简谐振动的合成

最大或同时达到反向最小。速度方向相反。
* 两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到
最大或同时达到最小。速度方向相同。 18
半波损失：
当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射 时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。 反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面 上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。
5
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
式中x0是初始的位移，V0是初速度。
由此可得出：
A
x02
V02
2 0
tg0
V0
x0 0
6
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
φ值的取舍：
1.
x0 0, ;v0 0
(0, )
x2 (t ) Acos(2t )
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
拍频是振动 cos ( 2 即拍频为：
2
1
t
)的频率的两倍。
2
1
2
(2
1 )
2
2
1
12
行波方程
已知O点振动表达式： y A cos ( t 0 )
f mg
0
g l
T 2 2 l
0
g
8
复摆
m gh sin I
I 为m绕O点转动的转动惯量。
当 sin 时 mgh 0
I 复摆的角谐振动方程：
OC h
O
C
mg
d 2
dt 2
mgh
I
2 0
mgh I
T 2 I
mgh
9
简谐振动动能：E k
1 2
mV 2
1 2
k A2
k 0,1,2,3,... 相长干涉
程 差
r2
r1
(2k 1)
2
,
k 0,1,2,3,... 相消干涉 16
驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿X轴 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为：
y1 t 0
x
y1
Acos(t 2
x)
y2
Acos(t 2
x)
x0 y2 t 0
x
其合成波称为驻波其表达式：
Y
极小
X
极大
极大
极小
能流密度 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平
均能量。
I
1
A
2
2
u
2
平面波：
A1 A2
球面波：
y A cos (t r )
14
r
u
相干条件：
两波源具有相同的频率
S2
r2
具有恒定的相位差
p
振动方向相同
S1
（或称为具有相同的偏振面)
右行波波动方程：
y( x, t)
A cos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t) A cos[k( x ut) 0 ]
y u
px
Ox
左行波波动方程：
y( x, t )
A cos[ (t
x) u
0]
y u
p
x
y( x, t ) A cos[k( x ut ) 0 ] O x
13
波的能量
能量
2
2.
x0 0, ;v0 0
( , )
2
3.
x0 0,
;v0 0
( , 3 )
2
4. x0 0, ; v0 0 (3 , 2 ) 2
7
单摆
ml
2
d 2
dt 2
mgl sin
当 sin 时 g 0
l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率 、振 动的周期分别为：
x0
2
2
y y1 y2 Acos(t x) Acos(t x)
2Acos 2 x cos t
17
y 2Acos 2 x cost
波腹的位置为：
xk , 2
k 0,1,2,3,...
波节的位置为： x (2k 1) , k 0,1,2,3,...
4
驻波的相位
* 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向
r1
设有两个频率相同的波源 S1和 S2 其振动表达式为： y10 (S1, t) A1 cos(t 10 )
y20(S2, t) A2 cos(t 20 )
在 P 点的合成振动为：
y y1 y2 Acos(t ) 15
y y1 y2 Acos(t )
其中：
( 20
10 )
驻波
半波损失
简正模式
§7 多普勒效应
3
简谐振动的动力学方程
弹性力
mx kx
令k
m
2 0
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x
2 0
x
0
其解：x(t) Acos(0t 0 )
2
周期：
T
o
振动频率：
1 T
0 2
角频率（或圆频率）:
o
2
T
k m
4
由初始条件求解振动方程
求x A cos 0t 中A， 0，的 值
求0
1.找平衡位置; 2.偏离后求合力(力矩); 3.由力学规律列方程; 4.写为标准形式.
机械振动 和机械波
1
§1 简谐振动
简谐振动的动力学方程 单摆、复摆
振动的能量
§3 简谐振动的合成
同方向、同频率的简谐振动的合成
同方向、不同频率的简谐振动的合成
垂直方向、同频率简谐振动的合成
2
§4 机械波的形成和一般描述
§5 平面简谐波
行波方程：右行波和左行波
波的能量和能流密度
§6 波的干涉现象
波的干涉条件
简正模式
在绳长为 L 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件
L n n ,
2
n
n
u 2L
,
n 1,2,3,...
n 1,2,3,...
n
2L n
,
T
u
n 1,2,3,...
19
多普勒效应
当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的 频率为：
sin
2 (0t
0 )
简谐振动势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
k A2
cos2 (0t
0 );
Ek
Ep
A o
A
机械能守恒:
E 1 mv2 1 kx2＝ 1 kA2
2
2
2
E 1 kA2 2
10
同方向、同频率的简谐振动的合成
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
x(t) x1(t) x2 (t) Acos(t )
式中： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
仍然是同频率的简谐振动。
φ按照矢量法 取值
11
同方向、不同频率的简谐振动的合成
x1(t ) Acos(1t )
2
(r2
r1 )
A 2 A12 A22 2 A1 A2 cos
干涉相长的条件： 2k , k 0,1,2,3,...
干涉相消的条件：
( 20
10 )
2
(r2
r1 )
(2k
1)
,
k 0,1,2,3,...
称
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：
为 波
r2 r1 k,