(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第七节 课时跟踪训练 理

、选择题1. f(x) = x3+ ax2 + bx + c ,其中 a , b , c 为实数，且 a2v 3b ,则( )A . f(x)在R 上是增函数B. f(x)在R 上是减函数C. f(x)在R 上不是单调函数D. f(x)是常数【解析】 f ' (x) 3x2 + 2ax + b ,当 a2v 3b 时，△= 4a2- 12b = 4(a2- 3b) v 0.••• f ' (x)0恒成立.f(x)在R 上是增函数.【答案】 A2. 设曲线y = xn + 1(n € N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 xn ,则x1 • x2 ...........等于()A.— C.【解析】 y'= (n + 1)xn ，曲线在点(1,1)处的切线方程为 y — 1 = (n + 1)(x — 1)，令y = 0,得 贝卩 x1 • x2 •…=xn •.…—= ----2 3 n +1 n +1【答案】 B3. 若直线y = m 与y = 3x — x3的图象有三个不同的交点，则实数 m 的取值范围为( )A . — 2v m v 2B . — 2<C . m v — 2 或 m >2D . m< — 2 或 m >2【解析】 y = 3(1 — x) (1 + x)由 y = 0,得 x = ±1,• y 极大=2, y 极小=—2，•— 2v m v 2.【答案】 A4. 在R 上可导的函数f(x)的图象如图2 — 12— 3所示，则关于x 的不等式x • f'<(0)的解集 B . (— 1,0) U (1 ,+s)C . (— 2,— 1) U (1,2) 课时知能训练xn B.xn =nn + 1.A . (— s,— 1) U (0,1)D . (— s,—2) U (2 , + s)【解析】(1)当x€ (—s,—1)和x€ (1 ,+ s时，f(x)是增函数,• •• f ' (x)0,因此 X V 0,• •• x • f ' V x0 的范围是(—g,— 1).⑵当—1V X V 1 时，f(x)递减，• f ' (V O.由 x • f ' V xO ，得 x >0,• 0 V x V 1.故 x • f ' V <0 的解集为(—g,— 1) u (0,1).【答案】 Af x 5. 已知函数y = ——(x € R)满足f ' (»f(x)，贝U f(1)与ef(0)的大小关系是( )exA . f(1) V ef(0)B . f(1) > ef(0)C . f(1) = ef(0)D .不能确定 f x【解析】 令g(x) = , 则函数g(x)在R 上单调递增，所以有 g(1) >g(0)，即匚宁 > — ，所以可得f(1) >ef(0). e1 e0【答案】 B二、填空题1 39 6. 电动自行车的耗电量 y 与速度x 之间有如下关系：y = 3x3 —— 40x(x >0)，为使耗电 量最小，则速度应定为 _______ .【解析】 由 y '= x2 — 39x — 40= 0,得 x = — 1 或 40,由于 0v X V 40 时，y'v 0 ;当 x > 40 时，y'> 0.所以当x = 40时，y 有最小值.【答案】 407. _____________________________________________________________ 已知函数f(x) = xsin x + cos x ,贝U f( — 3)与f(2)的大小关系是 _______________________________ .【解析】 f ' (x) x c os x + sin x — sin x = xcos x.n n当 x € £, n 时，f(x) V 0,「. f(x)在 © n 上递减，• f(2) > f(3).由f(x)是偶函数，得f( — 3) = f(3),• f(2) > f( — 3).【答案】 f(2) > f( — 3)8.已知函数f(x) = x2+ mx + In x 是单调递增函数，则m 的取值范围是 _________2x2 斗 mx -P 1【解析】 依题意知，x > 0, f ' (= 2x2十mx 十1,x令 g(x) = 2x2 + mx + 1, x € (0,+g),当—罗WO 时g(0) = 1 >0恒成立，二m 》0成立， 当—屮〉0 时，贝 U △= m2 — 8WQ •— 2 2 WmV 0, 综上，m 的取值范围是m>— 2 2.【答案】 m>— 2 2三、解答题9•甲、乙两地相距 400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100千米/小时， 则g '符 f ' x ex — f x ex e2x f ' x — f x ex已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P= 」v4-丄19 200 160 v3+ 15v,(1) 求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2) 为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.【解】(1)Q = P^00=(」v4 —丄v3 + 15v)—v 19 200 160 丿v—1 1—(19 200v3—160v2+ 15) 400v3 5= --v2 + 6 000(0 v v w 100.)48 2v2⑵由(1)知，Q'=届—5v,令Q' = 0，则v = 0(舍去)或v= 80,当0v v v 80 时，Q'v 0 ;当80v v w 100时，Q'> 0.•••当v= 80千米/小时时，全程运输成本取得极小值，又函数在(0,100］内有唯一极小值，也就是最小值.故运输成本的最小值为Q(80) = 2-!300(元).10. f(x) = x3 —x2 —x + a,当a在何范围内取值时，y = f(x)与x轴仅有一个交点.1【解】令 f ' (x)3x2 —2x— 1 = 0，得x =—丄，x = 1,31 5可知f( —1 = 27+ a为极大值，f(1) = a—1为极小值.3 2 7①当27+ a v 0，即a€ (—g，—27)时，y= f(x)与x轴仅有一个交点;②当a— 1 >0，即a€ (1，+g)寸，y= f(x)与x轴仅有一个交点. 故所求a的取值范围是(一g，—27) U (1，+ g).11. (2020辽宁高考改编)已知函数f(x) = In x —ax2+ (2 —a)x.(1)讨论f(x)的单调性；1 1 1⑵设a>0,证明：当0v x v a时，f(a+ x) >f(-—x).a a a【解】(1)f(x)的定义域为(0，+ g),①若 a <0,则 f ' (x)0,所以f(x)在(0 ,+R 上是增函数.1②若a > 0,则由f ' (X 0，得x = a— —又当 x € (0,-)时，f ' >0；当 x >-时，f ' (x )0. a a— —所以f(x )在(0, ?上单调增加；在 q ,+g 上单调减少.— —⑵证明设函数g (x )=Q +x)—町—x).则 g(x) = In(— + ax) — In(— — ax) — 2ax , ‘ —a a 2a3x2 g (x) + — 2a =—+ ax — — ax — — a2x2，—当 0v x v -时，g ' (x >0, a「(x)1 -2ax + (2-a)=- X2x + 1 ax — 1x又g(0) = 0,所以g(x) >0.———故当0v x v -时,f( + x) > f( —x).a a a。

课时知能训练一、选择题1. (2020阳江模拟)已知直线 的斜率为 I1 : y = 2x + 3，直线I2与I1关于直线y =— x 对称，则直线I2 1 A.g 【解析】 ( )B --1 点A(0,3) , B( — 1,1)在直线I1上，则点A , B 关于直线y =— x 的对称点A —3,0),1 — 0 12.C . 2B ' —1,1)在直线I2上，故直线I2的斜率k =_1—— 3 【答案】 A 2. 直线 mx + 4y — 2= 0与2x — 5y + n = 0垂直，垂足为(1,A . — 12 【解析】 由垂足(1 , p =— 2,B .- 2C . 0D . 10由 2m — 20= 0 得 m = 10,p)在直线 mx + 4y — 2 = 0 上得，10 + 4p — 2 = 0,又垂足(1,— 2)在直线2x — 5y + n = 0上，••• 2X 1 — 5X( — 2) + n = 0 ,.n =— 12.【答案】 A3.若直线I 与直线y = 1, x = 7分别交于点P , Q ,且线段 线I 的斜率为( )1代3 B . 【解析】 故直线I p)，则n 的值为() PQ 的中点坐标为(1, - 1)，则直 a + 7 = 2, 设点P(a,1), Q(7, b)，则有 解得 b + 1 = — 2,b =— 3. a =— 5,13. 4.光线沿直线 y = 2x + 1射到直线y = x 上，被y = x 反射后的光线所在的直线方程为 1 1 1A . y = ^x — 1B . y = ^x — 2c 1 1 1C . y = 2^ + 2D . y = * + 1y = 2x + 1,口 x =— 1 , 、 【解析】 由得即直线过点(一1 , — 1).y = x. y =— 1, 又直线y = 2x + 1上一点(0,1)关于直线y = x 对称的点(1,0)在所求直线上，y — 0 x — 1 1 1•••所求直线的方程 一一一0=—■一？即卩y =2x —2.【答案】 B5. (2020北京高考)已知点 A(0,2) , B(2,0).若点C 在函数y = x2的图象上，则使得厶 ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A . 4B . 3C . 2D . 1【解析】 设C(t ，⑵,又A(0,2) , B(2,0)【答案】 B( )则直线AB的方程为y=—x+ 2.•••点C到直线AB的距离d=|t2+匸2|<2又•/ |AB| = 2 2,1•S A ABC = ^X|AB| d=|t2+1 —2|.令|t2 + t —2|= 2 得t2 + t —2 =±,•t2 +1 = 0或t2 + t —4= 0,符合题意的t值有4个，故满足题意的点C有4个.【答案】A二、填空题6. 过点(1,0)且与直线x —2y—2 = 0平行的直线方程是____________1【解析】所求直线的斜率为2,1故所求的直线方程为y= -(x —1)，即x—2y —1= 0.【答案】x —2y —1 = 07. _________________________________________________________ 与直线2x + 3y—6 = 0关于点(1 , —1)对称的直线方程是______________________________________ .【解析】设所求直线方程为2x+ 3y + m= 0(m M—6),|2—3 —6| |2—3 + m|则有= ，即|m—1|= 7，- m= 8寸22+ 32 寸22 + 32故所求直线方程为2x+ 3y + 8= 0.【答案】2x + 3y+ 8= 0&经过直线3x —2y+ 1 = 0和x+ 3y + 4 = 0的交点，且垂直于直线x+ 3y+ 4= 0的直线I的方程为.3x —2y + 1 = 0,【解析】解方程组得交点坐标(—1,—1).x + 3y+ 4 = 0,又直线I的斜率k = 3.所以I的方程为y + 1 = 3(x+ 1)，即3x —y + 2 = 0.【答案】3x —y + 2= 0三、解答题9. 已知直线l: (2a + b)x + (a+ b)y + a—b = 0 及点P(3,4).(1)证明直线I过某定点，并求该定点的坐标.(2)当点P到直线【解】(1)证明I的距离最大时，求直线I的方程.I 的方程化为a(2x + y + 1) + b(x + y —1) = 0,,2x + y+ 1 = 0 由x + y—1 = 0,x = —2得，y= 3•直线l恒过定点(—2,3).⑵设直线l恒过定点A( —2,3)，当直线I垂直于直线PA时，点P到直线I的距离最大，又4 一3 1直线PA的斜率kPA= = 1，3 + 2 5•直线I 的斜率kl =— 5.故直线I 的方程为y — 3=— 5(x + 2)，即5x + y + 7= 0.10. (2020宁波模拟)已知直线I 经过直线3x + 4y — 2= 0与直线2x + y + 2= 0的交点P ,且 垂直于直线 x — 2y — 1 = 0.(1) 求直线I 的方程；(2) 求直线I 与两坐标轴围成的三角形的面积S. 3x + 4y — 2 = 0x = — 2 【解】 (1)由 解得 . 2x + y + 2= 0 y = 2由于点P 的坐标是(一2,2).所求直线I 与x — 2y — 1 = 0垂直，可设直线I 的方程为2x + y + C = 0.把点P 的坐标代入得2* — 2)+ 2+ C = 0，即C = 2.所求直线I 的方程为2x + y + 2= 0.⑵又直线I 的方程2x + y + 2= 0在x 轴、y 轴上的截距分别是—1与—2.1 则直线I 与两坐标轴围成三角形的面积 S = 1*1 >2 = 1.11. 在直线1: 3x — y — 1= 0上求一点P ,使得P 到A(4,1)和B(0 , 4)的距离之差最大.【解】 如图所示，设点 B 关于I 的对称点为B',连结AB'并延长交I 于P ,此时的P 满足 |PA|—|PB |的值最大.设B'的坐标为(a , b),则 kBB' • = — 1,即 4 3 =— 1 a••• a + 3b — 12= 0•①a b -4- 4 a b+ 4又由于线段 BB 的中点坐标为 g, —2~)，且在直线I 上，• 3— —2~ — 1 = 0，即3a — b — 6 =0.②①②联立，解得 a = 3, b = 3,「. B' (3,3)于是AB 的方程为匕=邑即 2x + y — 9= 0. 3x — y — 1 = 0, 解2x + y — 9= 0,得 x = 2， y = 5, 即I 与AB 的交点坐标为 P(2,5).。

课时跟踪检测(八) 函数的图象一、题点全面练1．函数f (x )＝x e－|x |的图象可能是( )解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x，因为e －x＞0，所以f (x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，x ＋a ，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，x ＋，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D 在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.5．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析：选C 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移一个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·s in x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1·sinx ＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，故排除C 、D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin2＜0，故排除B ，选A.7.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B 令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a＞1，又当x ＞－b a时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.8．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x,2x －3,6－x }，则M 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选C 画出函数M ＝max{2x,2x －3,6－x }的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M 在点A (2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.9.已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：选B 由题意知，当－1＜t ＜0时，S 越来越大，但增长的速度越来越慢．当t ＞0时，S 的增长速度会越来越快，故在S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案：{x |－1<x ≤1}11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －a ，x ≥0，－x x －a ，x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·大同质检)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析：选C 因为f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故f (2x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0成中心对称． 2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．3．(2019·合肥质检)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x －a ＝－(e －x－a )，即a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)(二)素养专练——学会更学通4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (x )的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 由y ＝f (x )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C ，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5．[直观想象]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1为周期的＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1.函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝21－x－1方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个函数y ＝f (x )与y ＝x＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(－∞，1)．(三)难点专练——适情自主选6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 7．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于ax －1<34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)， 即a2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。

(> 0).课时知能训练一、选择题1 方程(x — y)2 + (xy — 1)2= 0 的曲线是( )A •一条直线和一条双曲线B .两条直线 C. 两个点 D. 4条直线x = 1 x =— 1••• 或 ，y = 1 y =— 1即方程表示两个点(1,1)和(—1,— 1). 【答案】 C2.已知椭圆的焦点是 F1, F2, P 是椭圆上的一个动点，如果 M 是线段F1P 的中点，则动点M 的轨迹是()A .圆B .椭圆C .双曲线的一支D .抛物线【解析】 设椭圆的中心为 0,贝U OM 是厶PF1F2的中位线， • |M0| + |MF1| = a > c ,•动点M 的轨迹是以点F1 , 0为焦点的椭圆. 【答案】 B3.已知点A( — 1,0), B(2,4) , △ ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程是( )A . 4x — 3y — 16= 0 或 4x — 3y + 16= 0 B. 4x — 3y — 16 = 0 或 4x — 3y + 24= 0 C. 4x — 3y + 16 = 0 或 4x — 3y + 24= 0 D. 4x — 3y + 16= 0 或 4x — 3y — 24= 0【解析】 •/ AB 的方程为4x — 3y + 4= 0,又|AB| = 5, 设点C(x , y)由题意可知"x -5y +4| = 10, 2 5• 4x — 3y — 16= 0 或 4x — 3y + 24= 0. 【答案】 B4. (2020杭州模拟)设P 为圆x2+ y2 = 1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为 Q ,若PM = WlQ (其中入为正常数)，则点M 的轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线【解析】由(x — y)2 + (xy — 1)2 = 0 得x — y = 0 xy — 1 = 0,【解析】设M(x , y), P(x0, y0)，则Q(x0,0),T T x —x0 =入x0 —x 由PM =涮Q得y —y0=—入yx0 = x y0 =入 + 1 y由于 x2 + y0= 1 ,••• x2 + ( H 1)2y2= 1, •••点M 的轨迹是椭圆. 【答案】 B5. 设圆(x + 1)2 + y2 = 25的圆心为 C , A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ，则M 的轨迹方程为( )【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM| = |MQ|,• |MC| + |MA| = |MC| + |MQ| =|CQ|= 5,5 21• a = ^, c = 1，则 b2 = a2 — c2=—,•椭圆的标准方程为4x2 + 4y2= 1.25 21【答案】 D 二、填空题6. (2020汕头模拟)已知A , B 是圆O : x2 + y2= 16上的两点，且|AB| = 6,若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C(1 , — 1),则圆心M 的轨迹方程是 ________________ . 【解析】 由题意△ ABC 是以点C 为直角顶点的三角形. • |MC| = 3,故圆心M 的轨迹是以点 C(1 , — 1)为圆心，以3为半径的圆， 其轨迹方程为(x — 1)2 + (y + 1)2 = 9. 【答案】 (x — 1)2 + (y + 1)2= 97. 已知点 M( — 3,0), N(3,0), B(1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M , N 与圆C 相切的两直线相交于点 P ,则P 点的轨迹方程为 ______________ .【解析】 依题意，设PM , PN 与圆的切点为C , D ，则|PM| — |PN|= (|PC|+ |MC|) — (|PD| +|DN|) = |MB| — |NB| = 2,「.点 P 的轨迹是以M , N 为焦点的双曲线 (与x 轴的交点除外)的右支，c = 3, a = 1, b2 = 8,轨迹方程为x2 — y -= 1(y M0 8 x > 0).【答案】 x2 — y2 = 1(y 工0 8x > 0)&△ ABC 的顶点 A( — 5,0)、 B(5,0) , △ ABC 的内切圆圆心在直线x = 3上，则顶点C 的轨迹方程是A 4X 2 -坐=121 254x24y2 4y2 = 21 =4x2 4X2+10. (2020陕西高考)如图8— 5— 4,设P 是圆x2 + y2= 25上的动点，点 D 是P 在x 轴上的 投影，M为PD 上一点，且|MD| = 5|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；⑵求过点(3,0)且斜率为4的直线被C 所截线段的长度. 5【解】 ⑴设M 的坐标为(x , y), P 的坐标为(xP , yP),xP = x ,由已知得5 yp =4y ,••• p 在圆上，.x2 +拿)2 = 25，即轨迹C 的方程为 營+ %= 1.7 1A0 K【解析】 如图，|AD| = |AE| = 8,|BF|=|BE|= 2, |CD|=|CF|, 所以 |CA|— |CB|= 8 — 2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x2 — y|=1(x > 3).【答案】x2—y2=i(x > 3) 三、解答题9.已知直线I : y = kx + 1与圆 点M 的轨迹方程.【解】 直线I 与y 轴的交点为C : (x — 2)2 + (y — 3)2= 1相交于 A 、B 两点，求弦 AB 的中 N(0,1)，圆心 C(2,3)，设M(x , y),v MN 与MC 所在直线垂直, y — 1 y — 3=—1, (x MC 且 X M 2)x x — 2 当x =0时不符合题意，当AB 中点的轨迹方程为：x = 2时，y = 3符合题意，4 4⑵过点(3,o )且斜率为5的直线方程为y = 5(x — 3), 设直线与 C 的交点为 A(x1 , y1), B(x2 , y2),4将直线方程y = 5(x — 3)代入C 的方程，得311.已知点A(2,0) , B( — 2,0), P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为一4.(1) 求动点P 的轨迹方程；1(2) 过点(2，0)作直线I ，与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜 率k 的取值范围.【解】(1)设P 点的坐标为(x, y),依题意得一^ •^- =— 3(x 工±,2化简并整理得 晋+ y | =x — 2 x 十 2 4 4 31(x 工±.2)•动点p 的轨迹C 的方程是x2 + % = 1(x 七2)1 1(2)依题意得，直线I 过点(~, 0),且斜率不为零，故可设其方程为x = my 十1x = my +由，消去x 得x2 y2 ,十」=14 3 4(3m2 十4)y2 十 12my — 45= 0,设 E(x1 , y1), F(x2 , y2), M(x0 , y0), • y1 + y2=-書3m2 + 4...y0 =呼=_3rn_, 223m2+ 4• x0 = my0 +1 =--,'23m2 + 4'• k —x0 — 2 4m2 + 4'①当m = 0时，k = 0,1②当详0时，k =-,x2 25+x — 3 25 即 x2 — 3x — 8= 0.x13— .41x2 =3+ .41 AB 的长度为 |AB| = ； x1 — x2 2 +y1 — y2i +16x1 — x2 2 =•••线段44m十m4 4又|4m+肘4冋+而严••• 0v |k| 8l，A—g w k g；且k M0一1 1 综合①②，直线AM的斜率k的取值范围为[—-].8 8。

课时知能训练一、选择题1函数f(x) = (x —3)ex的单调递增区间是()A •(―汽2)B . (0,3)C. (1,4)D. (2,+^)【解析】f' (x) (x —3)' e+(x —3)(ex) = (x —2)ex,令 f ' (x)0,解得x>2.【答案】D2. (2020梅州调研)若函数f(x) = x3 —6bx + 3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )A . (0,1)B . (— s, 1)1C. (0 ,+s) D . (0,刁)【解析】 f ' (x) 3x2 —6b,且f(x)在(0,1)内有极小值.••• f ' (x)0 在(0,1)内有解，易知b> 0且0<仍v 1,解之得0 v b v 1.【答案】D3. 对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x —a)f ' (x),则必有()A. f(x) > f(a) B . f(x) w f(a)C. f(x) >f(a) D . f(x) v f(a)【解析】由(x —a)f ' (x)知Q当x> a 时，f' (x)戸当x v a 时，f' (x) w 0.•••当x= a时，函数f(x)取得最小值，则f(x) >f(a)【答案】A4. (2020 浙江高考)设函数f(x) = ax2 + bx + c(a, b, c € R)，若x = —1 为函数f(x)ex 的一个极值点，则下列图象不可能为y= f(x)的图象是()【解析】设h(x) = f(x)ex，则h' (x) (2ax + b)ex + (ax2 + bx + c)ex=(ax2 + 2ax+ bx + b+ c)ex.由x=—1为函数f(x)ex的一个极值点.因此ax2 + 2ax+ bx + b+ c= c—a= 0,「. c = a.• f(x) = ax2 + bx + a.若方程ax2 + bx + a= 0有两根x1, x2，贝Ux1x2 = a= 1, D中图象一定不满足该条件.a【答案】Df x5. (2020东莞调研)函数f(x) = x2 —2ax+ a在区间(—s, 1)上有最小值，贝函数g(x)= -在区间(1, + 8上一定()A .有最小值B .有最大值C.是减函数 D •是增函数【解析】由函数f(x) = x2- 2ax+ a在区间(―8 1)上有最小值，可得a的取值范围为a v 1, ••• g(x) = = x + a-2a,则g'符 1 —弓.X x x2易知在x € (1 ,+ 8上g' (x>0，所以g(x)为增函数.【答案】D二、填空题16. 已知f(x) = ^mx2 + In x - 2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_________ .1【解析】 f ' (x) mx + -- 2》0寸一切x > 0恒成立，x•详-(1)2+2.令g(x) =- (3)2 + - =- (1 -1)2+ 1,x x x当1 = 1，即x = 1时，g(x)有最大值1,故m> 1.x【答案】[1 , + 8)7. 已知函数f(x) = x3+ ax2 + bx+ a2 在x= 1 处取极值10，贝U f(2) = ________ .【解析】 f ' (x) 3x2 + 2ax+ b,f 1 = 10, 1 + a+ b+ a2= 10,由题意即f 1 = 0, 3 + 2a+ b = 0,消去b,得a= 4或a=- 3.但当a=- 3时，f ' (=3x2 - 6x + 3>0,故不存在极值.• a= 4, b=- 11, f(2) = 18.【答案】18&给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'存在，且导函数f' 在D上也可导，则称f(x) 在D上存在二阶导函数，记 f ” (x= (f ' (x))若f ” (xV0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,才)上是凸函数的是_________________________________ .(把你认为正确的序号都填上)① f(x) = sin x + cos x;② f(x) = ln x —2x;③f(x) =- x3 + 2x —1;④ f(x) = xex.【答案】①②③三、解答题9. 已知函数f(x) = ex—ax—1.3由f" (x=—x2 v 0,得②是凸函数；由f" (x= —6x v 0,得③是凸函数；由f" (x= 2ex + xex>0,得④不是凸函数.n【解析】 在定义域(0, 2)内，由f " (x) — sin x — cos x v 0,得①是凸函数；(1) 若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2) 是否存在a ,使f(x)在(—g, 0］上单调递减，在［0,+^上单调递增？若存在，求出 a 的 值；若不存在，说明理由.【解】 ⑴ T f(x) = ex — ax — 1,/• f ' (x) ex — a.••• f(x)在R 上单调递增••• f ' (x) ex — a >0恒成立，即 a < ex x € R 恒成立.■/x € R 时，ex € (0,+g), • a < 0.⑵由已知f(x)在(一g, 0］上单调递减，在区间［0, + g 上单调递增可知，f(0)是f(x)的极小值. • f ' () e0— a = 0? a = 1,经检验，a = 1符合要求.••存在a = 1满足条件.110. (2020肇庆调研)已知函数f(x) = ax2 + bln x 在x = 1处有极值(1)求a , b 的值；⑵判断函数y = f(x)的单调性并求出单调区间.b 1(1)f ' =)2ax + -，又 f(x)在 x = 1 处有极值 2. x 21a = °,即 22a + b = 0. 1解之得予且b =- 4⑵由(1)可知 f(x) = 1x2 — In x ,其定义域是(0 ,+g),戸， 1 x +1 x — 1且 f ' (=)x —-= ------------------- x x -当x 变化时，f ' (x) f(x)的变化情况如下表:所以函数y = f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1 ,+g)4 1【解】 函数f(x)的定义域为(0,2), f ' (= - — --------- + a.x 2 — x【解】 =0,11. 设函数f(x) = In x + ln(2 —x) + ax(a> 0).(1)当a= 1时，求f(x)的单调区间；1⑵若f(x)在(0,1］上的最大值为2，求a的值.⑴当 a = 1 时，f ' (x )x 2— x ，令 f ' (x )0,由于 0v x v 2,得 2— x2>0, ••• 0v x v 2,此时函数f(x)是增函数. 令 f ' (V 0,由 0v x v 2，得 2— x2 v 0,• ；2v x v 2,此时,f(x)是减函数.故f(x)的单调递增区间为(0,「2)，单调递减区间为('2, 2).2— 2x⑵当 x € (0,1］时，f ' (x ) - + a ,x 2 — x•/ a > 0.>0 2 — 2x+ a >0, f ' (>0.x 2— x所以，f(x)在(0,1］上单调递增，故f(x)在(0,1］上的最大值为f(1) = a , 因此a = —x2 + 2 2— 2x x 2 — x。

课时知能训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 2．若双曲线y 25－x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2012·惠州调研)已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 29－y 219＝1 D.x 219－y 29＝1 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7．(2012·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2面积．10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 11．(2011·广东高考)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．答案及解析1．【解析】 由题意知ba＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝3a 2c 2＝a 2＋b2c 2＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9b 2＝27，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1. 【答案】 B2．【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53x 可知m ＝9. ∴F (0，±14)，其到y ＝±53x 的距离d ＝|314|14＝3. 【答案】 B3．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意b a ＞2.∴e ＝c a ＝ 1＋b a 2>1＋4＝ 5.【答案】 C4．【解析】 由题意知曲线C 2是以椭圆C 1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4， 由椭圆的离心率知c 13＝513，∴c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，∴曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1. 【答案】 A5．【解析】 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→⇒|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝(210)2＝40.又|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴(|MF 1→|－|MF 2→|)2＝40－4＝36，∴2a ＝6⇒a ＝3，∴a 2＝9，b 2＝c 2－a 2＝1.∴方程为x 29－y 2＝1. 【答案】 A6．【解析】 由题意知，M 点的坐标为M (3，±15)，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d ＝－2＋15－2＝4. 【答案】 47．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12， ∴离心率e ＝c a ＝1＋b a 2＝52. 【答案】 52 8．【解析】 设双曲线的右焦点为Q ，则Q (4,0)，|PF |－|FQ |＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PQ |＋|PA |，∴当P 、Q 、A 三点共线时，|PF |＋|PA |有最小值， ∵|AQ |＝－2＋－2＝5，∴|PF |＋|PA |的最小值为4＋5＝9.【答案】 99．【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.10．【解】 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2. 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2， ∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c. 又s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a ·c 2－a 2≥2c 2. 于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解之得54≤e 2≤5，又e >1，∴e 的范围是e ∈[52，5]． 11．【解】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得{ |CF 1|＝r ＋CF |＝r －2或{ |CF 1|＝r －2，CF |＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF ||＝4.∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝355－52＋455－2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋25x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255. ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．。

、选择题1已知直线a , b , c 及平面a,3,下列条件中，能使 a // b 成立的是( )A . a / a, b? aB . a / a, b / a D . a / a, aA=3 bC 正确，A 中a 与b 可能异面. B 中a , b 可能相交或异面，D 中a , b 可能异面. 【答案】 CC 中，1 // m 或I 与m 异面，C 是假命题.D 中I 与m 相交、平行或异面，为假命题.【答案】 B3. (2020佛山质检)给出下列关于互不相同的直线 I 、m 、n 和平面a 、3 丫的三个命题: ① 若I 与m 为异面直线,I? a, m? 3则a// 3② 若 all 3 I? a, m? 3 贝U I // m ；③ 若 ad 甘 1, 3门予 m , Yd=a n , I // Y 贝 m // n.其中真命题的个数为 ( )A .3B .2C .1D .0【解析】 ①中当a 与3不平行时，也可能存在符合题意的I 、m. ②中 I 与 m 也可能异面.I /y③中 I? 3 ? I /m 同理 I /n 贝 m /n 正确.3门予m【答案】 C4. 下列命题中 是假命题的是 ( )A .三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B .平面a//平面 3 a? a,过3内的一点B 有唯一的一条直线 b ,使b // aC. a// 3, 丫// S, a 、3与 Y 3的交线分别为 a 、b 、c 、d ,贝U a// b // c // dD .一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件【解析】 若两个平面平行 贝一条直线与这两个平面所成的角相等 但是一条直线与两个 平面成等角 贝这两个平面平行或相交 故 D 错误.答案】 D课时知能训练C ．a /c ,b /c【解析】 由平行公理知 2. 设 l ,m 是两条不同的直线, A .若I 丄m , m? a,贝U l 丄a C .若 I // a, m? a,贝y I // m 【解析】 A 中，I? a,得不到 由线面垂直的性质，知 m 丄a , a 是一个平面，则下列命题正确的是 B. 若I 丄a , I // m ,贝U m 丄 D .若 I //a, m // a , I 丄a, A 为假命题. B 为真命题. a 则 l /m图7-4 —105. 如图7 —4—10,若Q是长方体ABCD —A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1 后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH // A1D1，则下列结论中不正确的是（）A . EH // FGB .四边形EFGH是矩形C. Q是棱柱D. Q是棱台【解析】•/ EH // A1D1 ,••• EH // B1C1 ,••• EH //平面BB1C1C.由线面平行性质，EH // FG.同理EF// GH.且B1C1 丄面EB1F.由直棱柱定义知几何体B1EF —C1HG为直三棱柱，•四边形EFGH为矩形，Q为五棱柱.【答案】D二、填空题6. 过三棱柱ABC —A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有_________条.【解析】如图，E、F、G、H分别是A1C1、B1C1、BC、AC的中点，则与平面ABB1A1平行的直线有EF, GH , FG, EH , EG , FH共6条.【答案】67. （2020 •州模拟）如图7 —4 —11,棱柱ABC —A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B //平面B1CD，贝U A1D : DC1的值为_____________ .图7—4 —11【解析】设BC1A B1C = O ,连结OD ,•/ A1B //平面B1CD 且平面A1BC0 平面B1CD = OD ,••• A1B // OD ,•••四边形BCC1B1是菱形，• O为BC1的中点，• D 为A1C1 的中点，贝U A1D : DC1 = 1.【答案】1A图7-4 —12&如图7—4—12,在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为_________ .(1) AC 丄BD ;(2) AC // 截面PQMN ;(3) AC = BD ;⑷异面直线PM与BD所成的角为45 °【解析】•/ PQMN是正方形，• MN // PQ,贝U MN //平面ABC ,由线面平行的性质知MN // AC ,贝U AC //平面PQMN ,同理可得MQ // BD，又MN丄QM，贝U AC丄BD，故(1)(2)正确.又••• BD // MQ，•异面直线PM与BD所成的角即为/ PMQ = 45°故⑷正确.【答案】⑶三、解答题图7—4 —139. 如图7 —4 —13,在正方体ABCD —A1B1C1D1 中，M , N , E, F 分别是棱A1B1 , A1D1 , B1C1 , C1D1的中点，试问：平面AMN与平面EFDB有怎样的位置关系？并证明你的结论.【解】平面AMN //平面EFDB.证明如下：•/ MN // EF , EF?平面EFDB , MN ?平面EFDB , • MN //平面EFDB.又AM // DF，同理可证AM //平面EFDB.•/ MN ?平面AMN , AM ?平面AMN，且MN P AM = M ,•平面AMN //平面EFDB.10. 如图7 —4—14所示，正三棱柱ABC —A1B1C1 , AA1 = 3, AB = 2,若N为棱AB的中图7-4 —14(1) 求证：AC1 //平面NB1C ; ⑵求四棱锥C1 —ANB1A1的体积.【解】⑴证明法一如图所示连结BC1和CB1交于0点，连结ON.•/ ABC —A1B1C1是正三棱柱，•••0为BC1的中点.又N为棱AB中点，•••在厶ABC1 中，N0 // AC1 ,又N0?平面NB1C , AC1 ?平面NB1C ,• AC1 //平面NB1C.法二如图所示取A1B1中点M，连结AM , C1M ,•/ N 是AB 中点，• AN 綊B1M ,•四边形ANB1M 是平行四边形，•AM // B1N ,•AM //平面CNB1 ,同理可证C1M //平面CNB1.•/ AM T C1M = M ,•平面AMC1 //平面CNB1.•AC1 //平面CNB1.⑵•/ ANB1A1 是直角梯形，AN = 1 , A1B1 = 2, AA1 = 3, •四边形ANB1A1面积为92，•/ CN 丄平面ANB1A1 ,•CN的长度等于四棱锥C1 —ANB1A1的高，•四棱锥C1 —ANB1A1的体积为迪.图7—4 —1511. （2020北京高考）如图7 —4—15,在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC,点D , E, F, G 分别是棱AP , AC , BC, PB的中点.(1) 求证：DE //平面BCP.⑵求证：四边形DEFG为矩形.⑶是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 【证明】(1)因为D , E分别为AP, AC的中点，所以DE // PC.又因为DE?平面BCP ,所以DE //平面BCP.(2) 因为D , E, F, G分别为AP , AC, BC, PB 的中点，所以DE // PC // FG, DG // AB // EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC丄AB ,所以DE丄DG ,所以四边形DEFG为矩形.(3) 存在点Q满足条件，理由如下：连结DF, EG,设Q为EG的中点.如图所示.1由⑵知，DF n EG = Q，且QD = QE = QF= QG = *EG.分别取PC, AB的中点M , N，连结ME , EN, NG , MG , MN.与⑵同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q , 且QM = QN = 1E G , 所以Q 为满足条件的点.。

1B .(4，+m)【解析】 由 log0.5(4x — 3) > 0 得 0 v 4x — 3v 1,解得3v x v 1. 4 ••• f(3) = f(2) — f(1) , f(2) = f(1) — f(0),因此 f(3) = f(2) — f(1) = [f(1) — f(0)] — f(1) =— f(0), 又 f(0) = log2(4 — 0) = 2,故 f(3) = — f(0) = — 2.【答案】 B3. (2020北京高考)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A , c 为常数).已知工人组装第 4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A . 75,25B . 75,16C . 60,25D . 60,16【解析】 由题意，组装第 A 件产品所需时间为 C = 15.VA 故组装第4件产品所需时间为 牛=30,解得c = 60,c将c = 60代入 =15得A = 16. VA【答案】 D4•若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为孪生函数例如解析式为y = 2x2 + 1,值域为{9}的 孪生函数”三个： (1)y = 2x2 + 1 , x € { — 2}; (2)y = 2x2 + 1, x € {2} ; (3)y = 2x2 + 1, x € { — 2,2}.、选择题1. 函数y =,：log0.5 4x — 3 课时知能训练的定义域为( C . (1 ,+s ) 3 D . (4, 1) U (1,+^)A .(4 j) 【答案】 Alog2 4 — x ,2.定义在 R 上的函数 f(x)= f x — 1— f x — 2 A . — 1 B . —2 C . 1 D . 【解析】 当x > 0时, f(x) = f(x — 1) — f(x — 2),x <0 则f(3)的值为(那么函数解析式为y= 2x2 + 1,值域为{1,5}的孪生函数”共有()A . 5个B . 4个C. 3个 D . 2个【解析】孪生函数”有：y = 2x2 + 1, x € {0 , 2} ; y= 2x2 + 1, x€ {0，- 2}; y = 2x2 + 1, x €{0 , -：；2, —2}.【答案】C2 x € [ 一1 1]5•已知函数f(x)=' '' 若f[f(x)] = 2，则x的取值范围是()x , x?[ —1, 1],A . ?B . [ —1,1]C. (一s,—1) U (1 ,+s) D . {2} U [ —1,1]【解析】若x € [ —1,1]，则有f(x) = 2?[ —1,1],••• f(2) = 2,若x?[ —1,1]，贝U f(x) = x?[ —1,1] ,• f[f(x)] = x，此时若f[f(x)] = 2，则有x = 2.【答案】D二、填空题6. 若函数f(x) = (x + a)(bx + 2a)(常数a、b € R)是偶函数，且它的值域为(―s, 4],则该函数的解析式f(x) = _________ .【解析】f(x) = bx2 + (2a+ ab)x + 2a2,T f(x)是偶函数，•2a+ ab= 0.又f(x)的值域为(—s, 4],• b v 0 且2a2= 4.• b =—2,即即f(x) = —2x2 + 4.【答案】—2x2 + 4x2 —x + 1, x v 17. 函数f(x) = 1 _____ 的值域是.x> 1x1 3 3【解析】当x v 1时，x2 —x + 1 = (x —2)2 + 3寿;1当x> 1时，0v丄v 1.x因此，函数f(x)的值域是(0,+ s).【答案】(0 , + s)1 cIn 一，x > 0x& (2020珠海模拟)已知f(x)= ，则f(x) >—1的解集为__________ .1,x v 0x1【解析】当x>0时，In丄>—1,x •0 v x v e;1当x v 0 时，一>—1,A x v—1.x综上，x € (— g, — 1) U (0, e).【答案】(一^，― 1) U (0, e)三、解答题x + 2>0 x >— 2 【解】 由|x| — x 工0得X V 0 ,2— x2 >0— ,'2<xw ；2••• f(x)的定义域为［—-'2, 0). 10. 二次函数y = f1(x)的图象以原点为顶点且过点 (1,1)，反比例函数y = f2(x)的图象与直线y = x 的两个交点间距离为 8,若f(x) = f1(x) + f2(x)，求f(x)的解析式.【解】 由已知，设f1(x) = ax2,由f1(1) = 1得a = 1.• f1(x) = x2.设f2(x)=中很>0)，它的图象与直线 y = x 的交点分别为A( ,'k , ,'k), B( — k , — ；k).8 由|AB| = 8,得 k = 8,「. f2(x)=-. x8故 f(x) = x2 + -.(x 丰 0) x图 2— 1 — 111. (2020肇庆模拟)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用， 要继续往前滑行一段距离才能停 下，这段距离叫作刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列关系：y = 200 + mx + n(m , n 是常数).如图2 — 1 — 1所示是根据多次实 验数据绘制的刹车距离 y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图.(1) 求出y 关于x 的函数表达式；(2) 如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度. 【解】(1)由题意及函数图象，8.418.6 1解得m =而，n =0,所以y =眾+說％ >0)A x2 x ⑵令200+而三25・2得—72 W X w 70.9.求函数 lg x + 2 f (x )= |x| — x+ ；2 — x2的定义域. 402+ 40m + n = 得200 赛+ 60m + n =■/x>0,••• O W x W 70.故行驶的最大速度是70 千米/时．。

课时跟踪练(八)A 组 基础巩固1．(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意． ★答案★：B2．设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A ．18B ．21C ．24D ．27解析：因为2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3， 因为9y ＝3x －9＝32y ，所以x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. ★答案★：D3．(2019·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：f (x )过定点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x的图象不过点A (1，1)．★答案★：A4．设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：因为x >0时，1<b x ，所以b >1.因为x >0时，b x<a x，所以x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.所以ab >1，所以a >b ，所以1<b <a .★答案★：C5．函数f (x )＝51－|2x ＋4|的单调递增区间是( ) A ．[－2，＋∞)B ．[－32，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 D ．(－∞，－2]解析：令t ＝g (x )＝1－|2x ＋4|＝⎩⎨⎧－2x －3，x >－2，2x ＋5，x ≤－2.则g (x )在[－2，＋∞)上递减，在(－∞，－2]上单调递增． 又y ＝5t 在R 上是增函数．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－2]．★答案★：D6．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b136a ·b 5＝________．解析：原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .★答案★：1a7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1)． ★答案★：(－3，1)8．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x ＜1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x ＞e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. ★答案★：e9．(2019·深圳三校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝⎛⎭⎪⎫12x ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0.令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t ，则t ＞0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t ＞0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.10．(2019·雅礼中学月考)已知函数f (x )＝3x ＋a3x ＋1为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明．解：(1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝1＋a 1＋1＝0，所以a ＝－1. (2)f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增．理由：设任意的x 1，x 2，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1－3x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增．B 组 素养提升11．(2019·西安质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，所以z ＝b (1＋10.4%)x，故y ＝zb＝(1＋10.4%)x (x ≥0)，是底数大于1的指数函数．因此y ＝f (x )的图象为选项D. ★答案★：D12．(2019·郴州教学质量检测)已知函数f (x )＝e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)解析：易知f (x )＝e x－1e x 在R 上是增函数．且f (－x )＝e －x －1e－x ＝－(e x－1e x )＝－f (x )． 所以f (x )是奇函数．由f (2x －1)＋f (－x －1)>0，得f (2x －1)>f (x ＋1)． 因此2x －1>x ＋1，所以x >2. ★答案★：B13．(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．解析：依题设知f (p )＝65，且f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q2q ＋aq＝－15， ②①＋②得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1， 整理得2p ＋q ＝a 2pq .又2p ＋q ＝36pq ，所以a 2pq ＝36pq . 由于pq ≠0，得a 2＝36(a >0)，则a ＝6. ★答案★：614．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12(舍去)，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1＞0， 所以m ≥－(22t ＋1)，因为t ∈[1，2]，所以－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

课时知能训练一、选择题1．如果f(x)＝ax(a ＞0且a≠1)为减函数，那么g(x)＝log 1a(x －1)的图象是图中的( )【解析】 易知0＜a ＜1，g(x)在(1，＋∞)上的增函数．【答案】 A2．(2020·韶关质检)函数y ＝2x －x2的图象大致是( )【解析】 当x ＜0时，y ＝2x －x2是增函数，从而排除C 、D.又f(2)＝f(4)＝0，B 不符合，选A. 【答案】 A3．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】 由y ＝lg x ＋310，得y ＝lg(x ＋3)－1. 由y ＝lg x 图象向左平移3个单位，得y ＝lg(x ＋3)的图象，再向下平移一个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图象．【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g(x)的图象与y ＝ex 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象关于y 轴对称．若f(m)＝－1，则m 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．e D.1e 【解析】 依题意得，点(m ，－1)位于函数y ＝f(x)的图象上，点(m ，－1)关于y 轴的对称点(－m ，－1)必位于y ＝g(x)的图象上．∵y ＝g(x)与y ＝ex 的图象关于直线y ＝x 对称．∴g(x)＝ln x ．因此－1＝ln(－m)，∴－m ＝e －1，则m ＝－1e. 【答案】 B5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x≤1，x2－4x ＋3， x ＞1.的图象和函数g(x)＝log2x 的图象的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图可知f(x)与g(x)的图象有3个交点．【答案】 C二、填空题6．如图2－7－1所示，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f 3)的值等于________．图2－7－1【解析】 ∵f(3)＝1，∴1f 3＝1， ∴f(1f 3)＝f(1)＝2. 【答案】 27．(2020·梅州调研)若函数y ＝f(x)(x ∈R)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x ∈[－1,1)时，f(x)＝|x|.则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝log4|x|的图象的交点的个数为________．【解析】 当|x|＞4时，y ＝log4|x|＞1，且f(x)∈[0,1]，在同一坐标系内作出两函数图象，可知两函数的图象有6个交点．【答案】 68．已知函数f(x)＝(12)x 的图象与函数y ＝g(x)的图象关于直线y ＝x 对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上)【解析】 g(x)＝log 12x ，∴h(x)＝log 12(1－|x|)， ∴h(x)＝⎩⎨⎧log 121＋x －1＜x≤0，log 121－x 0＜x ＜1， ∴正确的命题序号为②③. 【答案】 ②③ 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]. (1)画出f(x)的图象的简图；(2)根据图象写出函数的单调递增区间．【解】 (1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．10．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数h(x)＝f′(x)＋c 有最小值1，试求实数c 的值．【解】 (1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3. ①由f(x)＝x3＋mx2＋nx －2，得f′(x)＝3x2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f′(x)＋6x ＝3x2＋(2m ＋6)x ＋n ，又g(x)图象关于y 轴对称， 所以－2m ＋62×3＝0， 所以m ＝－3，代入①式得n ＝0.因此f(x)＝x3－3x2－2.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x ， ∴h(x)＝3x2－6x ＋c ＝3(x －1)2＋c －3.当x ＝1时，h(x)有最小值c －3.因此c －3＝1，∴c ＝4.∴实数c 的值为4.11．(2020·清远调研)已知函数f(x)＝|x2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【解】 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．(2)原方程变形为|x2－4x ＋3|＝x ＋a ，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象(如图)则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x2＋4x －3得x2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0.得a ＝－34. 由图象知当a ∈[－1，－34]时，方程至少有三个不等实根．。

、选择题课时知能训练 1若不等式x2 — x W0勺解集为M ，函数f(x) = ln(1 - |x|)的定义域为N ，贝U MA N 为( ) A • [0,1) B • (0,1) C . [0,1] D • (— 1,0]【解析】 易得 M = [0,1] , N = (— 1,1),二 MA N = [0,1).【答案】 A2. (2020安徽高考)若点(a , b)在y = lg x 图象上, a 工1则下列点也在此图象上的是 1 - A . (a ，b) B . (10a,1 —b)C . (—, b+ 1) D . (a2,2b)a 【解析】 T 点(a , b)在函数y = lg x 的图象上，••• b = lg a ，贝U 2b = 2lg a = lg a2,故点(a2,2b)也在函数y = lg x 的图象上.【答案】 D3. 已知函数y = g(x)的图象与函数y = 3x 的图象关于直线 y = x 对称，则g(2)的值为( ) A . 9 B. .'3C. ,'2 D . log32【解析】 易知 g(x) = log3x , • g(2)= Iog32.【答案】 D1 戸, 4. 设 a = log32 , b = In 2, c = 5—夕 则( )A . a v b v c C . c v a v bB . a v c v b D . c v b v a【解析】T a — b - ln 2 — ln 2 - ln 2 1l l 3 3 ln 3ln 3 由 2v e v 3,知 In 3 > 1, In 2>0.• a — b v 0,故 a v b. ①1 1 1 1 又 a = log32 > log3 3>2，a2>4.C2 = 5— 1 = 4. • a2> c2, a > c. ②结合①、②知，b > a > c.【答案】 C5. (2020 •州模拟)已知函数f(x) = |lg x|.若a 工,且f(a) = f(b)，则a + b 的取值范围是( )A . (1,+ IB . [1 ,+ ©C . (2,+ a )D . [2 ,+ I【解析】 lg x f(x) = |lg x| = -lg x x >1 ,0v x v 1又 a ^b 且 f(a) = f(b).• a , b 在f(x)的不同单调区间上.不妨设 0v a v 1, b > 1.则 lg b = — lg a ，因此，ab = 1.••• a + b > 2 ab = 2(a 丰 b) 【答案】 C二、填空题Ig x , x > 0,6-(2020 陕西高考)设 f (x )= 10x , x W0 则 f (f ( -2))=——1【解析】 由题设f( — 2)= 10-2 =而〉0,则 f(f( — 2)) = f(10 — 2) = Ig 10 — 2= — 2lg 10 = — 2.【答案】 —27 .已知 f(3x) = 4xlog23 + 233，贝U f(2) + f(4) + f(8) + …+ f(28)的值是 ____________【解析】 3x = t , • x = Iog3t ,• f(t) = 4log23 log3t + 233 = 4log2t + 233,• f(2) + f(4) + f(8) + •••+ f(28)=4(log22 + Iog24 + Iog28 + …+ Iog228) + 8 X233=4 - Iog2(2 - 22 - 23•…28昭33 = 4 Iog2236 + 1 864=4X 36+ 1 864= 2 008.【答案】 2 008(2) 当 x0> 0 时,f(x0) 斗化为 Iog2(x0 + 2) 则 Iog2(x0 + 2) >Iog24 • x0 + 2>4 二 x0》2, • x0的取值范围是(―a,— 1] U [2 ,+ R ). 【答案】 (―a, — 1] U [2 , + a)三、解答题9. 已知 0v x v n ，化简:lg(cos x tan x + 1 — 2$喝)+ lg^/2cos(x —》]—lg(1 + sin 2x).【解】•/ 0v x v n•原式=lg(sin x + cos x) + lg(cos x + sin x) — lg(1 + sin 2x) sin x +cos x 2 1 + sin 2x 10. (2020梅州调研)已知函数f(x) = — x + Iog27—I 十x1 1(1)求 f(2 013)十 f( ― 2 013)的值；⑵当x € (— a , a],其中a € (0,1), a 是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在， 求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由.【解】 •/ f(x)的定义域为(—1,1)，关于原点对称,1 + x . c 1 — x(1)f( — x)= x + Iog2 = x — Iog2〒 &已知函数 f(x)= Iog2 x , x <0 x +2 , x >0若f(x0) 则x0的取值范围是=Ig 1+ sin 2x1+ sin 2xf(x0)》化为【解析】(1)当 x0<0时,1 —x 1 + x• f( —x) = —f(x)，故f(x)在(—1,1)上是奇函数，1 111因此f(2 013)+f(—2 013)=f(2 013)—f(2 013)=0.2⑵•/ f(x) = —x+ Iog2( —1+ 1+x)，当一1v x v 1时，u= 1 + x是增函数，且1 + x >0, • f(x)在(—1,1)上是减函数，又a€ (0,1),•当x€ (—a, a］时，f(x)是减函数，1 一a故f(x)min = f(a) = —a+ Iog21 + a•f(x)存在最小值，且为Iog21—a—a.1 + a11 .已知函数f(x) = Iog4(4x + 1) + 2kx(k € R)是偶函数.(1) 求k的值；(2) 若方程f(x) = m有解，求m的取值范围.【解】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x) = f( —x), •Iog4(4x + 1) + 2kx = Iog4(4 —x + 1) —2kx,4x + 1•• Iog4=—4kx ,4 —x + 1•Iog44x =—4kx,•x =—4kx，即(1 + 4k)x = 0,对x € R 恒成立，•k =—14'1(2)由m = f(x) = Iog4(4x + 1) — =Iog44；+1 = Iog4(2x +••• Iog42 = 1.1 故要使方程f(x) = m有解，m的取值范围为【2，+8).。

、选择题课时知能训练1. （2020 •梅州模拟）已知a , b , c 满足c v b v a 且ac v 0,则下列选项中不一定能成立的是 （ c b b — a A. v B. > 0 a a cb2 a2 a — c C. 一 v D. v 0 c c ac 【解析】 T c v b v a ,且ac v 0,••• c v 0, a > 0, c b b — a a — c • -v ■, > 0, v 0, a a c ac 2 .若0 v a v 1,则下列不等式中正确的是 ( ) 1 1 A . (1 — a) 3> (1 — a) 2 B. l og(1 — a)(1 + a) > 0 C. (1 — a)3 > (1 + a)2 D. (1 — a)1 + a > 1 【解析】 •/ 0v a v 1,. • 0 v 1 — a v 1,但b2与a2的关系不确定，故-v 云不一定成立. 【答案】 C1 1 【答案】 An 33 .设 a€ (0 ,亍), [0 , —］，那么2a — —的取值范围是 5 n n 5 n A (0, 6-) B . (—6 , 6)n C. (0 ,n ) D. ( — — , n) 【解析】 由已知得 0<2 a < n 3 n ,0w 7w 石, n 3 n 3/.——< — w 0,. • — —<2 ——< n. 6 3 ， 6 3 【答案】 D •- (1 — a )3> (1 — a) 2.4.若 a , b , x , y € R ,贝U 是x > a x + y > a + by > b x — a y — b > 0成立的（ A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件x > a , 【解析】 y > b , x + y > a + b ,x — a y — b > 0, x + y > a + b , 且 y — b > 0, x > a , y > b.bx — ayx + a y + b '■/ b > a > 0, x >y >0,• bx >ay , x + a > 0, y + b > 0,bx — ay• > 0,【答案】 C5.若a > b > 0,则下列不等式中一定成立的是 （ ） 1 1 A . a + ■>b + b ab b + 1 B. > a a + 11 C. a — b>b —— 2a + b a D .a + 2b > b 【解析】 •/ a > b > 0, 1 . b - 11 ••• b > a > 0」a +b >b +a. 【答案】 A 二、填空题 6. x2 + y2 + 1与2(x + y — 1)的大小关系是【解析】 •/ (x2 + y2 + 1) — 2(x + y — 1)=(x — 1)2 + (y — 1)2 + 1>0,••• x2 + y2 + 1>2(x + y — 1). 【答案】 x2 + y2 + 1>2(x + y — 1) 7. (2020 •潮州模拟）设x , y 为实数，满足 x2 小「x3 “ 冃，，+口 3W xy2< 8,4「< 9,则y4的最大值是 【解析】1 1 1••• 3W 知 8」8< 矿 3， x4 x2 4w w 9,「. 16w w 81,y y2 • 2W x3w 27,故x3的最大值是 27. y4 y4 【答案】 278.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 原来少12 km,那么它行驶同样的路程就得花 是 . 【解析】 设原来每天行驶的路程为 x km ,19 km ，那么8天的行程就超过 2 200 km ;如果它每天行驶的路程比 9天多的时间，则这辆汽车原来每天行驶的路程 （单位：km ）的范围 8 x + 19 >2 200 , 则8 x +19 >9 x — 12,解得 256<x<260. 【答案】 （256,260） 三、解答题9.已知 b >a >0, x >y >0，求证: —y x + a 唤】忌—y + bx+ a y + b10.右实数a、b、c 满足b + c= 5a2—8a +11, b —c= a2 —6a+ 9，试比较a、b、c 的大小.【解】•/ b —c= a2 —6a+ 9 = (a —3)2 >0,••• b>c.①b+ c= 5a2 —8a + 11,又b—c= a2 —6a + 9,•• c = 2a2 —a + 1,小 1 1则 c — a = 2a2 —2a+ 1 = 2(a —2)2 + 2>0,• c > a.②由①②得b>c> a.11 .下表为广州全运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备 1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数.【解】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n张，则足球比赛门票预订(15 —2n)张，由题意得80n + 60n+ 100 15 —2n < 1 200 ,80 n W 100 15 —2n ,n€ N*.5解得5< n W5 14，由n€ N*知,n= 5,「. 15—2n= 5, 故可预订足球比赛门票5张.。

课时知能训练一、选择题1．(2020·广州模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y2＝5B ．(x ＋5)2＋y2＝5C ．(x －5)2＋y2＝5D ．(x ＋5)2＋y2＝5【解析】 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5， 所以，圆的方程为(x ＋5)2＋y2＝5.【答案】 D2．已知圆C ：x2＋y2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定【解析】 因为圆上两点A 、B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心(－m 2，0)， 从而－m 2＋3＝0，即m ＝6. 【答案】 C3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x2＋y2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22【解析】 圆的标准方程为(x －1)2＋y2＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2＝322， 则点C 到直线AB 的最短距离为322－1，又|AB|＝22， S △ABC 的最小值为12×22×(322－1)＝3－ 2. 【答案】 A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x20＋y20＝4，连线中点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x0＋4，2y ＝y0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2，代入x20＋y20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.【答案】 A5．(2020·重庆高考)在圆x2＋y2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2【解析】 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心F(1,3)半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且AC ＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD| ＝－12×210×25＝10 2. 【答案】 B二、填空题6．(2020·潮州模拟)直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k 的范围是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝02x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k y ＝－3k . ∴(－4k)2＋(－3k)2＞9，即25k2＞9，解得k ＞35或k ＜－35. 【答案】 (－∞，－35)∪(35，＋∞) 7．圆C 的圆心在直线2x －y －7＝0上，且与y 轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程是________．【解析】 圆心也在直线y ＝－3上，故圆心为(2，－3)，半径为 5.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝58．(2020·佛山模拟)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________．【解析】 由题意可得圆心(－1,0)，圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y2＝2.【答案】 (x ＋1)2＋y2＝2三、解答题9．(2020·福建高考改编)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．【解】 法一 依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.法二 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r ， 解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.10.图8－3－1如图8－3－1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在边AD 所在直线上．求：(1)边AD 所在直线的方程；(2)矩形ABCD 外接圆的方程．【解】 (1)∵直线AB 的斜率为13，AD ⊥AB ，∴kAD ＝－3. ∵T(－1,1)在边AD 所在直线上，∴直线AD 的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)∵点A 为直线AB ，AD 的交点，∴点A 坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋2＝0，x －3y －6＝0的解， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴A(0，－2)． ∵矩形的对角线的交点即为其外接圆的圆心，∴所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.11．已知以点P 为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 、D ，且|CD|＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程；(3)设点Q 在圆P 上，试探究使△QAB 的面积为8的点Q 共有几个？证明你的结论．【解】 (1)∵kAB ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0，①又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，∴(a＋1)2＋b2＝40，②①代入②消去a得b2－4b－12＝0，解得b＝6或b＝－2.当b＝6时，a＝－3，当b＝－2时，a＝5.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.(3)∵|AB|＝42＋42＝42，∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2 2.又圆心到直线AB的距离为2102－222＝42，圆P的半径r＝210，且42＋22＞210，故点Q不在劣弧AB上，∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8.。

2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.5椭圆课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(xx 年浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B ．53C.23D ．59解析：由椭圆方程，得a 2＝9，b 2＝4.∵c 2＝a 2－b 2＝5，∴a ＝3，c ＝5，e ＝c a ＝53. 答案：B2．(xx 年全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B ．33C.23D ．13解析：∵点A 1，A 2是椭圆的左、右顶点， ∴|A 1A 2|＝2a ，∴以线段A 1A 2为直径的圆可表示为x 2＋y 2＝a 2， 该圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又∵该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴圆心(0,0)到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离等于半径， 即|b ·0－a ·0＋2ab |b 2＋－a2＝a ， 整理得a 2＝3b 2.又∵在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝63，故选A. 答案：A3．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两个曲线的焦距相等． 答案：D4．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，即4－x 20＝43y 20.①由题意知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2，所以k 1·k 2＝y 20x 20－4.②由①②得k 1·k 2＝－34.因为k 2∈[－2，－1]，所以k 1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 答案：B5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或 x 225＋y 216＝1 解析：∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∵焦点的位置不确定，∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.答案：B6．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14 B ．13 C.12D ．23解析：如图，由椭圆的性质可知，AB ＝2c ，AC ＝BC ＝a ，OC ＝b ，S △ABC ＝12AB ·OC ＝12·2c ·b ＝bc ，S △ABC ＝12(a ＋a ＋2c )·r ＝12·(2a ＋2c )×b 3＝b a ＋c 3，∴b a ＋c3＝bc ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.答案：C7．椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF 1，PF 2的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为23，则△PF 1F 2的周长是( )A ．2(2＋3)B ．2＋2 3 C.2＋ 3D ．4＋2 3解析：如图，因为O ，M 分别为F 1F 2和PF 1的中点，所以OM ∥PF 2，且|OM |＝12|PF 2|.同理，ON ∥PF 1，且|ON |＝12|PF 1|，所以四边形OMPN 为平行四边形．由题意知，|OM |＋|ON |＝3，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，即2a ＝23，a ＝ 3.由a 2＝b 2＋c 2，知c 2＝a 2－b 2＝2，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2c ＝22，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝2(3＋2)，选A.答案：A8．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B ．x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D ．x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝452－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：B9．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c <b ，即c 2<b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2<a 2－c 2，即2c 2<a 2，所以e 2<12，又因为0<e <1，所以0<e <22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2210．(xx 届安徽江南十校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点O 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在第一象限，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，在Rt △POA 中，cos ∠POA＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，34a ，代入椭圆方程得，116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离心率e ＝255.答案：25511．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2， 设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2，① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1，② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.12.(xx 届河北邯郸质检)如图，已知F 1、F 2是椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)经过左焦点F 1，且与椭圆G 交于A 、B 两点，△ABF 2的周长为4 3.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)是否存在直线l ，使得△ABF 2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为(－1,0)，故c ＝1. 又△ABF 2的周长为43，即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝43，故a ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2.因此，椭圆G 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即|AF 2|≠|BF 2|. 由题意知F 2(1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设|AF 2|＝|BF 2|， 则x 1－12＋y 21＝x 2－12＋y 22，又x 213＋y 212＝1，x 223＋y 222＝1，代入上式，消去y 21，y 22，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2－6)＝0. 因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以x 1≠x 2，故x 1＋x 2＝6(与x 1≤3，x 2≤3，x 1＋x 2≤23<6，矛盾)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k x ＋1，得(3k 2＋2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝－6k23k 2＋2<6，矛盾．故|AF 2|≠|BF 2|.再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设△ABF 2为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点． 设|AF 1|＝m ，则|AF 2|＝23－m ，在△AF 1F 2中，由勾股定理得m 2＋(23－m )2＝4，此方程无解． 故不存在这样的等腰直角三角形．[能 力 提 升]1．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：b 2＝2，c ＝a 2－2，故|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得cos120°＝42＋2a －42－2a 2－222×4×2a －4＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3，故选B.答案：B2．(xx 届陕西省五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3. 故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：233．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，e ＝c a ＝63. 解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为 y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，即m 2－4<2k 2. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0.解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(xx 届合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.答案：D4．(xx 届长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.答案：B5．(xx 届河南六市第一次联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D ．15解析：由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝c a＝13.答案：C6．(xx 届合肥市第二次质量检测)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B ．3＋22C.3＋32D ．332解析：由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 答案：A7．(xx 届湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<abc c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2. 答案：(2，2)8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |>|PB |. 因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52， 所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2139．(xx 年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：∵|AM |＝|AN |＝b ，∠MAN ＝60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴在△MAN 中，MN 上的高h ＝32b . ∵点A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc， ∴ab c ＝32b ， ∴e ＝c a＝23＝233. 答案：23310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当F 1、P 、F 2三点共线时，即∠F 1PF 2＝π时，cos ∠F 1PF 2有最小值为－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得1<e ≤53，即e 的最大值为53.答案：5311．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，|AB |＝43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7，5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1(λμ<0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以双曲线C 的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.[能 力 提 升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 2．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2， 即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

课时知能训练一、选择题1．(2020·清远质检)已知直线l ：y ＝k(x －1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π 【解析】 由题意知，|k ＋3|k2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π. 【答案】 D2．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．5【解析】 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2r2－d2＝29－5＝4.【答案】 B3．过点(－4,0)作直线l 与圆x2＋y2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB|＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0【解析】 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3，当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.则有|3k －2|k2＋1＝3，∴k ＝－512，此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 【答案】 B4．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x ，y)满足OM →·CM →＝0，则y x＝( ) A.33 B.33或－33C. 3D.3或－ 3【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k|k2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3.【答案】 D5．(2020·广州模拟)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a>0，b>0)始终平分圆M ：x2＋y2＋8x ＋2y＋1＝0的周长，则1a ＋4b的最小值为( ) A ．8 B ．16C ．1D ．20【解析】 由圆M 化为(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16，∴圆M 的圆心M(－4，－1)．依题意，直线l 过圆心M(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，从而(1a ＋4b )＝(1a ＋4b)(4a ＋b) ＝8＋b a ＋16a b≥8＋216＝16， 当且仅当b a ＝16a b ，即b ＝12，a ＝18时，取等号， ∴1a ＋4b的最小值为16. 【答案】 B二、填空题6．直线l 与圆x2＋y2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a.由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C(－2,3)的连线必垂直于l ，又kAB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 【答案】 x －y ＋5＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.【解析】 公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，由已知得，圆心(0,0)到公共弦的距离为1，∴1a＝1，∴a ＝1.【答案】 18．已知圆O 的方程为x2＋y2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是________．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1,3)，故设PQ 方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，由PQ 与圆O 相切得， |3－k|k2＋1＝2，即k2＋6k －7＝0，解得k ＝1或k ＝－7. 【答案】 1或－7三、解答题9．已知曲线C ：x2＋y2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.(1)求证：不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；(2)求证：当m≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上．【证明】 (1)曲线C 的方程为x2＋y2－20＋m(－4x ＋2y ＋20)＝0，故其经过圆x2＋y2－20＝0与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点．又因为直线－4x ＋2y ＋20＝0与圆x2＋y2－20＝0相切于点(4，－2)，所以不论m 取何实数，曲线C 恒过定点(4，－2)．(2)曲线C 的方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5m2－20m ＋20＝5(m －2)2.当m≠2时，5(m －2)2>0.所以曲线C 表示一个圆，且圆心P(2m ，－m)在定直线x ＋2y ＝0上．10．(2020·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O.(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F(4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设圆心为C(a ，b)，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率kOC ＝b a ＝－1，故b ＝－a ，则|OC|＝22，即a2＋b2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2，结合点C(a ，b)位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q(m ，n)符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －42＋n2＝42m2＋n2≠0m ＋22＋n －22＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q(45，125)符合题意． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为(－34，0)．(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则OA →＋OB →＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③ 因P(0,2)、Q(6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k.。