2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案

第七节抛物线热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以与直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现.本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养.授课提示：对应学生用书第170页知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．•温馨提醒•抛物线的定义中易无视“定点不在定直线上〞这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有( )A．0个B．1个C．2个D．4个答案：C2．(易错题)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，如此点P到该抛物线焦点的距离是________．答案：6知识点二抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2续表 标准 方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦， 假如A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如此： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p .1．(易错题)抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，如此a 的值为( ) A.14B ．－14 C ．4 D ．－4 答案：B2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案：A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，如此|PQ |＝________. 答案：8授课提示：对应学生用书第171页题型一 抛物线的标准方程与几何性质 自主探究1．(2021·某某联考)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，圆M 与y 轴相切，且被直线x ＝p2截得的弦长为2p ，假如|MF |＝52，如此抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝2xC ．y 2＝8xD ．y 2＝x解析：设圆M 与y 轴相切于点N ，直线x ＝p2与圆M 交于A ，B 两点，如下列图，设M (x 0，y 0)，如此|MN |＝|MA |＝|MB |＝x 0，|AB |＝2p ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 22＝x 20，解得x 0＝34p ，由抛物线的定义知，|MF |＝x 0＋p2，因为|MF |＝52，所以52＝34p ＋12p ，即p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .答案：A2．(2020·高考全国卷Ⅰ)A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到点C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，如此p ＝( ) A ．2B ．3 C ．6D ．9解析：设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2A 到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6.答案：C3．(2021·某某五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，假如线段MF 的中点E 在抛物线C 上，如此△MNF 的面积为( ) A.22B ． 2C.322D ．32解析：如下列图，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0，22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322.答案：C4．(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，假如OD ⊥OE ，如此C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1,0)D ．(2,0)解析：法一：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2p )，(2，－2p )．不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，如此OD →＝(2,2p )，OE →＝(2，－2p )．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.法二：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D (2，2)，将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.答案：B(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．涉与抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，表现了数形结合思想解题的直观性.题型二 抛物线的定义与应用 多维探究与抛物线定义相关的最值问题常涉与距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：(1)焦点与定点距离之和最小问题；(2)点与准线的距离之和最小问题；(3)焦点弦中距离之和最小问题.考法(一) 焦点与定点距离之和最小问题[例1](2021·某某模拟)假如点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C．(1，2)D．(2,2)[答案]D考法(二) 点与准线的距离之和最小问题[例2](2021·某某摸底)M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，如此|MA|＋|MF|的最小值是__________．[解析]依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，如此有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.[答案]5考法(三) 焦点弦中距离之和最小问题[例3] 抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，如此|AC|＋|BD|的最小值为________．[解析]由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案]2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短〞，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短〞原理解决．[题组突破]1．直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，如此抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355B ．2C.115D ．3 答案：B2．(多项选择题)(2021·某某某某模拟)抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为F ，圆C ：x 2＋(y －1)2＝16与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 为劣弧 上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，如此如下说法正确的答案是( ) A ．点P 的纵坐标的取值X 围是(23，5)B ．|PN ＋|NF |等于点P 到抛物线准线的距离C ．圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2D ．△PFN 周长的取值X 围是(8,10)解析：圆C ：x 2＋(y －1)2＝16的圆心为(0,1)，半径r ＝4，与y 轴的正半轴的交点为(0,5)，抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，联立圆的方程和抛物线的方程可得A ，B 两点的纵坐标为3，所以y P ∈(3,5)，故A 错误；由抛物线的定义可得|PN |＋|NF |等于点P 到抛物线准线的距离，故B 正确；圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2，故C 正确；△PFN 的周长为|PF |＋|PN |＋|NF |＝r ＋y P ＋1＝y P ＋5∈(8,10)，故D 正确．答案：BCD题型三 直线与抛物线的位置关系 合作探究[例](2019·高考全国卷Ⅲ)曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)假如以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积．[解析](1)证明：设D ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，如此x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，如此d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，如此M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉与抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，防止求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以与定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求〞“整体代入〞“点差法〞的灵活应用． (3)对于抛物线x 2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y ＝x 22p得k＝y ′＝x 0p.[题组突破]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B两点，如此|AB |＝________.解析：由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，如此直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 如此x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.答案：1632．设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如此x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1,2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1.由题设知|AB |＝2|MN |，即42m ＋1＝2(m ＋1)，解得mAB 的方程为y ＝x ＋7.抛物线几何性质应用中的核心素养直观想象——抛物线几何性质的创新应用[例](2021·某某调研)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，如此直线AB 的斜率为( )A ．22B ．23 C ．±22D ．±23[解析]由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，如此直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2pky －p 2A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p2＝22.根据对称性可得直线AB 的斜率为±2 2.[答案]C求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用.[对点训练](多项选择题)过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，AO 交准线于点M (O 为坐标原点)，如此如下说法正确的答案是( ) A.OA →·OB →＝0 B ．∠A 1FB 1＝90° C ．直线MB ∥x 轴 D ．|AF |·|BF |的最小值是94解析：由题意可知，抛物线y 2＝3x的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线方程为x ＝－34.易知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋34，代入y 2＝3x ，得y 2－3my －94＝0，所以y 1＋y 2＝3m ，y 1y 2＝－94，如此x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋34＝916，所以OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝916－94＝－2716≠0，所以A 不正确．因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 213，y 1，O (0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，y M 三点共线， 所以y 1y 213＝y M－34，所以y 1y M ＝－94，又y 1y 2＝－94，所以y M ＝y 2，所以直 线MB ∥x 轴，所以C 正确．易知A 1，B 1的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，y 2，所以FA 1→·FB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34，y 2＝94＋y 1y 2＝94－94＝0，所以∠A 1FB 1＝90°，所以B 正确．设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0)，如此|AF |＝321－cos θ，|BF|＝321＋cos θ，所以|AF|·|BF|＝321－cos θ·321＋cos θ＝94sin2θ≥94，当且仅当AB⊥x轴时取等号，所以D正确．答案：BCD。

第七讲抛物线A组基础巩固一、选择题1．（2021·河北邯郸质检）已知抛物线C:y2＝2px（p〉0）的焦点为F，抛物线上一点M（2，m）满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为（D)A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝16x［解析]设抛物线的准线为l，作MM′⊥直线l于点M′，交y轴于M″，由抛物线的定义可得：MM′＝MF＝6,结合x M＝2可知：M′M″＝6－2＝4，即错误!＝4，∴2p ＝16,据此可知抛物线的方程为：y2＝16x。

选D．2．(理）（2021·安徽皖南八校联考）已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的两条渐近线互相垂直，且焦距为2错误!,则抛物线y2＝2bx的准线方程为(B) A．x＝－错误!B．x＝－错误!C．y＝－错误!D．y＝－错误!（文)(2021·山东济宁期末)抛物线y＝4x2的准线方程是(A)A．y＝－错误!B．y＝错误!C．x＝1D．x＝－1［解析］（理）由题意a2＝b2＝错误!错误!2＝3，∴b＝错误!。

∴抛物线y2＝2bx的准线方程为x＝－错误!.故选B．（文）抛物线标准方程为x2＝错误!y，∴p＝错误!，∴准线方程为y＝－错误!，即y＝－错误!，故选A．3．（2021·山西八校联考）斜率为错误!的直线l过抛物线C:y2＝2px（p>0）的焦点F,若直线l与圆M:(x－2）2＋y2＝4相切,则p＝(A）A．12B．8C．10D．6[解析]抛笔线C:y2＝2px（p〉0)的焦点F错误!，直线l的方程为错误!y＝x－错误!,又直线l与圆M:(x－2）2＋y2＝4相切，可得错误!＝2，解得p＝12，故选A．4．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F,准线为l，P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(B)A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP［解析］由抛物线定义知|PQ|＝｜PF｜,∴FQ的垂直平分线必过P,故选B．5．（2021·陕西西安一中调研）已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，且|MF｜＝4，则M到x轴的距离为（A）A．4B．4错误!C．8D．16［解析]设M（x1，y1)，由抛物线性质得：x1＝4－2＝2，∴y错误!＝8·2＝16⇒｜y1｜＝4，故M到x的距离为4，故选A．6．(2021·河南新乡模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,点M（x0，y0）在抛物线C 上,若|MF|＝4,则（C）A．x0＝5B．y0＝2错误!C．|OM|＝错误!D．F的坐标为（0,1）［解析]由题可知F（1，0)，由|MF|＝x0＋1，所以x0＝3，y错误!＝12，｜OM｜＝错误!＝错误!＝错误!.故选C．7．（2021·福建龙岩质检)已知点A在圆(x－2)2＋y2＝1上，点B在抛物线y2＝8x上，则|AB|的最小值为（A)A．1B．2C．3D．4［解析］由题得圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为（2，0）,半径为1。

第七节 抛物线课时作业 A 组——根底对点练1．(2022·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．(2022·辽宁五校联考)AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，那么AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C.32D ．52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3．(2022·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，假设F 为△ABC 的重心，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4．直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，假设2FM →＝MN →，那么实数k 等于( ) A ．±33B ．±1C ．± 3D ．±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，那么tan ∠M ′MN ＝±3，∴直线l 的斜率k ＝±3，应选C. 答案：C5．P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D ．17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6．(2022·沈阳质量监测)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，那么x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.答案：437．(2022·云南检测)抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为__________．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，那么|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x9．抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)假设直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋－m2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋32·43p2＋4×4p 2＝16p ，因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2022·合肥质检)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)假设A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54. (2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．那么OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p)．由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22x 22－x 214p2＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组——能力提升练1．抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－3)．假设射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，那么点M 的纵坐标为( )A ．－13B ．－33C ．－23D ．－233解析：依题意，F 点的坐标为(m4，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝3∶1，k FD ＝3，k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ，所以43m＝3，解得m ＝4，所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x＝3(舍去)或x ＝13，所以y 2＝43，y ＝－233或y ＝233(舍去)，故点M 的坐标为(13，－233)，应选D. 答案：D2．(2022·石家庄质检)圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，那么抛物线C 2的方程为( ) A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x解析：由题意，知直线AB 必过原点，那么设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝ 22－4552＝255，解得k ＝2(k ＝－2舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x 2＋y －22＝4，可取A (0,0)，B (85，165)，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ，应选C.答案：C3．点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.352－1B ．332－1C ．23－1D ．10－1解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12，4)，那么|PA |2＝(y2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654，那么t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，那么m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点，所以|PA |2＝t 的最小值为454，所以|PA |的最小值为352，所以|PQ |的最小值为352－1，应选A.答案：A4．(2022·山西八校联考)抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，假设|FB |＝2|FA |，那么AB 的长度为________．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，那么AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，那么Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，那么A (12，2)，∴k ＝2－012－－1＝223.∴x 1＋x 2＝52，|AB |＝ 1＋89[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝172. 答案：1725．(2022·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点A ，直线FA 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ，FA 交C 的准线于点B ，那么|FA ||BA |等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k32pk，y ＝32pk .由y ＝k x，得y ′＝－k x2，所以k FA ＝32pk k32pk－p2＝－k k 234p 2k2，化简得k ＝p 242， 所以x ＝k32pk＝p4， |FA ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p4p 4－－p 2＝13. 答案：136．(2022·唐山统考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，那么x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，那么|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.7．如图，由局部抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C 〞，假设“黄金抛物线C 〞经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C 〞的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C 〞相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C 〞过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C 〞的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k2，y B ＝1－k k ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ＝k 1－2k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1， ∴k AQ ＝－1k，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1， 使得QP 平分∠AQB .。

学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第七讲抛物线学案（含解析）新人教版班级：科目：第七讲抛物线知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件:（1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；(3)定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px（p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py（p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0,0）对称轴y＝0 x＝0焦点F__错误!__F__错误!__F__错误!__F__错误!__ 离心率e＝__1__准线方程__x＝－错误!____x＝错误!____y＝－错误!____y＝错误!__ 范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0,x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P（x0，y0)）｜PF｜＝__x0＋错误!__｜PF｜＝__－x0＋错误!__｜PF|＝__y0＋错误!__｜PF｜＝__－y0＋p2__归错误!错误!错误!抛物线焦点弦的处理规律直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1），B（x2，y2)两点，如图．(1)y1y2＝－p2,x1x2＝错误!．(2)｜AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2错误!＝p,即当x1＝x2时，弦长最短为2p．（3）错误!＋错误!＝错误!．（4)弦长AB＝错误!（α为AB的倾斜角)．(5)以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．（7）A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×)(2）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是错误!，准线方程是x＝－错误!．(×）（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（×)(4）AB为抛物线y2＝2px（p＞0）的过焦点F错误!的弦，若A(x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝错误!,y1y2＝－p2，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p．(√）（5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay（a＞0)的通径长为2a．(√)题组二走进教材2．(必修2P69例4)(2021·甘肃张掖诊断）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1),Q(x2,y2）两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(B）A．9 B．8C．7 D．6[解析］抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋｜QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研）抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（B)A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!［解析］由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－错误!y，则焦点坐标为F 错误!，准线方程为y＝错误!，设M（x0，y0),则由抛物线的定义可得－y0＋错误!＝1，解得y0＝－错误!．故选B．题组三走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p＝（D)A．2 B．3C．4 D．8[解析］∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为错误!，∴椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点为错误!,∴3p－p＝错误!，∴p＝8．故选D．5．(2020·新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(C）A．2 B．3C．6 D．9［解析］A为抛物线C：y2＝2px（p＞0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有:9＋错误!＝12⇒p＝6；故选C．考点突破·互动探究考点一抛物线的定义及应用——多维探究角度1轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A：（x＋2）2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是（D)A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线［解析］设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r,所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点（－2,0）和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．角度2到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①（2021·河北保定七校联考）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋（y－2)2＝1的圆心，则｜MF｜＋|MC|的最小值为(B）A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上，且｜AF｜＝4，则｜P A|＋｜PO|的最小值为(B) A．4错误!B．2错误!C．3错误!D．4错误!［解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆（x＋1）2＋（y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1，2)，过M作l的垂线，垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求｜MF｜＋｜MC|的最小值，就转化为求｜ME|＋|MC｜的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME｜＋｜MC|有最小值，最小值为｜CE｜＝2－（－1）＝3,故选B．②由抛物线的定义知｜AF|＝y A＋错误!＝y A＋2＝4，∴y A＝2，代入x2＝8y,得x A＝±4，不妨取A（4，2)，又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4），∴|P A|＋｜PO|＝｜P A｜＋｜PO′｜≥｜AO′｜＝错误!＝2错误!，当且仅当A、P、O′共线时取等号，故选B．[引申]本例(2）①中，（ⅰ)|MC｜－｜MF|的最大值为__错误!__；最小值为__－错误! __；(ⅱ）若N为⊙C上任一点,则｜MF|＋｜MN｜的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题（3）已知圆C:x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为(A）A．错误!B．7C．6 D．9［解析］由题意得圆的方程为（x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为（－3,－4）．由抛物线定义知，当d＋｜PC｜最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d＋｜PC|＝(－3－2)2＋(－4)2＝错误!．角度4到两定直线的距离之和最小问题（4）（2021·北京人大附中测试)点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x ＋3的垂线,垂足分别为G，H，则｜PG|＋｜PH|的最小值为（B)A．错误!B．2错误!C．错误!＋1 D．错误!＋2[解析］由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1,0），由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|,∴｜PG|＋｜PH｜＝｜PF|＋｜PH｜≤｜FH｜＝错误!＝2错误!，当且仅当H、P、F三点共线时取等号，∴｜PG|＋|PH｜的最小值为2错误!．故选B．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题（1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．（2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3）看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕（1)(角度1）到定点A （0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __．（2）(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4，3)，P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214（3)(角度2)（2021·山西大学附中模拟)已知点Q (2错误!，0）及抛物线y ＝错误!上一动点P （x ，y ），则y ＋|PQ ｜的最小值是__2__．（4）(角度3）(2021·上海虹口区二模）已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为（ C ）A ．错误!B ．错误!C ．2D ．错误![解析] (1）由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋｜PF ｜的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知｜PF ｜＝｜PD |，因此,｜P A |＋｜PF |的最小值，即｜P A |＋｜PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ，P ,A 三点共线时｜P A ｜＋|PD |最小，此时P 错误!，且｜PF ｜＝错误!＋1＝错误!，故选B ．(3）抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(2错误!,0），所以|FQ ｜＝错误!＝3．过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如图所示．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ ｜＝｜PD ｜＋|PQ |＝|PH |＋｜PQ ｜－1＝｜PF ｜＋|PQ |－1≥｜FQ ｜－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0），则点P 到直线l 2:x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1:4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2:x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为错误!＝2，故选C ．考点二 抛物线的标准方程—-自主练透例2 （1)过点P （－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y __． （2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __，准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．（3)如图,过抛物线y 2＝2px （p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ,C ，若｜BC |＝2｜BF ｜，且｜AF |＝3,则抛物线的方程为（ B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝错误!xD ．y 2＝9x[解析] (1）设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0）或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点（－3，2),∴4＝－2p ·(－3）或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝错误!．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y ． （2)令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或（0,－2）． 当焦点为（4，0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为（0，－2）时，p2＝2，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ， 对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2．（3)如图,分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ,设｜BF ｜＝a ，则由已知得｜BC ｜＝2a ,由定义得｜BD |＝a ，故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中，∵|AE ｜＝｜AF ｜＝3，｜AC |＝3＋3a ,2｜AE ｜＝｜AC |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1．∵BD ∥FG ，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，求得p ＝错误!，因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．（2）因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1）(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C :y 2＝2px （p ＞0)的焦点为F ，过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若｜AF |＝1，则抛物线C 的方程为（ A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2）（2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3）到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析］ (1）由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋错误!＝错误!＝1，∴p ＝错误!,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ，故选A ．（2）由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py （p ＞0），所以3＋错误!＝5,即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ．考点三,抛物线的几何性质-—师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C ）A ．4B ．9C ．10D ．18（2)(理）（2021·四川眉山模拟）点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点（点A 在第一象限)，过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若|MF |＝4，|NF |＝3，则直线AB 的斜率为（ D )A ．1B ．错误!C ．2D ．错误!（文)(2021·四川师大附中期中）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0)，F 为抛物线的焦点，O为坐标原点A (x 1，y 1)，B （x 2,y 2)为抛物线上的两点,A ，B 的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO 的重心为F ，则p ＝（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为错误!,准线方程为x ＝－错误!．由题意可得4＋错误!＝9，解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2）(理)由抛物线定义知|AM ｜＝|AF |，|BN |＝｜BF ｜， ∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°，∴∠MFN ＝90°， 又｜MF |＝4，|NF |＝3，∴|MN |＝5，∴p ＝|KF ｜＝错误!＝错误!， 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ，∴k AB ＝tan （180°－2∠MFK ）＝－错误!＝－错误!＝错误!．故选D ．(文）错误!＋错误!＝5,错误!＝错误!， ∴10－p ＝错误!，所以p ＝4．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1）（2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0）,过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若｜AF |＝4|BF ｜，则｜AB ｜＝__错误!__．（2)(2021·湖北荆州模拟）从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]（1）∵错误!＝1，∴p＝2，不妨设直线AB方程为x＝my＋1,A（x1,y1）,B（x2,y2），由错误!,得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4,又｜AF|＝4|BF|，∴y1＝－4y2，∴y2＝－1，从而x2＝错误!，∴｜BF|＝1＋错误!＝错误!,∴|AB|＝5｜BF|＝错误!．(2）设P（x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1，0),故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为（8,4错误!)，所以k PF＝错误!＝错误!．故选C．考点四，直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点F与双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点重合,直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB｜等于(B）A．28 B．32C．20 D．40(2）(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是（B)A．y＝x－1 B．y＝2x－1C．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋3（3)（2021·湖南五市十校联考）已知抛物线C:y2＝2px（p＞0)，直线y＝x－1与C相交所得的长为8．①求p的值；②过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝－1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证：直线MN过定点．［解析］(1)双曲线错误!－错误!＝1的焦点坐标为(±4，0)，故抛物线的焦点F的坐标为（4，0）．因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．设A、B两点坐标分别为(x1，y1),（x2，y2)．由错误!可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24．故｜AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32．故选B．(2）设A(x1，y1)，B（x2，y2)，∴y1＋y2＝2,由错误!，知k AB＝错误!＝错误!＝2，∴AB的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0，故选B．（3)①由错误!，消x可得y2－2py－2p＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，∴弦长为错误!·错误!＝错误!·错误!＝8,解得p＝2或p＝－4(舍去)，∴p＝2，②由①可得y2＝ 4x，设M错误!，∴直线OM的方程y＝错误!x，当x＝－1时，∴y H＝－4y0,代入抛物线方程y2＝4x，可得x N＝错误!，∴N错误!，∴直线MN的斜率k＝错误!＝错误!，直线MN的方程为y－y0＝错误!错误!，整理可得y＝错误!(x－1)，故直线MN过点(1,0）．名师点拨(1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元,用到根与系数的关系．(2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕（1)(2021·甘肃诊断)直线l过抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF｜＝4，错误!＝3错误!,则p＝（C)A．2 B．错误!C．错误!D．4（2）（2021·安徽皖南八校模拟）已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点F到直线x－y＋1＝0的距离为错误!．①求抛物线C的方程；②过点F的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点P．若｜错误!|＝3｜错误!|,求直线l 的方程．［解析](1)过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D两点，设|BF|＝a，根据抛物线的性质可知，｜BD|＝a，|AE|＝4，根据平行线段比例可知错误!＝错误!,即错误!＝错误!，解得a＝2，又错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得p＝错误!a＝错误!，故选C．（2)①由抛物线C：y2＝2px(p＞0),可得焦点F错误!，因为焦点到x－y＋1＝0的距离为错误!，即错误!＝错误!，解得p＝2，所以抛物线C的方程y2＝4x．②由①知焦点F（1，0)，设直线l：y＝k(x－1），A(x1,y1)，B（x2，y2)，联立方程组{y＝k(x－1)，y2＝4x，整理得k2x2－（2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋错误!,①x1x2＝1，②又由｜错误!|＝3｜错误!|，得错误!＝3错误!,可得x1＝4x2，③由②③,可得x1＝2，x2＝错误!，代入①，可得2＋错误!＝错误!，解得k＝±2错误!，所以直线l的方程为2错误!x－y－2错误!＝0或2错误!x＋y－2错误!＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1）抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝（ D ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!(2）（2019·新课标Ⅲ，节选)已知曲线C ：y ＝错误!，D 为直线y ＝－错误!上的动点,过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．证明:直线AB 过定点．[解析] (1）抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0)的焦点坐标为错误!，双曲线错误!－y 2＝1的右焦点坐标为（2，0）,两点连线的方程为y ＝－错误!（x －2），联立错误!得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′错误!x ＝m ＝错误!．又双曲线错误!－y 2＝1的渐近线方程为错误!±y ＝0,其与切线平行，所以错误!＝错误!，即m ＝错误!p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝错误!或p ＝0(舍去)．(2）设D 错误!，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1,故错误!＝x 1， 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2，y 2），同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0，即y －错误!＝tx ． ∴直线AB 过定点错误!．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条;过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕（1)已知抛物线C :y 2＝2px （p ＞0)，过点M 错误!作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2）已知抛物线x 2＝8y ，过点P （b ，4）作该抛物线的切线P A ，PB ，切点为A ,B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为( C ）A ．（4，0)B ．(3，2)C ．（0，－4)D ．（4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k 错误!代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2）x ＋错误!＝0．Δ＝0，即p 2（k 2－2）2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2）设A ，B 的坐标为（x 1,y 1），(x 2，y 2）， ∵y ＝x 28，y ′＝错误!,∴P A ，PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1），y －y 2＝错误!（x －x 2)，由y 1＝错误!，y 2＝错误!，可得y ＝错误!x －y 1，y ＝错误!x －y 2， ∵切线P A ，PB 都过点P （b,4), ∴4＝错误!×b －y 1,4＝错误!×b －y 2，故可知过A ，B 两点的直线方程为4＝错误!x －y ， 当x ＝0时，y ＝－4，∴直线AB 恒过定点（0，－4）．故选C ．。