2021新高考数学新课程一轮复习：第八章 第7讲 抛物线含解析

第7课时 抛物线知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． y ＝2px (p ＞0) y ＝－2px (p ＞0) x ＝2py (p ＞0) x ＝－2py (p ＞0)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.(×)(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．(×) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .(√)(6)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.(×)(7)抛物线y 2＝2x 的对称轴是y 轴．(×)(8)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(√)(9)点M 到点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＋6＝0的距离小2，则M 点的轨迹是抛物线，其方程为x 2＝16y .(×)(10)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物线的离心率．(√)[例1] (1)(2016·高考全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx(k ＞0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D (2)(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9. 答案：9(3)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．解析：如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 答案：4[方法引航] 涉及抛物线的焦半径(抛物线上的点与焦点的连线)、焦点弦的问题，应利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p2(焦点在x 轴上)或|PF |＝|y |＋p2(焦点在y 轴上).1．若将本例(3)中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.2．若将本例(3)中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值． 解：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.3．若将本例(1)改为：设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3，选C.[例2] A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)解析：∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选D. 答案：D(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．解析：∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，则抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－2(3)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，得y ＝－a 2， 故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 216，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x .答案：B(4)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( ) A ．2∶ 5 B ．1∶2 C ．1∶ 5 D ．1∶3解析：如图由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH .即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN |＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 答案：C[方法引航] (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. (2)求抛物线方程应注意的问题①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种. ②要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.③要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2解析：选A.由y ＝14x 2得x 2＝4y ，焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.故选A.2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y解析：选D.将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a ＞0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112.当a ＜0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136. 所以抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .3．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的标准方程是________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD 交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 为AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x[例3] (1)(2017·河北石家庄二模)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB ＝22，则|AB |＝( ) A ．4 B ．8 C ．3 2 D ．10解析：如图，F (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1⇒y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，又∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )，∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝2 2.即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝22⇒y 1－y 2＝42m 2，∴4m 2＋1＝42m 2⇒m 2＝1，∵|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝4m 2＋4＝8. 答案：B (2)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .①求|OH ||ON |；②除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：①由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，所以ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.②直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．[方法引航] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.1．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3 D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，则y 1＝42，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝42，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－22，则B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3，故选D. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又|AB |＝ 1＋m 2|y 1－y 2|＝ (1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[方法探究]抛物线的“焦点”访谈直线与抛物线相交，当直线过焦点时，经常用到一些特殊的结论：设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦(称为焦点弦)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则有：(1)x 1x 2＝p 24；(2)y 1y 2＝－p 2；(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，当且仅当x 1＝x 2时，弦长最短为2p (称为通径)；(4)弦长|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)；(5)1|F A |＋1|FB |＝2p； (6)以AB 为直径的圆与准线相切；(7)焦点F 对A ，B 在准线上的射影的张角为90°.[典例] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2[解析] 法一：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.故选C. 法二：若得出y A ＝22， ∴由y A ·y B ＝－p 2＝－4，∴y B ＝－2，S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝322.法三：由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，不妨设A (2，22)，则S △OAF ＝2，又知0<S △OBF <S △OAF ＝2，故2<S △AOB <22，结合选项知选C. [答案] C[回顾反思] 本题中的法一是利用抛物线的定义转化|AF |，直接求A 、B 两点来求面积；法二利用了直线过焦点的特殊结论，y A ·y B ＝－p 2得y 0；法三利用几何特征来估算．[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：选B.不妨设C ：y 2＝2px (p ＞0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝⎛⎭⎫4p 2＋8＝⎝⎛⎭⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2014·高考课标卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：选A.由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设点A 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.3．(2015·高考课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x－2a )，即ax －y －a ＝0. y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．课时规范训练 A 组 基础演练1．抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，18B.⎝⎛⎭⎫－18，0C.⎝⎛⎭⎫0，－12D.⎝⎛⎭⎫－12，0 解析：选C.把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2，∴p 2＝12，即焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，故选C.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝2，|PQ |＝4，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝2xD ．y 2＝6x解析：选A.由抛物线的定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又x 1＋x 2＝2，所以p ＝2，即抛物线的方程是y 2＝4x .故选A.3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54 D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p2＝2，∴抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.5．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称．若2x 1x 2＝－1，则2m 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：选A.由y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m,2x 1x 2＝－1，以及y 1＝2x 21，y 2＝2x 22可得x 2－x 1＝y 1－y 2＝2(x 21－x 22)，x 1＋x 2＝－12，2m ＝(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝2(x 21＋x 22)＋12＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋12＝2×14＋2＋12＝3，故选A. 6．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________． 解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 答案：x 2＝12y 7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 解析：设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.答案：28．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 解析：由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为yA ＋44＝14＋1＝54.答案：549．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明：法一：设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A .∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y B . 则k OC ＝y B －p 2＝2p 2y A p ＝2p y A ＝y 2A x A ·1y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .法二：如图，设准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D . 则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ，则 |EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |，即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． B 组 能力突破1．如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p ＞0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A ．p 2B.p 24 C .p 22 D.p 23 解析：选B.设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p 2＝x 1， 同理|CD |＝x 2.故AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24. 2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3解析：选C.∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0. ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212. 由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12. 3．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB＝( )A.45B.35C.34D.55解析：选 B.由抛物线方程可知焦点F 的坐标为(0,1)．联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.令A (－2,1)，则B (4,4)，∴|AB |＝36＋9＝35，|AF |＝4＋0＝2，|BF |＝16＋9＝5，∴在△ABF 中，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF ||BF |＝4＋25－452×2×5＝－45，∴sin ∠AFB ＝ 1－1625＝35，故选B. 4．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是__________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6，直线与抛物线方程联立消去x 可得m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0.∴y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2，可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 法二：|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.而|AB |＝2p sin 2α，∴sin 2α＝12，即sin α＝22. α＝45°或135°，∴k ＝1或－1.AB 的方程为y －1＝x ，或y －1＝－x .答案：y －1＝x 或y －1＝－x5．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)． 化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得 y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .① 又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。

第七讲抛物线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件:(1)在平面内；（2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；（3）定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px（p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点F(错误!，F(－F（0，F(0，－0) 错误!，0）错误!) 错误!) 离心率e＝__1__准线方程x＝－错误!x＝错误!y＝－p2y＝错误!范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0）)｜PF|＝x0＋错误!｜PF｜＝－x0＋错误!｜PF｜＝y0＋错误!｜PF｜＝－y0＋错误!错误!错误!错误!错误!抛物线焦点弦的处理规律直线AB过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F，交抛物线于A（x1，y1),B(x2，y2)两点，如图．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝错误!．(2）｜AB｜＝x1＋x2＋p,x1＋x2≥2错误!＝p，即当x1＝x2时,弦长最短为2p．(3)错误!＋错误!＝错误!．（4)弦长AB＝错误!(α为AB的倾斜角）．(5)以AB为直径的圆与准线相切．(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．(7）A、O、D三点共线;B、O、C三点共线．双基错误!错误!题组一走出误区1．(多选题）下列结论正确的是( CD ）A．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B．方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(错误!，0），准线方程是x＝－错误!C．AB为抛物线y2＝2px(p〉0）的过焦点F（错误!，0)的弦，若A(x1,y1）,B（x2，y2），则x1x2＝错误!，y1y2＝－p2，弦长｜AB|＝x1＋x2＋pD．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a题组二走进教材2．(必修2P69例4)（2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1),Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6,则|PQ｜等于（ B ）A．9 B．8C．7 D．6[解析］抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1。

第七节抛物线最新考纲考情分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题的热点．2．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇命题．3．题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题，有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档题.知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．知识点二抛物线的标准方程及几何性质抛物线常见的几何性质1．焦半径、通径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p ，是过焦点最短的弦．2．直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图可得．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( × )(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( × ) 2．小题热身(1)以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( D ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( D )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－3D ．x ＝－4解析：因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x ＝－4，故选D.(3)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析：由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132.(5)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是1516.解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1，∴y ＝1516.考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2020·贵阳市监测考试)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(12，0)(2)(2020·广东七校联考)已知抛物线y 2＝24ax (a >0)上的点M (3，y 0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20x【解析】 (1)因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x ，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.(2)抛物线y 2＝24ax (a >0)的准线方程为x ＝－6a ，点M (3，y 0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M (3，y 0)到准线的距离也为5，即3＋6a ＝5，∴a ＝13，∴y 2＝8x ，故选A.【答案】 (1)C (2)A 方法技巧1．已知椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值为( A )A ．213B ．4 2C ．313D ．4 6解析：∵椭圆y 25＋x 2＝1，∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，∵椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x2＝ay 有相同的焦点F ，∴a4＝2，即a ＝8，则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，y ＋2＝4，即点A 的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B (4，－6)，则|PA |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝42＋－62＝16＋36＝52＝213，故选A.2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2. 由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p，4.由|MF |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8.考点二 抛物线的标准方程及几何性质【例2】 (1)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，则使△OFM 为等腰三角形的点M 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( )A ．16 3B ．12 3C ．4 3D ．3【解析】 (1)当|MO |＝|MF |时，有2个点M 满足题意；当|OM |＝|OF |时，有2个点M满足题意．所以点M 的个数为4，故选C.(2)根据题意，四边形MNPQ 为矩形，可得|PQ |＝|MN |，从而得圆心F 到准线的距离与到MN 的距离相等，所以有M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，从而求得M (3,23)，N (3，－23)，所以|MN |＝43，|NP |＝4，所以矩形MNPQ 的面积S ＝4×43＝16 3.【答案】 (1)C (2)A 方法技巧1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化；2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.1．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F ，M且与l 相切的圆有( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，所以可得m ＝±4.由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，故圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点．结合抛物线的性质知对于点M (4,4)和(4，－4)，线段FM 的垂直平分线与抛物线都各有2个交点，所以满足条件的圆有4个，故选D.2．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( B )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169解析：将y ＝1，代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k AB ＝1－014－1＝－43，故选B. 考点三 直线与抛物线的位置关系命题方向1 焦点弦问题【例3】 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16(2)(2020·重庆市调研抽测)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线4x 23－4y 2＝1的右焦点相同，过点F 分别作两条直线l 1，l 2，直线l 1与抛物线C 交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D ，E 两点，若l 1与l 2的斜率的平方和为1，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．20C ．24D ．32【解析】 (1)抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.(2)由双曲线方程知其右焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意可设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －1)(k 1≠0)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －1)(k 2≠0)，则k 21＋k 22＝1，于是由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，消去y ，得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以x A ＋x B ＝2k 21＋4k 21＝2＋4k 21，同理可得，x D ＋x E ＝2＋4k 22.因为F 为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得|AB |＋|DE |＝(x A ＋p 2＋x B ＋p 2)＋(x D ＋p 2＋x E ＋p 2)＝x A ＋x B ＋x D ＋x E ＋2p ＝2＋4k 21＋2＋4k 22＋4＝8＋4k 21＋k 22k 21k 22＝8＋4k 21k 22≥8＋4k 21＋k 2222＝24，当且仅当k 21＝k 22＝12时，|AB |＋|DE |取得最小值24，故选C.【答案】 (1)D (2)C命题方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】 (2020·重庆市七校联考)已知A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a >0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p >0)在第一象限分别交于D ，C 两点．(1)若a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；(2)若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围． 【解】 (1)由题意知A (p 2，0)，则B (p 2＋a,0)，D (p 2，p )，则C (p2＋a ，p 2＋2pa )，又a＝p ，所以k CD ＝3p －p3p 2－p 2＝3－1. (2)设直线CD的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋by 2＝2px ，得ky 2－2py ＋2pb ＝0，所以Δ＝4p 2－8pkb >0，得kb <p2，又y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝2pb k ，由y 1＋y 2＝2p k >0，y 1y 2＝2pbk>0，可知k >0，b >0，因为|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝a 1＋k 2， 点O 到直线CD 的距离d ＝|b |1＋k2，所以S 1＝12·a 1＋k 2·|b |1＋k 2＝12ab . 又S 2＝12(y 1＋y 2)·|x 1－x 2|＝12·2p k ·a ＝apk ，所以S 1S 2＝kb 2p ，因为0<kb <p2， 所以0<S 1S 2<14.方法技巧直线与抛物线相交问题处理规律： 1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算，特别是有关弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则使用弦长公式2对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图形结合几何性质作出解答，并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F (34，0)，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.。