在匀速⽣长使草量增加，⽜吃完草的时候相当于⽜追上了

正在⽣长的草，构成了⼀个追及问题，⽽原始草量M就是⽜⽐草多⾛的路程。我们假设每头⽜单位吃草量为1，草单位时间⽣

长量为x，设16头⽜t天可以吃完，则原始草量M=（24-x）×6=（21-x）×8=（16-x）×t，解得x=12，t=18，所以16头⽜18天可

以吃完牧草。

根据这道题，我们可以得出追及型⽜吃草的做题公式，假设每头⽜单位吃草量为1，草单位时间⽣长量为x，⽜吃草的时

间记为T，则原始草量M=（⽜的数量-x）×T。

⼆、相遇型⽜吃草例2.⼀⽚草地上草每天都匀速枯萎，如果放2头⽜，7天可以吃完；如果放3头⽜，6天可以吃完。若要

在3天内吃完，则需要多少头⽜？

如图所⽰，我们依然⽤M表⽰草地上的原始草量，⽜吃草使草量减少，草在匀速枯萎也使草量减少，⽜吃完草的时候相当

于⽜与正在枯萎的草相遇了，构成了⼀个相遇问题，⽽原始草量M就是⽜与草⾛的路程和。假设每头⽜单位吃草量为1，草单

位时间枯萎量为x，设y头⽜3天可以吃完，则原始草量M=（2+x）×7=（3+x）×6=（y+x）×3，解得x=4，y=10，所以10头⽜3

天可以吃完牧草。

根据这道题，我们可以得出相遇型⽜吃草的做题公式，假设每头⽜单位吃草量为1，草单位时间枯萎量为x，⽜吃草的时

(完整word版)行测数量关系秒杀口诀

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行测数量关系秒杀口诀

20天行测83分 申论81分（经验）

（适合：国家公务员，各省公务员，村官，事业单位，政法干警，警察，军转干，路转税，选调生，党政公选，法检等考试）

———知识改变命运，励志照亮人生

我是2010年10月15号报的国家公务员考试，报名之后，买了教材开始学习，在一位大学同学的指导下，大约20天时间，行测考了83.2分，申论81分，进入面试，笔试第二，面试第一，总分第二，成功录取。在这里我没有炫耀的意思，因为比我考的分数高的人还很多，远的不说，就我这单位上一起进来的，85分以上的，90分以上的都有。只是给大家一些信心，分享一下我的经验，我只是普通大学毕业，

智商和大家都一样，关键是找对方法，事半功倍。

指导我的大学同学是2009年考上的，他的行测、申论、面试都过了80分，学习时间仅用了20多天而已。我也是因为看到他的成功，才决定要考公务员的。“人脉就是实力”，这句话在我这位同学和我身上又一次得到验证，他父亲的一位朋友参加过国家公务员考试命题组，这位命题组的老师告诉他一些非常重要的建议和详细的指导，在这些建议的指导下，我同学和我仅仅准备了20天左右的时间，行测申论就都达到了80分以上。这些命题组的老师是最了解公务员考试机密的人，只是因为他们的特殊身份，都不方便出来写书或是做培训班。下面我会把这些建议分享给你，希望能够对你有所帮助。

在新员工见面会上，我又认识了23位和我同时考进来的其他职位的同事，他们的行测申论几乎都在80分以上，或是接近80分，我和他们做了详细的考试经验交流，得出了一些通用的备考方案和方法，因为只有通用的方法，才能适合于每一个人。

2010年国考成功录取后，为了进一步完善这套公务员考试方案，我又通过那位命题组的老师联系上了其他的5位参加过命题的老师和4位申论阅卷老师，进一点了解更加详细的出题机密和阅卷规则。因为申论是人工阅卷，这4位申论阅卷老师最了解申论阅卷的打分规则，他们把申论快速提高到75到80分的建议写在纸上，可能也就50页纸而已，但是，他们的建议比任何培训机构和书籍效果都好（我是说申论）。这一点我是深有体会并非常认同的。