抛物线讲义(含知识点、例题、变式及答案)

抛物线与方程【知识讲解】 1、定义平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.2、抛物线的方程及其简单性质3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.4、焦点弦的性质（1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ⋅=定值24p ，12y y ⋅=定值2p -；③11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ=-上；②1cos p B F θ=+下；③2222s 1i 1n p k AB p θ⎛⎫+ =⎪⎝⎭=. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥；④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥；⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切；⑧24PQ AF BF =； 24PQF APF BQF S S S ∆∆∆=⋅；⑨232sin ABQPp S θ=四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线；（5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物 线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则12EF AB =. （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=.5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ⋅=定值2m ；②12y y ⋅=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥⇔=；④m p =时，2211||||MA MB +=定值21p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若120n FP FP FP +++=，则12n FP FP FP np +++=.【典型例题】例1、已知动点M 的坐标满足方程3412x y +-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆【变式】已知动点M 的坐标满足方程3412x y =+-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线例2、点P 与点()20F ，的距离比它到直线40x +=的距离小2，则P 的轨迹方程为_______.【变式】动圆M 与定直线2y =相切且与定圆C :22(3)1x y ++=相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_______.【变式2】到y 轴的距离比到点()2,0F 的距离小2的动点P 的轨迹方程为_______.例3、抛物线24y x =的焦点坐标为_______.【变式】1【2014上海】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.【变式2】抛物线C 恒过定点()0,2A ，C 的准线为轴，则C 的顶点M 的轨迹方程为_______.例4、在抛物线24y x =上一点P ，使它到定点()2,2M 和焦点F 的距离之和最小，并求出距离之和的最小值.【变式1】设P 是抛物线28y x =上的一个动点，则点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴的距离之和的最小值为________.【变式2】设P 是抛物线24y x =上的一个动点.（1）求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2）求点P 到直线220x y ++=的距离d 与点P 到抛物线焦点F 距离之和的最小值.【变式3】已知FAB ∆，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么FAB ∆的周长的取值范围为 ．例5、已知抛物线26y x =上存在三点,,A B C ，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点为F ，则=FA FB FC ++_______.【变式】已知抛物线26y x =的焦点为F ，若该抛物线上存在四点123P P P 、、、4P ，满足1234=0FP FP FP FP +++，则1234=FP FP FP FP +++_______.例6、直线l 过()1,2A ，且与抛物线212y x =交于,M N 两点，且MA AN =，则直线l 的方程为_________;MN =_______.例7、抛物线24y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若4FM FN =-,则直线MN 的斜率为_______.【变式】【2014新课标】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =, 则QF =_______.例8、过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且1021=+x x ，则=AB _____.【变式1】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点()02,M y ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =_____.【变式2】过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且10AB =，则ABO ∆重心的横坐标为_____.【变式3】过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且128y y +=，则=AB _____.例9、抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()2a a p ≥，求弦中点M 到y 轴的最短距离.【变式】抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()02a a p <<，求弦中点M 到y 轴的最短距离.例10、若抛物线2:1C y ax =-上存在关于直线20x y -=对称两点A 和B ，求实数a 的取值范围.例11、【2014四川】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是____.例12、已知抛物线()220y px p =>，过定点(),0p 作两条互相垂直的直线12l l 、,1l 与抛物线交于,P Q 两点，2l 与抛物线交于,M N 两点，设1l 的斜率为k ，若已知弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为__________.例13、设M 为抛物线2:4(0)C x py p =>准线上的任意一点，过点M 作曲线C 的两条切线，设切点为,A B .直线AB 是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.例14、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作相互垂直的两条直线12,l l ,抛物线与1l 交于点12,,P P 与2l 交于点12,Q Q ．证明：无论如何取直线12,l l ,都有121211PP Q Q +为一常数.例15、抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B . （1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.【变式1】已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=； （3）记OA 与OB 的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．11()22,B x y ，且OA OB ⊥.（1）证明21y y ⋅和12x x ⋅均为定值； （2）证明直线l 恒过定点P ； （3）求AB 的中点M 的轨迹方程；（4）过原点作AB 的垂线，垂足为N ，求N 的轨迹方程.（5）对于C 上除原点外的任意一定点()00,Q x y ，若仍有PA PB ⊥，请问是否还有直线l 恒过定点，若是，请求出定点'P ；若否，请说明理由.【变式3】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若()2OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线倾斜角. （3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证： 当0k 为定值时，12k k +也为定值.例16、在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线过定点()2,1P -，求直线与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.11（1）当直线过点(),0M p 时，证明21y y ⋅为定值；（2）如果直线过点(),0M p ，过点M 再作一条与直线垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．例18、动圆C 过定点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.设圆心C 的轨迹Γ的程为()0,=y x F （1）求()0,=y x F ；（2）曲线Γ上的一定点()00,y x P (0y ≠0) ，方向向量()p y d -=,0的直线（不过P 点）与曲线Γ交与A 、B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，计算PB PA k k +；（3）曲线Γ上的两个定点()000,y x P 、⎪⎭⎫ ⎝⎛''000,y x Q ，分别过点00,Q P 作倾斜角互补的两条直线N Q M P 00,分别与曲线Γ交于N M ,两点，求证直线MN 的斜率为定值.例19、已知抛物线()2:20C y px p =>和:M 228120x y x +-+=，过抛物线C 上一点()()000,0P x y y ≥作两条直线与M 相切与,A B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为92. (1)求抛物线C 的方程；(2)当P 点坐标为()2,2时，求直线AB 的方程；(3)设切线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k ⋅=，求点()00,P x y 的坐标.例20、过抛物线()220y px p =>的对称轴上一点()(),00A a a >的直线与抛物线交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N . （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥; （2）记1AMM ∆、11AM N ∆、1ANN ∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在实数λ，使得对任意的，都有2213S S S λ=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。

抛物线标准化讲义一．知识点总结1．抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等___；(3)定点F与定直线l的关系为__点F∉l___.2．抛物线的标准方程与几何性质抛物线焦点弦的处理规律直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.二．类型题讲解考点一：抛物线的定义1..设圆C 与圆()1322=-+y x 外切，与直线y=0相切，则C 的轨迹为（ ）A. 抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆[解析]A 设C 的坐标为(x ，y)，圆C 的半径为r ，圆()1322=-+y x 的圆心为A ，∵圆C 与圆()1322=-+y x 外切，与直线y=0相切，∵|CA|=r+1，C 到直线y=0的距离d=r ，∵|CA|=d+1，即动点C 到定点A 的距离等于到定直线y=-1的距离， 由抛物线的定义知：C 的轨迹为抛物线．2.已知点M 与点F （4,0）的距离比它到直线05:=+x l 的距离小1，求点M 满足的方程。

[解析]依题意可知：点M 与点F (4,0)的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1， 转化为点M 与点F (4,0)的距离与它到直线l :x +4=0的距离相等， 满足抛物线的定义，所以P =8，点M 的轨迹方程是x y 162= 故答案为：x y 162= 考点二：抛物线的方程与性质 3.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( C )A ．(18，0)B ．(12，0)C ．(0，18)D ．(0，12)[解析]由抛物线的标准方程为x 2＝12y ，可知p 2＝18，所以焦点坐标是(0，18)．故选C ．4.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( A )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A ．5(2019·宁夏二模)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为__±4___.[解析] 由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由定义知P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4，得p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝－8y ，代入点P 的坐标得m ＝±4.6.若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( C )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x[解析] (1)∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离 4，∴|－p2－2|＝4，∴p ＝4.∴抛物线的标准方程为y 2＝8x . 7.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A.4 B.6 C.8 D.12[解析]B∵点P 到y 轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q ，则|PQ|等于点P 到焦点的距离，而|PQ|＝6，所以点P 到该抛物线焦点的距离为6.8.已知抛物线y x 162=上的点M 到焦点的距离等于8，求M 的坐标. [解析]M （-8,4）或M （8,4）由题意得：2p=16，42=p ，所以焦点坐标为（0,4），设M （4,2x x ），则()222284160=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 解得8±=x ，所以M （-8,4）或M （8,4）。

抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。

2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。

考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。

抛物线经典结论和例题方程1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y = 将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-所以2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于( ) A．4 2 B．8C．8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为π4，求△POM的面积．解析一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5. (2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p 2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设 OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.例7 、(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB |＝2r ＝564＋32b ＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －245)2＋(y ＋4)2＝16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2. 6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8C ．8 3D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.11 10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a 4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a 4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM ＝k PM ，即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM · OP ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为π4，∴| OM |·|OP |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝52.。

3.3 抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l(点F 不在直线l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线.2．抛物线的标准方程和几何性质焦点在x 轴上时，方程的右端为±2px ，左端为y2；焦点在y 轴上时，方程的右端为±2py ，左端为x2.O(0,0)[常用结论]与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB 是过抛物线y2＝2px(p ＞0)焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB 的倾斜角．则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝p 1－cos α，|BF|＝p1＋cos α.(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p ＝2p sin2α.(4)1|AF|＋1|BF|＝2p .(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【题型精讲】考点一 抛物线的定义【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO+的最小值为（ ）A．B．C．D．【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．82．（2020·全国高二课时练习）若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）A ．12 B C ．1D ．23．（2020·全国高二课时练习）已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点二 抛物线的标准方程【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x = 【玩转跟踪】1．（2020·内蒙古青山。

1抛物线专题复习一：知识总结1、抛物线的定义:平面内点到定点的距离等于点到定直线的距离：即：PF d = 其中点F 为抛物线的焦点。

2、抛物线的标准方程、几何性质标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p pxyxyO Fl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x p PF +=)(21x x p AB ++=PFQOxy23、抛物线的焦半径 ①()022>=p px y焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x焦半径：y pPQ PF +==2；④()022>-=p py x焦半径：y pPQ PF -==24、直线与抛物线的位置关系（1）当直线与对称轴平行时⇒有一个交点⇒相交（2）当直线与对称轴不平行时，则有① ② ③ ①当0∆>⇒两个焦点⇒相交； ②当0∆=⇒一个焦点⇒相切； ③当0∆<⇒没有焦点⇒相离；题型一：抛物线的定义应用1、抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 1615C.87D. 02、已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 。

()022>-=p pxyxyO F l()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p2p x =1=e 02x pPF -=)(21x x p AB +-=()022>=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2py -=1=e02y p PF +=)(21y y p AB ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =1=e 02y pPF -=)(21y y p AB +-=PF OQxyPFQO xy PFOQxyOxyFFOxyOxy FOxyFOxyF33、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ．321y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+4、已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛 物线上的动点,当MF MA +最小时，M 点坐标是A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-题型二：利用抛物线定义求轨迹方程1、一动点P 到y 轴距离比到点)0,2(M 的距离小2，则此动点P 的轨迹方程;2、求与圆C ：22(2)1x y ++=外切，且与直线1x =相切的动圆圆心M 的轨迹方程；3、已知动圆M 经过点)0,3(M 且与直线3:-=x l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是；4、已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程； （参考：222880x y xy x y +---=；y x =；(00)，）题型三：距离问题1、已知F 是抛物线24y x =的焦点，点Q(2,2)，在抛物线上找一点P 使PQ PF +最小，求点P 的坐标；2、抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ；（1）当||||MA MF + 为最小时，求M 点的坐标； （2）当||||||MA MF -为最大时，求M 点的坐标；43、定长为4的线段AB 的端点A B 、在抛物线22y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 的中点M 坐标；4、求抛物线22y x =上到直线03=+-y x 距离最短距离，且求出此时的点的坐标；5、在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标；（），（121）6、已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小；题型四：焦半径和焦点弦 （一）焦半径公式①()022>=p px y 焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y 焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x 焦半径：y pPQ PF +==2； ④()022>-=p py xPF OQxyPF QO x y PFQ O xyPFOQxy5焦半径：y pPQ PF -==2（二）焦点弦公式（1）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且直线AB 的倾斜角为a ，则apAB 2sin 2= （2）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且点()()1122,,,A x y B x y ，则有 ①12AB x x p =++ ②pBF AF 211=+ ③2124p x x =④221p y y -=（3）通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴）最短；当90α= ，2sin 1α=，p ap AB 2sin 22==最小1、已知抛物线2y x =上一点M 到焦点F 的距离为2，求点M 的坐标；（参考：77(,)24±） 2、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，且621=+x x ，求||AB A 、10 B 、8 C 、6 D 、43、如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）A 、5B 、6C 、7D 、94、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、1条或2条 D 、不存在5、过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+ （ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、a46、已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。

抛物线专题复习直线S，抛物线f !_■,y =4 + 3<y = 2px消y得.+(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k工0时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0，直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线i: y联立方程法：kx b 抛物线「' -1，(p 0)y kx b y22px k2x2 2(kb p)x b20设交点坐标为A(x i , y i ) , B(X 2,y 2),则有 0 ,以及X i X 2,X i X 2 ,还可进一步求出在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，- 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值 时，点P 的坐标为 _______________________2&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2px(p 0)则该抛物 线的方程是 。

9、 在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O ,且过点P(2，4)，则该抛物线的方程 是 __________ 10、 抛物线yx 2上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 ___________________11、 已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，贝U y 12+y 22的最小值是 ________212、 已知点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) (x 1x 2 0)是抛物线y 2 px( p 0)上的两个动点，O 是坐标原点，向量y iy 2kX-! b kX 2b k (X i X 2) 2b , y 』22 2(kX 1 b)(kx 2 b) k X j X 2 kb(X j X 2) bAB v1 k 2 X -I X 21 k2 Jx i X 2)2 4x 1X 21 k 2^(yi y2)2 4yiy222、已知点P 是抛物线y2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ___________则梯形APQB 的面积为 ___________2uur4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为uuu 60°，则 OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ，经过F 且斜率为.3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，AK 丄l ，垂足为K ，则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK | J 5|AF |，贝U AFK 的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_______4 53、直线y x 3与抛物线y 2 4x 交于A,B 两点，过 代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q ，(1)证明线段AB 是圆C 的直径;uuu 2 uu uu uuu 2 uuu 2 uuu uuuuu 2 OA 2O A OB OB OA2O A O BOB ，整理得uuu :OA uu uOB 0， X 1 X 2 y 1 y 2 0 (1)以线段AB 为直径的圆的方程为x 1 x 2 2y 1 y 2 2122(x - 2)(y 12)-[(x 1 X 2) (y 1 y 2)]，224展开并将(1)代入得：x 2 y 2 (x-i x 2)x (y 1 y 2) y 0，故线段AB 是圆C 的直径C 为圆心)XX2y 1 y22x⑵解:设圆C 的圆心为C(x,y),则yuu uuu uuu uuu OA ,OB 满足 OA OB uu u OAuuu 2 OB .设圆C 的方程为x 2y(x i X 2)x (y i y 2)y 0。

《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内，到定点 F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。

为了更直观地理解抛物线的定义，我们可以想象一个场景：有一个手电筒，灯泡所在的位置就是焦点 F，手电筒发出的光形成的直线就是定直线 l。

那么，被手电筒照亮的区域的边缘就是一条抛物线。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时，其标准方程为\（y^2 ＝2px （p>0)＼），此时焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。

2、当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时，其标准方程为\（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。

3、当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时，其标准方程为\（x^2 ＝2py （p>0)＼），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。

4、当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上时，其标准方程为\（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。

这里的 p 表示焦点到准线的距离，它决定了抛物线的开口大小和形状。

三、抛物线的几何性质1、范围对于抛物线\（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），其范围是\（x ＼geq 0\）；对于抛物线\（y^2 ＝－2px （p>0)＼），其范围是\（x ＼leq 0\）；对于抛物线\（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），其范围是\（y ＼geq 0\）；对于抛物线\（x^2 ＝－2py （p>0)＼），其范围是\（y ＼leq 0\）。

第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.一、知识回忆 课前热身知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式练习1．(1)假设点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，那么点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，那么AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．假设线段F A 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，那么抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324变式练习2．直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，那么焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.例3过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，假设OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.变式练习3．直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，假设|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由k >0，所以k ＝223.三、归纳总结 方法在握归纳4个结论——直线与抛物线相交的四个结论抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，假设是标准方程，那么要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不说明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的表达．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、拓展延伸 能力升华例1(2021·陕西高考)下列图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，那么抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6变式练习 1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如下图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．五、课后作业 稳固提高一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( ) A.52B.32C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a2，那么12－a 2＝1，解得a ＝－32.2．抛物线y 2＝4x ，假设过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，那么△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.那么26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4. 解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2021·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，那么(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，那么y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2021·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，假设△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，那么抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________． 解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2021·厦门模拟)动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2021·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．假设|AF |＝3，那么|BF |＝________.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．那么直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，那么N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.11．假设椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)假设过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.那么椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，那么可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，那么Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。

抛物线考纲解读 1.利用抛物线的定义及简单性质求抛物线的标准方程；2.根据抛物线标准方程求其几何性质；3.利用抛物线几何性质研究与直线有关的综合问题．[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)与一个定点F 和一条定直线l 距离相等． (3)l 不经过点F .2．抛物线的标准方程与几何性质O (0,0)[三基自测]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案：B2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：D3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)过y 2＝8x 的焦点F 垂直于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，求|MN |.答案：8考点一 抛物线的定义及应用|方法突破[例1] (1)(2018·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B.75 C.97D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2(3)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] (1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E (图略)．∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋23y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C.(3)当动圆在y 轴右侧时，如图，动圆圆心P 到(3,0)的距离等于P 到定直线x ＝－3的距离(3＋r )，所以P 点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线． 其方程为y 2＝12x (x >0)．当动圆在y 轴左侧时，其圆心在x 轴的负半轴上，其方程为y ＝0(x <0)． [答案] (1)A (2)C (3)y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0) [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2 C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D2．将本例(2)改为已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，求|MA |＋|MF |的最小值．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.考点二 抛物线标准方程及性质|方法突破[例2] (1)(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)(2018·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(3)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( )A.π6B.π4C.π2D.2π3[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5. 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.(3)由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，所以∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.[答案](1)B(2)C(3)C[方法提升]求抛物线方程的方法[跟踪训练]1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D2．(2018·重庆渝中区模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43x解析：∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴双曲线C 为等轴双曲线，即a ＝b ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .又∵双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px 交于A ，B 两点，如图所示，设点A (x ，y )，∴|OM |＝x ，|AM |＝y .又 ∵△OAB 的面积为xy ＝4，∴x ＝2，y ＝2.又∵点A 在抛物线上，∴22＝2p ·2.解得p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .故选C.答案：C3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2 解析：∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案：C考点三 直线与抛物线综合问题|方法突破[例3] (2016·高考浙江卷) 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值．(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．[解析] (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝⎛⎭⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2 t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． [方法提升][跟踪训练]如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B ，与抛物线C 在第四象限的交点为点C .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解析：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k 2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0y y 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．1.[考点一](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx (k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D3.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.答案：A4.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：如图，过M 、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 1、N 1，设抛物线的准线与x 轴的交点为F 1，则|NN 1|＝|OF 1|＝2，|FF 1|＝4.因为M 为FN 的中点，所以|MM 1|＝3，由抛物线的定义知|FM |＝|MM 1|＝3，从而|FN |＝2|FM |＝6.答案：65.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率：(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.。

人教版选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义案例(二)——精析精练 课堂 合作 探究重点难点突破知识点 抛物线的几何性质 (1)范围:因为0>p ，将方程()022>=p px y变为py x 22=，知0≥x ，由此可知，抛物线()022>=p px y 上的点在y轴上或在y 轴的右侧(不可能在y 轴的左侧)，当x 增大时，y 也随之增大，焦点 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p F准线 2p x -= 2p x =范R y x ∈≥,0Ry x ∈≤,0轴 x 轴 顶()0,0O 离1=e开口方向向右向左向右并且向右上方和右下方无限伸展。

(2)对称性 将抛物线()022>=p px y 中的y用—y 代方程不变，说明抛物线()022>=p px y 关于x轴对称(结合图形也可看出)。

抛物线的对称轴也叫做拋物轴。

(3)顶点 在方程()022>=p px y 中，令=y ，得=x ，(0，0)点是抛物线pxy 2=与它的对称轴轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

由此可见，抛物线()022>=p px y 的顶坐标原点(0，0)。

(4)离心率和开口方向①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和质 类型 ()022>=p py x()022>-=p pyx图象类型()022>=p py x ()022>-=p py x性质 焦点 ⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p F准线2py -=2p y =范0,≥∈y R x 0,≤∈y R x 对y 轴顶()0,0O 离1=e 开向上 向下 典型例题分析题型1 抛物线的几何性质应用【例1】 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x相交的公共弦长等于32，求这条抛物线的方程。

解析 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于32，可知交点织坐标为3±。

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，ap 12=∴ ①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11,在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）． 典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可． 证明：如图所示，连结PA 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ．∴AN 也垂直平分PB ．则四边形PABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P点在F F '、11P P '上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m m nn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y kAB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴k k 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x则323211522<+-≤k 即3252<≤x ． 3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可． 解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ． 设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=． (2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ． )2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”． 综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值． 说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论； (2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦． 典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。