第九章简谐振动

0) 描述质点初始时刻的运动状态。（ 取 [ ]或[ 0 2 ]）
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
四、常数A和
的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0, x x0 , v v0
2 A x0

0.0707 m
9-2 旋转矢量
例2： 一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期 为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向Ox轴负方向运动（如 图）。试求（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力； （2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间。
解： （1） 由简谐运动方程

2
s 1 ) 2 (0.069 m ) 1.70 10 3 N
9-2 旋转矢量
（2）设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间 为t，把x=-0.04m 代入运动方程得。
0.04 m (0.08m ) cos[( s )t ] 2 3 1 arccos( ) 2 2 3 t s 0.667 s 3 2
9-2 旋转矢量
A （2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度： 2
x A cos(t ) A cos(t ) x 1 cos(t ) A 2 5 t 或 t 3 3 由旋转矢量图可知 t 3 v A sin t 0.26 m s 1
x
成正比，
而方向相反。人们把具有这种特征的振动叫做简谐运动。
d 2x 2 x 简谐运动的微分方程 2 dt 其解为 x A cos(t ) 简谐运动的运动方程

2
E p ( 0 . 48 0 . 36 ) J 0 . 12 J
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第九章 振 动 可利用机械能守恒定律求出简谐振动的运动学方程.
1 2 m( d x dt
2 2
)
1 2
kx
2

1 2
kA
2
dx A
2

2
k m
k m
dt
x
积分既得 令
k m
x A sin(
2
f max kA
1 2
k
f max A

1 2
f max A
24 0 . 04 J 0 . 48 J
(2) 取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60
Ek 1 2 kA
2
sin ( 0 t ) 0 . 48 (
2
3 / 2 ) J 0 . 36 J
2 2

1 2
kA
2
sin ( 0 t )
2
0
k /m
势能
Ep
1 2
kx
2

1 2
kA
2
cos
2
( 0 t )
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第九章 振 动 总能 E
E Ek Ep
1 2
kA
2
Ek
EP 1 k A2 E= 2
O x O
t
x = A cosω0 t t 动画演示
总机械能守恒，即总能量不随时间变化.
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第九章 振 动
结论
(1) 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.

生活中有哪些振动现象？
• • • • • • 钟摆的摆动 水上浮标的浮动 树梢在微风中的摇摆 担物行走时扁担的颤动 蒸汽机活塞的往复运动 音叉、锣、鼓、琴弦、声带等 一切发声物体的振物体所受回复 力等于零的位置；是振子静止时 所在位置；振子位移的起始位置. • 振子的位移:从平衡位置指向振 子所在位置的有向线段.
back
2、简谐运动
（1）定义:物体在跟位移大小成 正比，并且总是指向平衡位置 的回复力作用下的振动. （2）受力特征: F kx 其中k为一比例系数，不一定 就是弹簧的劲度系数，可用于 判断是否为简谐运动的依据.
3、简谐运动的特点：
（1）回复力与位移成正比而方向 相反，总是指向平衡位置. （2）简谐运动是一种理想化的运 动，振动过程中无阻力，所以 振动系统机械能守恒. （3）简谐运动是一种加速度大小 方向都周期性变化的非匀变速 运动.
第九章 机械振动
一、简谐运动
回顾
• 大小和方向都不变的恒力 匀变速运动 • 大小不变而方向变的变力 匀速圆周运动 • 大小和方向都改变的变力
？
一、机械振动
1. 定义：物体在平衡位置附近所 做的往复运动，叫做机械振动.
2. 生活中的振动现象 3. 特征：具有往复性
二、简谐运动
弹簧振子：不计 摩擦和弹簧质量， 这样的系统称为 弹簧振子.其中 的小球称为振子.
弹簧振子进行受力分析
F
N
G
O
F
N
F
G
影响振子运动的只 有弹簧的弹力，这 个力的方向跟振子 偏离平衡位置的位 移方向相反，总指 向平衡位置，它的 作用是使振子能返 回平衡位置，所以 叫回复力.
1、回复力
（1）定义： 使振动物体返回平衡 位置的力叫做回复力.回复力时 刻指向平衡位置. （2）理解：①按效果命名； ②是振动方向上的合外力； ③方向是变化的，总指向平衡位置.

准弹性力
系统本身决定的常数
动力学方程：
在水平方向上：
弹簧振子
F kx
由牛顿第二定律
d 2x kx m 2 dt
k 令 2 m
则有
d x 2 x 0 2 dt
二阶齐次常 微分方程
2
一般写成： 或：
x A sin t x A cost
振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性
振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
波动: 振动在空间的传播
振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动 电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性变化
简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动
9-1简谐振动
一、简谐振动的基本特征
弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性
解得
2 2 v v 2 A x0 02 x 2 2
的状态如何就决定了系 统未来的振 但计算A的大小时不一定非用初 始 条件，只要同时告诉某 时刻的x与
幅A的大小。所以A由初始条件决定。
相应的v，又知道，就可以求出A。
3、初相位
初相：
由 t = 0时
x0 A cos v0 A sin
(1)、相位 t 是确定振动状态的物理量
(2) ( t )与状态参量 x，v有一一对应的关系
x A cos(t ); v A sin(t )
当 t 例：

3
时：
A x , 2
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动