高考数学一轮复习课时检测第八章第七节抛物线理

第七节抛物线[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.在同一坐标系下,下列曲线中,右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是()A. =1B. =1C. =1D. =11.D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),而A中椭圆的半焦距c=,B中椭圆的半焦距c==2,C中双曲线的半焦距c=,D中双曲线的半焦距c==1,且焦点在x轴上,满足题意.2C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=()A.1B.2C.3D.42.A【解析】∵x2=2y,∴y'=x,∵抛物线C在点B处的切线斜率为1,∴B,∵x2=2y的焦点F,准线方程为y=-,∴直线l的方程为y=,∴|AF|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()A.3B.C.6D.63.A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=±x所围成的三角形的面积等于×2×3=3.4y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C. +1 D. -14.C【解析】由题意可得=a2+b2,且在双曲线上,则=1,即=1, =1,化简得b2=2ac,则c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e>1,解得e=+1.5y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是()A.B.C.D.5.D【解析】∵|AF|==p,c=,∴=2c,又c>b,∴tan θ=>2,∴l的倾斜角所在的区间可能是.6,设抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B是C上两点,且AF⊥FB,弦AB的中点M在C的准线上的射影为M',则的最小值为()A.B.C.D.6.C【解析】如图所示,设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP,由抛物线定义得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MM'|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又∵ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2× (a+b)2,得|AB|≥ (a+b),∴,即的最小值为.二、填空题(每小题5分,共20分)7y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为6,则线段AB的中点到y轴的距离为.7.2【解析】由|AF|+|BF|=x A+x B+p=x A+x B+2=6,得x A+x B=4,则AB的中点横坐标为=2,即线段AB的中点到y轴的距离是2.8F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,当|AB|=6时,以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是.8.2【解析】过A,B两点和AB的中点D分别向抛物线的准线作垂线,由抛物线定义和梯形中位线知识可得圆心D到y轴的距离d=2,又圆的半径为3,所以以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2=2.9.若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2:x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3,则抛物线C2的方程为.9.x2=y 【解析】由点A到抛物线C1的焦点的距离为3,得x A+1=3,解得A点坐标为(2,2),代入x2=2py(p>0),得p=,所以抛物线C2的方程为x2=y.10F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=2,则弦AB的中点到准线的距离为.10.【解析】设||=2m,| |=m,m>0,由已知可得x A=2m-1,x B=m-1,则=2,解得m=.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为.三、解答题(共10分)11.(10分)如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1.(1)求证:M点的坐标为(1,0);(2)求证:OA⊥OB;(3)求△AOB的面积的最小值.11.【解析】(1)设M点的坐标为(x0,0),直线l的方程为x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0,①∵y1,y2是此方程的两根,∴y1y2=-x0,∴x0=-y1y2=1,即M点的坐标为(1,0).(2)∵y1y2=-1,∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,于是S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1,∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.[高考冲关]1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点A的坐标为()A.(0,±2)B.(0,2)C.(0,±4)D.(0,4)1.A【解析】由题意可得x B=,又点B到抛物线准线的距离为,所以,解得p=,抛物线方程为y2=2x,又因为x B=,所以y B=±1,y A=±2,故A(0,±2).2.(5分C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线y2=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A.B.1+C.1+D.2+2.B【解析】不妨设点A在第一象限,由F2恰为抛物线y2=4x的焦点,得双曲线的c=1,又△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则|AF2|=|F1F2|=2,点A也在抛物线上,由抛物线的定义可得A(1,2),F1(-1,0),则|AF1|=2,由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a=2-2,解得a=-1,所以离心率e==1+.3.(5分C1: =1(a>0,b>0)的左焦点F1作曲线C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长F1M交曲线C3:y2=2px(p>0)于点N,其中C1,C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为()A.B. -1 C. +1 D.3.D【解析】设双曲线的右焦点为F2,则F2的坐标为(c,0).因为曲线C1与C3有一个共同的焦点,所以y2=4cx,因为O为F1F2的中点,M为F1N的中点,所以OM为△NF1F2的中位线,所以OM ∥NF2,因为|OM|=a,所以|NF2|=2a,又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.设N(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,则x=2a-c,过点F1作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为2a,由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e= (负值已舍).4.(5分A,B为抛物线C:y2=4x上的两个动点,且A,B位于x轴异侧,若=5,同时抛物线C的焦点F到直线AB的距离为2,则△AOB的面积为.4.20【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=,x2=,直线AB的斜率k AB==x1x2+y1y2= (y1y2)2+y1y2=5,由A,B位于x轴异侧,得y1y2=-20(舍去正数4),则直线AB的方程为y-y1= (x-x1),化简得y= (x-5),则直线AB恒过点(5,0),又由抛物线C的焦点F(1,0)到直线AB的距离为2,得AB的倾斜角为30°或150°,不妨设为30°,则,得y1+y2=4,则|y1-y2|==8,所以△AOB的面积为×5×8=20.5.(10分)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点Q在y轴上,且PQ⊥y轴,A(2,a),求PQ+PA 的最小值.5.【解析】点A(2,a)可能在抛物线内部,也可能在抛物线的外部,所以要讨论.①当|a|≤2时,点A(2,a)在抛物线内部,直接过点A向y轴作垂线,与抛物线的交点即为PQ+PA最小时的点P,此时(PQ+PA)min=2;②当|a|>2时,点A(2,a)在抛物线外部,由抛物线的定义知PQ=PF-1,得PQ+PA=PF+PA-1,则A,P,F三点共线时,PQ+PA取得最小值,即(PQ+PA)min=|AF|-1=-1.6.(10分C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标. 6.【解析】(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于点G,∴A(3,),F,|AF|=3+.当点D在焦点F的右侧时,如图所示.∴|FD|=|AF|=3+.∵△ADF为正三角形,∴|FG|=|FD|=.又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-,∴3-,∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当点D在焦点F的左侧时,|FD|=|AF|=3+,此时点D在x轴负半轴,不成立,应舍去.∴C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,∴D(x1+2,0),∴k AB=-.由直线l1∥l,可设直线l1的方程为y=-x+m,联立方程消去x得y1y2+8y-8m=0. ①由l1和C有且只有一个公共点,得Δ=64+32y1m=0,∴y1m=-2,这时方程①的解为y=2m,代入y=-x+m得x=m2,∴E(m2,2m).点A的坐标可化为,直线AE方程为y-2m= (x-m2),即y-2m= (x-m2),∴y=x-+2m,∴y=x-,∴y= (x-1),∴直线AE过定点(1,0).。

C. 3D. 42019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课时跟踪检1.抛物线y = 4ax 2(a ^ 0)的焦点坐标是以选C.答案:解析：由准线x = 1知，抛物线方程为2r Py =— 2px ( p >0)且2 = 1, p = 2,4•设F 为抛物线y 2= 2x 的焦点,A. 1A (0, a ) B. (a,0) C. 0,116aD. 1 16a ，0解析: 将y = 4ax 2(a ^ 0)化为标准方程得£y(a z 0)，所以焦点坐标为 0, £，所2•以 x =1为准线的抛物线的标准方程为A. y 2= 2x C. y 2= 4xB. D. )y 2= —2x 2•••抛物线的方程为 y 2=— 4x , 故选D. 答案：D3.已知点 A — 2,3)在抛物线 C y 2= 2px (p >0)的准线上，记 C 的焦点为F ,则直线 AF的斜率为()4 A•一 3B.C •- 4D.解析：由已知，得准线方程为x = — 2，所以 F 的坐标为(2,0) •又A — 2,3)，所以直线1 1解析：依题意，设点 A (x i , y i ), B (X 2, y 2), C (X 3, y 3),又焦点 F -, 0 , X i + X 2+ X 3= 3X -11 1 3 3 3Xi+ 2 + X2+ 2 + X3 + 2 = (X 1 + X 2 + X 3)+ - = 2+~2 = 3.答案：C5•已知P 为抛物线y = 1X 2上的动点，点P 在X 轴上的射影为点 M 点A 的坐标是6,耳,则 |PF =|PH , I PM = |PF - 2, |PM + |PA = |PF + I PA -I ,即求| PF +1 PA 的最小值. 因为 | PF + | PA >1 FA | ,n 17 12 又 |FA = AJ 6+ 2 - 2 = 10.B. 4C. 3D. 2解析：设 A (X 1, yj , B (X 2, y 2),由题意知AB 所在的直线方程为 y = ^3 X - 2 ,I 19 所以|PM + |PA > 10-2= 2，故选 B . 答案：B6.已知过抛物线y 2= 2px ( p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线I 与抛物线在第一、四19B. ~2 D.21~211 F 0, 2，准线方程为y =-2，则| PA + | PM 的最小值是(A. 8C. 10解析：依题意可知焦点延长PM 交准线于点 代图略)•3 2,则 I F A | + | F E | + |F q = 象限分别交于 A, B 两点，则罟的值为( A. 5 2y = 2px ,联立 py = .3 X—2 , 2得X 2-53P X + 4 = 0,3 p所以X1=3P, P 所以的2p+ 2 3 X26，所以| BF p p2 +6答案：C7. （xx届豫南九校联考）已知点P是抛物线x2= 4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q点A的坐标是（8,7），则| PA + | PQ的最小值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10解析：抛物线的焦点为F（0,1），准线方程为y = - 1,延长PQ交准线于M如图所示, 根据抛物线的定义知，| PF = I PM = I PQ + 1.所以| PA +1 PQ = | PA +1 PM —1T PA + I PF —1》丨AF— 1 = __7—1 __2—1 = 10- 1 = 9.答案：C&已知抛物线y2= 4x，圆F: （x —1）2+ y2= 1,过点F作直线I，自上而下顺次与上述两曲线交于点A, B, C, D（如图所示），则下列关于| AB •I CD的值的说法中，正确的是（）B. 等于4C. 最小值是1D.最大值是4解析：设直线l : x = ty +1，代入抛物线方程，得y2—4ty —4= 0.设A（X1, y" , C （X2,y2），根据抛物线的定义知，| AF =刘+1, | DF = X2+ 1，故|AB = X1,|CD = X2，所以| AB •丨CD216而yy = —4，故| AB「CD = 1.A.等于1=X1X2 =答案：A9. _____________________________________________________________ 抛物线y = —x2上的点到直线4x+ 3y —8= 0距离的最小值是______________________________解析：解法一：如图，设与直线4x+ 3y —8= o平行且与抛物线y= —x相切的直线为4 4 2 =o，贝U △= 16+ 12b= o，解得b=—3,所以切线方程为4x+ 3y—- = o,抛物线y=—x3 38 4—■— 82 2 43 3 4以m=R即切点T-,—，点T到直线4x+ 3y —8= o的距离d=-------------------- =，由图知3 3 9 ，^16+ 9 32 4抛物线y = —x2上的点到直线4x+ 3y —8= o距离的最小值是孑3答案：410. 若点P在抛物线y2= x上，点Q在圆(x —3)2+ y2= 1上，则| PQ的最小值为解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，半径为1,则| PQ >1 PAA—| AQ = | PA —1,当且仅当P, Q A三点共线时取等号，所以当| PA取得最小值时，| PQ最小.设P(x o, y o)，贝U y0= x o, | PA = .； x o — 3 2+ y0= x2—6x0 + 9+ x o= x o当且仅当x o= 5时，| PA取得最小值二丫，此时I PQ取得最小值石1.答案：专—1211. 已知抛物线y= 2px(p>0)的焦点为F, A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方4x+ 3y + b= o,切线方程与抛物线方程联立得2y= —x ,4x+ 3y + b= o,消去y整理得3x2—4x —b114+25 243.上的点到直线4x + 3y —8= o距离的最小值是这两条平行线间的距离=—x2相切的直线与抛物线的切点是T(m —m)，则切线斜率k= y'|=m= —2m= —£所的点，A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B, 0B的中点为M(1) 求抛物线的方程；(2) 若过M作MN L FA,垂足为N,求点N的坐标. 解：⑴抛物线y2= 2px的准线为x = - 2,于是4+券5,所以p= 2.所以抛物线方程为y2= 4x.(2)因为点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4) , M0,2).4又因为F(1,0)，所以k FA= 3,3因为MN L FA,所以k MN=—.44所以FA的方程为y = 3(x—1)，①3MN的方程为y —2=—4X,②8 4联立①②，解得x= , y=5 5一8 4所以N的坐标为5，5 .12. 已知过抛物线y2= 2px( p>0)的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于A(X1, yj , B(X2,y2)( X1<X2)两点，且| AB = 9.(1) 求该抛物线的方程；(2) O为坐标原点，C为抛物线上一点，若5C=OA F入6B求入的值.解：(1)由题意得直线AB的方程为y= 2谑x —| ,与y2= 2px联立，消去y 有4x2—5px+ p2= 0,所以X1 + X2= 严.4由抛物线定义得| AE| = X1 + X2+ p = -4 + p = 9,所以p= 4,从而该抛物线的方程为y2= 8x.2 2(2)由(1)得4x —5px+ p = 0,2即x —5X+ 4 = 0,则X i= 1, X2 = 4,于是y i= — 2 .2, y2= 4 '2,从而A(1 , — 2 ⑵,B(4,4 ⑵.设C(X3, y,则0(= (X3, y3)= (1 , —2 ：2) + 入(4,4 ⑵=(4 入+ 1, 4 ： 2 入一2 ：2).又y3= 8X3，所以［2 :'2(2 入—1)］2= 8(4 入+ 1),2整理得(2入一1) = 4入+ 1,解得入=0或入=2.故入的值为0或2.［能力提升］1. 如图，由部分抛物线：y2= m灶1(m>0, X>0)和半圆X2+ y2= r2(X<0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C，若“黄金抛物线C'经过点(3,2)和—2, ¥•J弋cl2 设R0,1)和Q0 1)，过点P作直线I与“黄金抛物线C'相交于A, P, B三点,问是否存在这样的直线l，使得QP平分/ AQB若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：(1) 黄金抛物线C'过点(3,2)和—1^23,••• r2= —1 2+ 3 2= 1,4 = 3耐1,2 2•m= 1.•“黄金抛物线C'的方程为y2= x+ 1(X>0)和X2+ y2= 1(x w0).k• I k BQ =. 1 — 2ky = kx +1, 联立2 2消去y ,x + y = 1,得(k 2+ 1)x 2+ 2kx = 0,22k 1 — kX A=—-, y A =-,k + 1' ' k +1，22k 1 — k1即 A - FT?，吋，.kAQ =- k .■/ QP 平分/ AQB 「. k AQ + k BQ = 0, k 1 .1- 2k ― k = 0， 解得 k =- 1±2,由图形可得k =- 1 - ■ 2应舍去， .k = 2 - 1 ,•••存在直线I : y = ( 2- 1)x + 1,使得QF 平分/ AQB22. (xx 届湖南六校联考)已知抛物线的方程为 x = 2py (p >0)，其焦点为F ,点O 为坐标 原点，过焦点F 作斜率为k (k 工0)的直线与抛物线交于 A B 两点，过 A B 两点分别作抛物 线的两条切线，设两条切线交于点 M(1) 求OA- O B32(2) 设直线MF 与抛物线交于 C, D 两点，且四边形 ACBD 勺面积为—p 2，求直线 AB 的斜3 率k .p解：(1)设直线 AB 的方程为 y = kx + ^, A (X 1, y" , B (X 2, y 2),2x = 2py , 由 p y = kx + ^, X 1 + X 2= 2pk ,则2X 1 • X 2=— p ,所以6A OB = X 1 • X 2 + y 1 • y 2=- 3p 2.⑵由 x 2 = 2py ，知 y '= p ,1 - 2k 1 — k得 x 2-2pkx - p 2= 0,k ，pX i X2所以抛物线在A B两点处的切线的斜率分别为一，一，p pX i X2所以直线AM的方程为y—y i = — (x —X i)，直线BM的方程为y—y2= —(x—X2)，则可得P PMpk, —2 .1所以k M= —所以直线MF与AB相互垂直.由弦长公式知，|AB = k2+ 1| X i —X2| = k2+1 • 4p2k2+ 4p2= 2p(k2+1),1 1用—k代替k得，| CD = 2p尸+ 1 ,1 2 2 1 32 2 2 21四边形ABCD勺面积S= - •I AB •丨CD = 2p 2 + k + —2= p ,解得k = 3 或k =-,即k2 k3 3=± 或k =±2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.8曲线与方程课时跟［课时跟踪检测］［基础达标］1. 已知M —2,0) , N2,0) , I PM—|PN = 4，则动点P 的轨迹是()A. 双曲线B.双曲线左支C. 一条射线D.双曲线右支解析：根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线，但不满足2c>2a>0的条件，故动点P的轨迹是一条射线.答案：C2. 方程x= 1 —4y2所表示的曲线是()A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.圆的一部分D.直线的一部分解析：x = 1 —4y2两边平方，可变为x2+ 4y2= 1(x>0)，表示的曲线为椭圆的一部分. 答案：B .. 2 2 ..3. 设点A为圆(x—1) + y = 1上的动点，PA是圆的切线，且|PA = 1,则P点的轨迹方程为()解析：如图，设 Rx , y )，圆心为M 1,0) •连接MA PM 则MALPA 且I MA = 1,又因为I PA = 1,所以 | PM = ；l MA2+ | PA 2 = ,2 即 I PM 2= 2，所以(x — 1)2+ y 2= 2.答案：D 4. 已知A — 1,0) , B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N,若論社入XN-血当入<0时，动点M 的轨迹为()A. B. C. D. y 2= 2x(x — 1)2+ y 2= 4 2y = — 2x,八 2 2 (x — 1) + y =2A.圆B. 椭圆C.双曲线D. 抛物线解析：设M x , y )，则N ( x, 0)，所以 Mt N= y 2,入 XN- N B= X (x + 1,0) - (1 — x, 0) = X (1—x 2)，所以 y 2 =入(1 — x 2)，即 2x 2+ V = 1.又因为X <0,所以动点 M 的轨迹为双曲线. X答案：C5.已知F i , F 2分别为椭圆2C: -4 + £ = 1的左、右焦点，点 P 为椭圆C 上的动点，则△PFF 的重心G 的轨迹方程为(2 2x y A 36+茅 w 0)4x 22B . y + y = 1(y z 0)C.9^ + 3y 2= 1(y 丰 0)D. x 2+ 给 1(y 丰0)解析：依题意知F i ( — 1,0) ,F 2(1,0)，设P (x o , y o ) , Qx , y )，则由三角形重心坐标关X 0— 1+ 1x =3 ,系可得y 0y =3,答案：C 6. 方程(x 2+ y 2— 2x ) x + y -3 = 0表示的曲线是()A. —个圆和一条直线B. —个圆和一条射线C. 一个圆D. —条直线解析：依题意，题中的方程等价于x + y — 3> 0,①x + y — 3 = 0或② 22x + y — 2x = 0.注意到圆x 2+ y 2— 2x = 0上的点均位于直线 x + y — 3= 0的左下方区域，即圆x 2 + y 2— 2x =0上的点均不满足 x + y — 3>0,即②不表示任意图形， 因此题中的方程表示的曲线是直线x + y — 3= 0.答案：D17.已知A —5,0) , B (5,0)，动点P 满足, 2l P A ，8成等差数列，则点 P 的轨迹方程为解析：由已知得|PA — |P B = 8<10= |AB ,所以点P 的轨迹是以A , B 为焦点的双曲线的右支， 且 a = 4, b = 3, c = 5,2 2所以点P 的轨迹方程为1"6— 9 = 1( x >4).2 2x y答案：16— 9 = 1( X 》4)&已知M — 2,0) , N2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是解析：设P (x , y ),因为△ MPt 为直角三角形， 所以 |MP 2+ |NP 2=|MN 2,所以(x + 2)2 + y 2 + (x — 2)2 + y 2 = 16, 整理得x 2+ y 2= 4.x o = 3x , 即y o = 3y ,x o y o代入4+3=1得重心G 的轨迹方程为9X + 3y 2= 1( y M 0).因为M, N, P不共线，所以X M土2,所以点P 的轨迹方程为x 2+ y 2= 4(X M 土 2). 答案：x 2+ y 2= 4（ x 工土 2）椭圆截得的弦长为—^.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若动直线I 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点 M 1,0)作I 的垂线，垂足为 Q 求点Q 的轨迹方程.解：(1)因为椭圆E 的离心率为¥， 所以手=¥，2 222x y解得a = 2b ，故椭圆E 的方程可设为 石+ b 2= 1,则椭圆E 的左焦点坐标为(一b, 0),过左焦点且倾斜角为 45°的直线方程为I '： y = x + b . 设直线I '与椭圆E 的交点为A, B,2 2x , y _ .由石*产， 消去y ,y = x + b2得 3x + 4bx = 0, 4b解得 X 1 = 0, X 2=— 3.因为 |AB = , 1 + 12|X 1 — X 2| = ^-3^^= ^3^, 解得b = 1.2X 2故椭圆E 的方程为-+ y 2= 1.(2)①当切线I 的斜率存在且不为 0时，设I 的方程为y = kx + m 联立直线I 和椭圆E的方程,y = kx + m2 2 2得(2 k + 1)x + 4km 灶 2m — 2= 0. 因为直线I 和椭圆E 有且只有一个交点,9.已知椭圆=1( a >b >0)的离心率为 过左焦点且倾斜角为 45°的直线被得X 2 22 + y = 1,消去y 并整理,所以△= 16k 2m i - 4(2 k 2+ 1)(2 rm- 2) = 0, 化简并整理，得2k 2+1. 因为直线MQ 与 l 垂直，⑴求曲线r 的方程;解：(1)圆A 的圆心为A — 1,0)，半径等于2 2. 由已知|MB =|MP ,于是 | MA + | MB =| MA + | MP = 2讨'2>2 = | AE | , 故曲线r 是以A , B 为焦点，以2 2为长轴长的椭圆, 即 a = 2, c = 1, b = 1,2x 2所以曲线r 的方程为-+ y = 1.⑵ 由 cos / BA =乎，|AP = 2 .2,得 P |,号于是直线AP 的方程为y^(x +1).x2 + y 2= i ,1所以直线MQ 勺方程为y =—厂 x -1).1 y= 一 厂 X -1,联立方程组ky = kx + m1 - km x =2 , 1 + k '解得 ,k + m2 . 2.2 2.2 2 ▲221 - km + k + m k m + k + m + 1所以 x + y =1 + k2 21 + k2 2▲ 2 ▲ 2 ▲k + 1 m + 1 m + 1 1 + k 2 2 = 1 + k 2,把2k 2+ 1代入上式得X 2+ y 2= 2.(*) ②当切线I 的斜率为0时,此时 Q 1,1)或 Q 1 , - 1)，符合(*) 式. ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q 返,0)或Q -亚 0)，符合(*)式.综上所述，点 Q 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 2. P 为圆A ： (x + 1)2+ y 2= 8上的动点，点 B (1,0).线段PB 的10. (xx 届唐山模拟)已知垂直平分线与半径 PA 相交于点 M 记点M 的轨迹为r .⑵当点P 在第一象限，且，求点M 的坐标.cos / BAP=2y -4227整理得 5x + 2x - 7= 0，解得 X 1= 1 , X 2=—匸.5由于点M 在线段AP 上， 所以点M 坐标为1，丄.2［能力提升］11.已知正方体 ABC — ABCD 的棱长为1，点 M 在AB 上，且 AM= 3,点P 在平面 ABCD 3 内，且动点P 到直线AD 的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解析：如图，过点 P 在平面 ABCD 内作PF 丄AD 垂足为F ,过点F 在平面 AADD 内作FE 丄AD ,垂足为E ,连接PE 则有PE 丄AD ,即卩PE 为点P 到AD 的距离.由题意知| PE 2-|PM 2 = 1,._ 2 2 2 2 2 2又因为 | PE = | PF + I EF ，所以 | PF +1 EF -1 PM = 1, 即|PF 2= | PM 2,即 |PF = |PM ,所以点P 到点M 的距离等于点 P 到直线AD 的距离.由抛物线的定义知点 P 的轨迹是以点 M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点 P 的轨迹 为抛物线.答案：D2. (xx 届郑州质检)已知动点P 到定点F (1,0)和到直线x = 2的距离之比为,设动点P 的轨迹为曲线 E ,过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线 E 相交于A 、B 两点，直线l : y = mx+ n 与曲线E 交于C D 两点，与线段 AB 相交于一点(与A B 不重合).(1) 求曲线E 的方程；(2) 当直线I 与圆x 2 + y 2= 1相切时，四边形 ACBD 勺面积是否有最大值？若有，求出其 最大值及对应的直线I 的方程；若没有，请说明理由.解：(1)设点P (x , y )，由题意可得,寸 x — 12+ y 2 =犬1^—2 =兀，2X 2整理可得-+ y 2= 1.2X 2所以曲线E 的方程是-+ y 2= 1.⑵设 C (X 1, y 1), D (X 2, y 2)，由已知可得 |AB =2.不合题意.—2口时x1= ~2m i +1 ~，X 2 = —2m i + 1 —，时等号成立，所以四边形 ACBD 勺面积的最大值为冷,此时n =± #,经检验可知，直线 y = #x —弓6和直线y =—三^+三6符合题意.3 一 0 3AF 的斜率为k =七牛=—3—2— 2 4当m = 0时, 当m 产0时, 由直线 I 与圆x 2+ y 2= 1相切, 可得—I l 1=1,2 2m +1 = n •y = m 好 n ,联立參y 2= 1消去y 得m +12 2x + 2mnx^ n — 1 =2 2 2 , 1△ = 4mn — 4 m +2 2(n — 1) = —2mn-△°1 * 2i mS 四边形 ACB= 2|A B I X2— X1i =硏 1 12|m+nm三¥，当且仅当2|n| =盒，即m =±¥答案：CA B C为抛物线上三点，若F ABC的重心，则I FA +1 F B| +1 F C 的值为()B. 2(1) 求“黄金抛物线C'的方程；(2)假设存在这样的直线I，使得QP平分/ AQB显然直线I的斜率存在且不为0,y = kx+ 1,设直线l : y = kx+ 1( k丰0)，联立2消去y,y = X +1,得k2x2+ (2k —1)X = 0,1—2k 1—k•XB=-k^, y B=,。

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 8.7抛物线课时跟踪训练文一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：y 2＝8x 的焦点到准线的距离为p ＝4，选C. 答案：C2．(2015·宁波质检)已知抛物线y 2＝－8x 的焦点与双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点重合，则双曲线的离心率为( )A.233 B.255 C.305D.52解析：因为抛物线y 2＝－8x 的焦点为(－2,0)，双曲线的左焦点为(－a 2＋1，0)，所以a 2＝3，双曲线的离心率为e ＝23＝233.答案：A3．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，得y 22－ky －12＝0， y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝ y 1y 2 24＋y 1y 2＝14－1＝－34.故选B.答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C.答案：C5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与该抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：抛物线的准线方程为x ＝－1，∴|AF |＝x 1＋1， |BF |＝x 2＋1，∴y 21＋y 22＝4x 1＋4x 2＝4(|AF |＋|BF |)－8＝4|AB |－8. ∵|AB |的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得)， ∴y 21＋y 22的最小值为8. 答案：B6．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°， ∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形． 由|HF |＝4得|AF |＝8， ∴|PF |＝8.故选B. 答案：B 二、填空题7．(2014·河北唐山一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝__________.解析：∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F (1,0)． 又A 到抛物线准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3. ∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13.∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.答案：1638．(2015·山东济南期末考试)已知定点Q (2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ |＋|PF |取最小值时，P 的坐标为__________．解析：设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要使|PQ |＋|PF |取得最小值，即需D ，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF |最小．将Q (2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为14，－1.答案：14，－19．(2015·衡水月考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝__________.解析：经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F 0，p2，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．y ′＝1p x ，由题意知在Mx 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，点F 0，p 2，F 2(2,0)，M 33p ，p 6共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p －0，即p ＝433.答案：433三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为(85，45)．11．以抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 为圆心的圆，交C 的准线l 于P ，Q 两点，与C 在第一象限内的交点为M ，且Q ，F ，M 三点共线．(1)求直线QM 的斜率；(2)若△MPQ 的面积为83，求圆F 的方程．解：(1)如题图，设M y 202p ，y 0，由题意知F p 2，0，因为Q ，F ，M 三点共线，所以点Q ，M关于点F 对称，可得Qp －y 202p ，－y 0，因为点Q 在准线l 上，所以p －y 202p ＝－p 2，即y 20＝3p 2.所以M 3p 2，3p ，Q －p2，－3p ，所以直线QM 的斜率为3p － －3p3p 2－－p 2＝ 3.(2)由(1)知∠QFO ＝60°，所以|QF |＝2p ，|QP |＝23p ，因为点M 到直线l 的距离与|MF |相等，又|MF |＝|QF |，所以|MF |＝2p ，S △MPQ ＝12×2p ×23p ＝23p 2＝83，故p ＝2，所以圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝16.12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .求证：直线AB 过定点(0,4)．解：证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0. ∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．。

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·郑州第三次质量预测)抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A ．6B ．6 3C ．9D ．9 3解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线方程为y＝±3x ，故所围成的三角形面积为S ＝3·3×3＝9 3.答案：D2．(2013·北京东城综合练习(二))过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.答案：D3．(2013·北京西城区高三二模)已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 答案：B4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C5．(2013·福建质检)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝6 答案：C6．(2014·广州中山一中七校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案：C 二、填空题7．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB|＝1，即2p＝1，∴y2＝x.答案：y2＝x8．(2013·汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x2＝2py，过(2，－2)点得p＝－1，∴x2＝－2y，水面下降2米得y＝－4，解得x＝±22，∴水面宽4 2.答案：4 29．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．(2013·石家庄质检(二))已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离． 所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。

第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。

第七节 抛物线课时作业 A 组——根底对点练1．(2022·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．(2022·辽宁五校联考)AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，那么AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C.32D ．52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3．(2022·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，假设F 为△ABC 的重心，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4．直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，假设2FM →＝MN →，那么实数k 等于( ) A ．±33B ．±1C ．± 3D ．±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，那么tan ∠M ′MN ＝±3，∴直线l 的斜率k ＝±3，应选C. 答案：C5．P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D ．17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6．(2022·沈阳质量监测)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，那么x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.答案：437．(2022·云南检测)抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为__________．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，那么|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x9．抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)假设直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋－m2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋32·43p2＋4×4p 2＝16p ，因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2022·合肥质检)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)假设A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54. (2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．那么OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p)．由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22x 22－x 214p2＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组——能力提升练1．抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－3)．假设射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，那么点M 的纵坐标为( )A ．－13B ．－33C ．－23D ．－233解析：依题意，F 点的坐标为(m4，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝3∶1，k FD ＝3，k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ，所以43m＝3，解得m ＝4，所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x＝3(舍去)或x ＝13，所以y 2＝43，y ＝－233或y ＝233(舍去)，故点M 的坐标为(13，－233)，应选D. 答案：D2．(2022·石家庄质检)圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，那么抛物线C 2的方程为( ) A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x解析：由题意，知直线AB 必过原点，那么设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝ 22－4552＝255，解得k ＝2(k ＝－2舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x 2＋y －22＝4，可取A (0,0)，B (85，165)，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ，应选C.答案：C3．点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.352－1B ．332－1C ．23－1D ．10－1解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12，4)，那么|PA |2＝(y2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654，那么t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，那么m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点，所以|PA |2＝t 的最小值为454，所以|PA |的最小值为352，所以|PQ |的最小值为352－1，应选A.答案：A4．(2022·山西八校联考)抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，假设|FB |＝2|FA |，那么AB 的长度为________．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，那么AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，那么Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，那么A (12，2)，∴k ＝2－012－－1＝223.∴x 1＋x 2＝52，|AB |＝ 1＋89[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝172. 答案：1725．(2022·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点A ，直线FA 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ，FA 交C 的准线于点B ，那么|FA ||BA |等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k32pk，y ＝32pk .由y ＝k x，得y ′＝－k x2，所以k FA ＝32pk k32pk－p2＝－k k 234p 2k2，化简得k ＝p 242， 所以x ＝k32pk＝p4， |FA ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p4p 4－－p 2＝13. 答案：136．(2022·唐山统考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，那么x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，那么|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.7．如图，由局部抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C 〞，假设“黄金抛物线C 〞经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C 〞的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C 〞相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C 〞过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C 〞的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k2，y B ＝1－k k ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ＝k 1－2k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1， ∴k AQ ＝－1k，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1， 使得QP 平分∠AQB .。

(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离 是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)122.(2012·深圳模拟)顶点在原点，准线方程为y －3＝0的抛物线焦点坐标 为( )(A)(0,3) (B)(0，－3) (C)(3,0) (D)(－3,0)3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线共 有( )(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条4.(2012·佛山模拟)已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，则C 2的准线方程是( )(A)x ＝18 (B)x ＝－18(C)x ＝12 (D) x ＝－125.(2012·广州模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK 的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)326.已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) (A)x ＝1 (B)x ＝－1 (C)x ＝2 (D)x ＝－2二、填空题(每小题6分，共18分)7.抛物线y ＝116x 2的焦点与双曲线y 23－x2m＝1的上焦点重合，则m ＝ .8.过抛物线y ＝8x 2的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则线段AB 的长为 .9.(易错题)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 为该抛物线上两点，若FA ＋2FB ＝0，则|FA |＋2|FB |＝ .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011·江西高考)已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) (x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值. 11.(预测题)如图，已知抛物线C 1：x 2＝2py(p>0)与圆C 2：x 2＋y 2＝169交于M 、N 两点，且∠MON ＝120°. (1)求抛物线C 1的方程； (2)设直线l 与圆C 2相切.①若直线l 与抛物线C 1也相切，求直线l 的方程.②若直线l 与抛物线C 1交于不同的A 、B 两点，求OA ·OB 的取值范围.【探究创新】(16分)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B.某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想： (1)直线PA 、PB 恒垂直； (2)直线AB 恒过焦点F ；(3)等式FA ·FB ＝λ2FP 中的λ恒为常数. 现请你一一进行论证.答案解析1.【解析】选B.∵点P 到y 轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q ，则|PQ|等于点P 到焦点的距离，而|PQ|＝6，所以点P 到该抛物线焦点的距离为6. 【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.2.【解析】选B.准线方程为y ＝3，焦点在y 轴负半轴上，标准方程为x 2＝－12y ，故焦点坐标为(0，－3).3. 【解析】选C.作出图形，可知点(0,1)在抛物线y 2＝4x 外.因此，过该点可作抛物线y2＝4x 的切线有两条，还能作一条与抛物线y 2＝4x 的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.4.【解析】选A.抛物线C 2的方程为－x ＝2y 2，即y 2＝－12x.故2p ＝12，∴p ＝14，p 2＝18.故准线方程为x ＝18.5.【解析】选B.∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F(2,0)，准线为x ＝－2， ∴K(－2,0)，设A(x 0，y 0)，过A 点向准线作垂线AB ，则B(－2，y 0)，∵|AK|＝2|AF|，又|AF|＝|AB|＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得A(2，±4)， ∴△AFK 的面积为12|KF|·|y 0|＝12×4×4＝8.6.【解析】选B.方法一：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意知直线AB 的方程为：y ＝x －p 2，与y 2＝2px 联立得：y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，由题意知：y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1，故选B. 方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意得y 1＋y 2＝4，y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 两式相减得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，同时，要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)中，以P(x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0.(3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)中，以P(x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0.(4)在抛物线y 2＝2px(p>0)中，以P(x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.7.【解析】因为抛物线y ＝116x 2的标准方程为x 2＝16y ，焦点坐标为(0,4)，又因为双曲线y 23－x2m ＝1的上焦点坐标为(0，3＋m)，依题意有：4＝3＋m ，解得m ＝13. 答案：13【误区警示】本题易出现y ＝116x 2的焦点为(0，164)的错误，原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.8.【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4. 又∵y ＝8x 2即x 2＝18y ，∴2p ＝18，p ＝116，∴|AB|＝y 1＋y 2＋p ＝6516.答案：65169.【解题指南】先过A ，B 两点分别作准线的垂线，再过B 作AC 的垂线，垂足为E ，在直角三角形ABE 中，求得cos ∠BAE ＝AE AB ＝13，得出直线AB 的斜率，进而得到直线AB 的方程为：y ＝22(x －1)，将其代入抛物线的方程求得A ，B 的坐标，最后利用距离公式求得结果即可. 【解析】过A ，B 两点分别作准线的垂线，再过B 作AC 的垂线，垂足为E ， 设BF ＝m ，则BD ＝m ， ∵FA ＋2FB ＝0， ∴AC ＝AF ＝2m ，如图，在直角三角形ABE 中， AE ＝AC －BD ＝2m －m ＝m ， AB ＝3m ，∴cos ∠BAE ＝AE AB ＝13，∴直线AB 的斜率为：k ＝tan ∠BAE ＝22， ∴直线AB 的方程为：y ＝22(x －1)，将其代入抛物线的方程化简得：2x 2－5x ＋2＝0， ∴x 1＝2，x 2＝12∴A(2,22)，B(12，－2)，又F(1,0)，则|FA |＋2|FB |＝1＋8＋2(12)2＋2＝6. 答案：610.【解析】(1)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(p 2，0)，所以直线AB 过点(p 2，0)，斜率为22，所以直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与抛物线方程y 2＝2px 联立，消去y 得：4x2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线的定义得：|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9，解得p ＝4，因此抛物线方程为：y 2＝8x.(2)由p ＝4及4x 2－5px ＋p 2＝0得x 2－5x ＋4＝0，解得：x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)，设C(x 3，y 3)，则有OC ＝(x 3，y 3)，OA ＋λOB ＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)，又因为OC ＝OA ＋λOB ，所以(x 3，y 3)＝(1＋4λ，－22＋42λ)，即x 3＝1＋4λ，y 3＝－22＋42λ， 又因为y 23＝8x 3，即(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.【变式备选】动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域(含边界)上运动，且到点F(0,1)和直线l 的距离之和为4. (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点Q(0，－1)作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积. 【解析】(1)设P(x ，y)，根据题意， 得x 2＋(y －1)2＋3－y ＝4， 化简，得y ＝14x 2(y ≤3).(2)设过Q 的切线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0. 由Δ＝16k 2－16＝0.解得k ＝±1.于是所求切线方程为y ＝±x －1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐标为(2,1)，(－2,1). 由对称性知所求的区域的面积为 S ＝2∫20[14x 2－(x －1)]dx ＝43.11.【解析】(1)因为∠MON ＝120°，所以OM 与x 轴正半轴成30°角，所以点M 的坐标为(233，23)，代入抛物线方程得(233)2＝2p ×23，求得p ＝1， 所以抛物线C 1的方程为x 2＝2y.(2)由题意可设l ：y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0， 因为l 与圆C 2相切，所以|b|k 2＋1＝43， 即9b 2＝16(k 2＋1) (Ⅰ)①设直线l 与抛物线C 1：x 2＝2y 即y ＝12x 2相切于点T(t ，12t 2)，因为函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝t 12t 2＝kt ＋b (Ⅱ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得⎩⎨⎧t ＝22k ＝22b ＝－4或⎩⎨⎧t ＝－22k ＝－22b ＝－4所以直线l 的方程为y ＝－22x －4或y ＝22x －4，②由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y y ＝kx ＋b 得x 2－2kx －2b ＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2b ，且由Δ＝4k 2＋8b>0得k 2＋2b>0 (Ⅲ) 由(Ⅰ)、(Ⅲ)可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝916b 2－1≥0916b 2－1＋2b>0，解得b ≥43或b<－4，所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(x 1x 2)2＋x 1x 2＝b 2－2b ∈[－89，＋∞)，即OA ·OB 的取值范围是[－89，＋∞).【探究创新】【证明】(1)由x 2＝2y ，得y ＝x 22，对其求导，得y ′＝x ，设A(x 1，x 212)、B(x 2，x 222)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k PA ＝x 1，k PB ＝x 2， 由点斜式得直线PA 方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x 212①，同理，直线PB 方程为y ＝x 2x －x 222 ②，由①、②两式得点P 坐标为(x 1＋x 22，x 1x 22)，∵点P 在准线y ＝－12上，∴x 1x 22＝－12，即x 1x 2＝－1.∴k PA ·k PB ＝x 1x 2＝－1， ∴PA ⊥PB ，猜想(1)是正确的. (2)直线AB 的斜率k ＝x 222－x 212x 2－x 1＝x 1＋x 22，由点斜式得直线AB 方程为y －x 212＝x 1＋x 22(x －x 1)，将上式变形并注意到x 1x 2＝－1，得y ＝x 1＋x 22x ＋12，显然，直线AB 恒过焦点F(0，12)，猜想(2)是正确的.(3)当AB ∥x 轴时，根据抛物线的对称性知A(－1，12)、B(1，12)或A(1，12)、B(－1，12)，这时点P 坐标为(0，－12).FA ·FB ＝(－1,0)·(1,0)＝－1，FP ＝(0，－1)， 2FP ＝1，有λ＝－1.下面证FA ·FB ＝－2FP 必成立， ∵FA ＝(x 1，x 212)－(0，12)＝(x 1，x 21－12)，FB ＝(x 2，x 222)－(0，12)＝(x 2，x 22－12)，∴FA ·FB ＝x 1x 2＋14(x 21－1)(x 22－1)＝x 1x 2＋14(x 21x 22－x 21－x 22＋1)＝x 1x 2＋14[(x 1x 2)2＋2x 1x 2－(x 1＋x 2)2＋1]＝－1＋14[(－1)2＋2×(－1)－(x 1＋x 2)2＋1]＝－1－14(x 1＋x 2)2.又FP ＝(x 1＋x 22，x 1x 22)－(0，12)＝(x 1＋x 22，－12)－(0，12)＝(x 1＋x 22，－1)，∴2FP ＝14(x 1＋x 2)2＋1，故FA ·FB ＝－2FP ，λ恒为－1.猜想(3)也是正确的.【变式备选】已知抛物线y 2＝4x ，过点M(0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设MA ＝αAC ，MB ＝βBC ，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0) ，联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2y 2＝4x得：k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0①设A(x 1，y 1) ，B(x 2 ，y 2)，又C(－2k ，0)，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k2②|MA|·|MB|＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k2， 而|MC|2＝(1＋k 2|－2k －0|)2＝4(1＋k 2)k2， ∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0 ， 即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列. (2)由MA ＝αAC ，MB ＝βBC 得， (x 1，y 1－2)＝α(－x 1－2k ，－y 1)(x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)即得：α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k(x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4由(1)中②代入得α＋β＝－1， 故α＋β为定值且定值为－1.。

第七节 抛 物 线[全盘巩固]1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.3．(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y＝－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝15.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA uu u v ＋FB uu u v ＋FC uuuv ＝0，则|FA uu u v |＋|FB uu u v|＋|FC uuu v |＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)，由FA uu u v ＋FB uu u v ＋FC uuuv ＝0知，(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA uu u v |＋|FB uu u v |＋|FC uuu v |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C 设P (x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF |＝x 0＋2，所以x 0＝32，代入抛物线方程求得y 2＝24，解得|y |＝26，所以△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝12×2×26＝2 3.7．(2013·北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－18．(2014·丽水模拟)设Q 为圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上任意一点，抛物线y 2＝8x 的准线为l .若抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PQ |的最小值为________．解析：如图由抛物线定义可得，点P 到准线的距离等于其到焦点F 的距离，故问题转化为点P 到焦点的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P 为圆心C 和焦点F 的连线与抛物线的交点，Q 取CF 的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m ＋|PQ |≥|CF |－r ＝－3－22＋－4－02－2＝41－2.答案：41－2.9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.答案：4310．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若OA uu u v ·OB uuu v ＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54，①过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②解①②得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由题意知y 0＝y 1.由OA uu u v ·OB uuu v ＋p 2＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－8，③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4y 2x 0.④由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE u u u v ⊥AF u u u v ，动点P 满足EP uu u v∥OA uu u v ，FO uuu v ∥OP uuu v(其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM u u u u v ·AN u u uv <0，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，∵AE u u u v ·AF u u u v＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0， ∴y E ·y F ＝－4，①又EP uu u v＝(x ＋1，y －y E )，FO uuu v ＝(1，－y F )，且EP uu u v ∥OA uu uv ，FO uuu v ∥OP uuu v ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0， ∴y E ＝y ，y F ＝－y x ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，Δ＝42－32k >0，即k <12.令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM u u u u v ·AN u u uv ＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0，∴－12<k <0，故实数k 的取值范围为(－12,0)．12．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程； (2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．[冲击名校]已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，－2)． ∵OP ⊥OQ ，∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. 当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y x·－2x＝－1，化简得x 2＝2y ，∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)． (2)∵直线l 2与曲线C 相切， ∴直线l 2的斜率存在．设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0. ∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.点(0,2)到直线l 2的距离 d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1 ≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3.当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．此时b ＝－1.∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.[高频滚动]1．(2014·宜宾模拟)已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62 B.32C. 3 D ．2 解析：选A 由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝62. 2．(2014·上海模拟)已知双曲线x 26－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为________．解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝62，即|MF 1|＝62.又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝|MF 1|·|F 1F 2||MF 1|2＋|F 1F 2|2＝62×664＋36＝65. 答案：65。

第七节 抛物线[A 组 基础对点练]1．已知抛物线y 2＝18 x ，则它的准线方程为( )A ．y ＝－2B ．y ＝2C ．x ＝－132D ．x ＝132解析：因为抛物线y 2＝18 x ，所以p ＝116 ，p 2 ＝132 ，它的准线方程为x ＝－132 .答案：C2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14. 答案：D3．(2021·河南洛阳模拟)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2，2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，那么M ⎝⎛⎭⎫4－p 2，4 在抛物线上，即16＝2p ⎝⎛⎭⎫4－p2 ，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.答案：D4．过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92 x 或x 2＝43 yB ．y 2＝92 x 或x 2＝43 yC ．y 2＝92 x 或x 2＝－43 yD ．y 2＝－92 x 或x 2＝－43y解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92 ，m ＝43 ，∴y 2＝－92 x 或x 2＝43y .答案：A5．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点P (x 0，2 )到其焦点F 的距离是P 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：根据焦半径公式|PF |＝x 0＋p 2 ，所以x 0＋p 2 ＝3x 0，解得x 0＝p4 ，代入抛物线方程(2 )2＝2p ×p4，解得p ＝2.答案：D6．(2021·河北正定模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33 (x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3 (x －1)或y ＝－3 (x －1) D ．y ＝22 (x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA | ，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选项C 正确．答案：C7．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21 －y 2－x 22 ＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10。

1．抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质．知识点一 抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．[自测练习]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.答案：B知识点二 抛物线的标准方程与几何性质易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)1|F A |＋1|FB |＝2p. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[自测练习]2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( ) A ．y ＝4x 2 B ．y ＝8x 2 C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D.答案：D3．(2016·成都质检)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.答案：B4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p2＝3，p ＝6.答案：6考点一 抛物线的标准方程及几何性质|1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎫116a ，0 解析：抛物线方程化标准方程为x 2＝14a y ，焦点在y 轴上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116a . 答案：C2．(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y 2＝－x ；若焦点在y 轴上，设方程为x 2＝by ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二 抛物线的定义及应用|抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题． 探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题1．(2016·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.答案：5探究二 到准线与动点的距离之和最小问题2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )A.41 B ．7 C ．6D ．9解析：由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4， 圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离， 即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41.答案：A探究三 到两定直线距离之和最小问题3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.3716B.115 C ．3D ．2解析：直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D.答案：D探究四 到焦点与定点距离之和最小问题4．(2016·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)解析：本题考查抛物线的定义，过M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．答案：D求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三 直线与抛物线的位置关系|(2016·保定模拟)已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .(1)求证：AB →·CF →＝0； (2)求△ABC 的面积的最小值．[解] (1)证明：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴l AC ：y －14x 2A ＝12x A (x －x A )，l BC ：y －14x 2B ＝12x B (x －x B )，∴x C ＝2k ，y C ＝－1.①若k ≠0，则k CF ＝－1k ，∴k AB ·k CF ＝－1，∴AB →·CF →＝0.②若k ＝0，显然AB →·CF →＝0(或∵CF →＝(－2k,2)，AB →＝(x B －x A ，k (x B －x A ))， ∴AB →·CF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.(2)由(1)知，点C 到AB 的距离d ＝|CF |＝21＋k 2.∵|AB |＝|AF |＋|FB |＝y A ＋y B ＋2＝k (x A ＋x B )＋4＝4k 2＋4， ∴S ＝12|AB |d ＝4(k 2＋1)32，∴当k ＝0时，△ABC 的面积取最小值，为4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2015·高考四川卷)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5，所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.答案：D8.直线与圆锥曲线问题的答题模板【典例】 (13分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．[解题思路] (1)由抛物线的焦点坐标可求c ，又由两曲线的公共弦长为26得出a ，b 的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k 的方程．[规范解答] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1，①(2分)又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，由C 1的方程为x 2＝4y ，(4分) 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1，②(5分)联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(6分)(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③(8分)设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0， 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤(10分) 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，(12分)所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(13分)[模板形成]特定系数法求曲线方程↓联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程↓写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围或指出直线过曲线内一点；↓根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2或y 1y 2，y 1＋y 2的关系式，求得结果；↓反思回顾，查看有无忽略特殊情况.[跟踪练习] (2016·唐山模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)将(*)化为y 2－4my ＋8＝0.则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.A 组 考点能力演练1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2D.14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.答案：D2．(2016·襄阳调研)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.答案：B3．(2016·新余模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15解析：根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝12|y p |·|PM |＝12×4×5＝10，故选B.答案：B4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析：由题意得，直线l ：y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，得N ⎝⎛⎭⎫p 4，－22p ，∴|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，∴|MF |＝p ＋p 2＝32p ，∴|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.答案：C5．(2015·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.答案：D6．抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为________．解析：由抛物线y 2＝x ，得2p ＝1，∴p ＝12，抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为p ＝12. 答案：127．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：圆的圆心坐标为(1，－2)．设抛物线方程为y 2＝ax ，将圆心坐标代入得a ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x8．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x9.已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P在x轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程．解：(1)依题意得点P 的坐标为(－m,0)．∵以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，∴MP ⊥l .∴k MP ·k l ＝0－(－1)－m －2·1＝－1，解得m ＝－1. ∴点P 的坐标为(1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1m y ，y ＝－x －m ，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2， ∵直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切， ∴Δ＝0，解得m ＝±12. 当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ； 当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y . 10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON →＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为：x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp (my 1＋4)(my 2＋4)＝0. (2)设点P (x 0，y 0)，直线P A ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0， 同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0. 因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2. 16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝－2， 16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2， p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x .B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为x ＝－2①，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的半焦距c ＝2，又椭圆E 的离心率为12，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2,3)，所以|AB |＝6，选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1， ∴p 2＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B. 答案：B3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。