2019-2020学年(浙江专版)高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第七节 抛物线教案 文.doc

2019-2020学年（浙江专版）高考数学一轮复习（回扣主干知识+提升学科素养）第八章第七节抛物线教案文
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1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．
2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
3．理解数形结合思想．
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
(0,0)
1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？
提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p
2；若抛物线方程为x 2
＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p
2
.
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2
＝－4x
C ．y 2＝8x
D ．y 2
＝4x
解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2
＝8x .
2．抛物线y 2
＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B 因为抛物线y 2
＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.
3．抛物线y ＝2x 2
的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18
，而抛物线x
2
＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2
4
＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为
________________．
解析：由c 2
＝9－4＝5，得F (－5，0)，
则抛物线方程为y 2
＝－45x .
答案：y 2
＝－45x
5．设抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．
解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
4，1， ∴2p ×p
4＝1，解得p ＝ 2. ∴B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝32
4
. 答案：32
4
前沿热点(十二)
与抛物线有关的交汇问题
1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．
2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．
[典例] (2013·浙江高考) 已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0,1)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．
[解题指导] (1)由抛物线的顶点、焦点即可判断抛物线的形状、大小，从而可求抛物线方程．
(2)直线AB 与抛物线相交，可得出A ，B 两点坐标之间的关系，再由AO 、BO 与直线l 交于M ，N 两点，可求出|MN |的表达式，用k 来表示，利用函数即可求最值．
[解] (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2
＝2py (p >0)，则p
2
＝1，p ＝2，
所以抛物线C 的方程为x 2
＝4y .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
从而|x 1－x 2|＝4k 2
＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝y 1x 1
x ，
y ＝x －2，
解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－
x 214
＝8
4－x 1
. 同理点N 的横坐标x N ＝8
4－x 2.
所以|MN |＝2|x M －x N |
＝2⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪
⎪x 1－x 2x 1x 2－x 1＋x 2＋16
＝8 2 k 2
＋1|4k －3|
.
令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3
4
.
当t >0时， |MN |＝2 2 25
t
2
＋6
t
＋1>22；
当t <0时， |MN |＝2 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是8
5
2.
[名师点评] 解答本题的关键有以下几点：
(1)由顶点O (0,0)，焦点F (0,1)确定抛物线的开口方向及P 的值； (2)|MN |的表达式中，注意x 1＋x 2，x 1x 2及|x 1－x 2|的值； (3)注意4k －3＝t 的换元，使问题简单．
(2014·湖州模拟)已知抛物线C ：y 2
＝2px 的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．
解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，所以抛物线方程为y 2
＝8x .
(2)∵l 1：y ＝－x ，又直线l 2与l 1垂直，
所以可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴交点为M .
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x ，x ＝y ＋m 得y 2
－8y －8m ＝0，
Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.
由韦达定理，y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝
y 1y 2
2
64
＝m 2
.
由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2
－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，
故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝1
2·|FM |·|y 1－y 2|
＝3y 1＋y 2
2
－4y 1y 2＝24 5.。