高考一轮复习数学试题(新人教B版)第八章8-7抛物线

则 λ 的值为( )
3
3
A.4
B.2
C. 3
D．3
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)， 则 x1＋2＝6，解得 x1＝4，y1＝±4 2，点 A(4,4 2)， 则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－2)， 令 x＝－2，得 C(－2，－8 2)， 联立方程组yy2＝＝28x2，x－2， 解得 B(1，－2 2)， 所以|BF|＝1＋2＝3，|BC2018·北京东城区期末)已知抛物线 C1：y＝21px2(p>0) 的焦点与双曲线 C2：x32－y2＝1 的右焦点的连线交 C1 于第一
象限的点 M，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近 线，则 p＝( )
3 A. 16
3 B. 8
23 C. 3
43 D. 3
解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为 0，p2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线 方程为 y＝－p4(x－2)．设 M(x0，y0)，则有 y′＝1px0＝ 33⇒x0 ＝ 33p.因为 y0＝21px20，所以 y0＝p6.又 M 点在直线 y＝－p4(x－ 2)上，即有p6＝－p4 33p－2⇒p＝4 3 3，故选 D.
3．(2018·广东广州模拟)如果 P1，P2，…，Pn 是抛物线 C：y2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，…，xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F| ＋…＋|PnF|＝( )
A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20
8．(2018·河北邯郸调研) 已知 M(x0，y0)是曲线 C：x22－ y＝0 上的一点，F 是曲线 C 的焦点，过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N，若M→F·M→N＜0，则 x0 的取值范围是( )

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板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
(2)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该抛物线上 的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离
9 为___4_____．
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF| ＋|BF|＝5，即 x1＋14＋x2＋14＝5，解得 x1＋x2＝92，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为x1＋2 x2＝94.
9
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
二、小题快练
1．[2016·四川高考]抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( )
A．(0,2)
B．(0,1)
C．(2,0)
D．(1,0)
解析 ∵2p＝4，p＝2，∴p2＝1.∴焦点坐标为(1,0)，故 选 D.
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板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
解析 由题意可知，点 A 在抛物线 x2＝ay 上，所以 1
＝14a，解得 a＝4，得 x2＝4y.由抛物线的定义可知点 A 到焦
点的距离等于点 A 到准线的距离，所以点 A 到抛物线的焦
点的距离为 yA＋1＝14＋1＝54.
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板块一
板块二
板块三
板块四
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板块二 典例探究·考向突破
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2 ＋p＝6，∴p＝4，即抛物线方程为 x2＝8y.
29
板块一
板块二
板块三
板块四

p＝2，焦点坐标为1，0，故选 B.
1 23 45
解析答案
A
解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋14， ∵|AF|＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.
1 23 45
解析答案
3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0). 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( B )
解析答案
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小 值为____4____. 解析 如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于 点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝ |BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.
245＋16＝
89 2.
引申探究
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A， B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝____8____ 解析 分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛 物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋ |BN|＝2|PQ|＝8.
A.2 2
B.2 3
C.4
D.2 5
解析 设抛物线方程为 y2＝2px，则点 M(2，±2 p). ∵焦点p2，0，点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， ∴2－p22＋4p＝9，解得 p＝2(负值舍去)， 故 M(2，±2 2).
∴|OM|＝ 4＋4×2＝2 3.
1 23 45
2
2 .
思维升华
解析答案
跟踪训练2

第七节抛物线【考纲下载】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py方程 (p ＞0)(p ＞0)(p >0) (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p 21．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p 2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p2.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2. 3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫0，18D.⎝⎛⎭⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18，而抛物线x 2＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，∴2p ×p 4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭⎫24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324.答案：324前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (2013·湖南高考)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．[解题指导] (1)直线l 1的方程与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由向量的坐标形式得出FM ·FN 的表达式，再证明不等式； (2)先求出点M 到直线l 的距离的表达式，再求最值，结合已知条件即可求p ，从而得出抛物线方程．[解] (1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)． 于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2， 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .[名师点评] 解答本题的关键有以下两点：(1)充分利用k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2时，k 1·k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222；(2)注意2k 21＋k 1＋1>0，即d ＝|2k 21＋k 1＋1|5＝2k 21＋k 1＋15.(2014·湖州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8， ∴2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x . (2)∵l 1：y ＝－x ，又直线l 2与l 1垂直，所以可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m 得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0， ∴m ＞－2.由韦达定理，y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝(y 1y 2)264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。