简谐运动的合成

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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成

o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例有一单摆在空气（室温为 20C）中来回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.

简谐运动的合成

所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2

x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2

x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。
当与都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2

简谐运动的合成

x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章振动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍两个同方向同频率简谐运动合成后仍合成频率的简谐简谐运动为同频率的简谐运动
第九章振动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程）质点运动轨迹（椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2

13-4简谐运动的合成

1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos( t 1 )
y
y A2 cos( t 2 )
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1
y cos t cos 2 sin t sin 2 A2
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
x x1 x2 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t )
载频
1
O
A1
调制频率 2
A2
A2比 A1每多转一周
合振动出现一次最强
2π 2T 1T 2π 拍的周期 T 2 1 2 1 2 1 拍的频率(简称拍频)
x x1 x2
x2
2 1
A1
x A cos( t )
x1
x
x
x A cos( t )
2 2 1 2 2
A1 , A2 , A 一起以转动，
保持相对静止。
A2
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A
A1
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
2
x2

1
的具体象限要根据 1 , 2 确定。
x1
x
x
结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动,其合成运动仍为简谐运动.

Ch6-2 简谐运动的合成

A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
两个同方向同两个同方向同频率简谐运动合成率简谐运动合成后仍为简谐简谐运动后仍为简谐运动
大学物理电子教案
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± ± 1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L)
大学物理电子教案
x1 = A1 cos ω1t = A1 cos 2π ν 1t x2 = A2 cos ω 2t = A2 cos 2π ν 2t
讨论
x = x1 + x2
A1 = A2 , ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
方法一
x = x1 + x 2 = A1 cos 2π ν 1t + A2 cos 2π ν 2 t
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
大学物理电子教案
用旋转矢量描绘振动合成图
大学物理电子教案
两相互垂直同频率不同相位差
简谐运动的合成图
大学物理电子教案
五
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成李萨如图
讨论
2 1 2 2
x
o ϕ A
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ = ϕ 2 = ϕ1 + 2 k π

第三节简谐运动的合成

2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t

8-5简谐运动的合成

(1)相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
(2)相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第八章机械振5 动
8-5 简谐运动的合成
思考
例图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
arctan11rad
第八章机械振8 动

O A1
O
A2
A
T t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第八章机械振3 动
8-5 简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
第八章机械振2 动
8-5 简谐运动的合成
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) (1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
8-5 简谐运动的合成
两个同方向同频率简当 t 0时
谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
2 1
O x20

A1
x10
A x Acos(t )
两个同方向、同频率简谐运动的合振动仍是简谐运动，其频率与分振动
（A）3π / 2

简谐运动的合成与分解

五、谐振分析和频谱（自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则不变；若1 2 ,则变；

同方向不同频率简谐运动合成

三、振幅变化周期和位移时间曲线
因为余弦函数的绝对值以为周期, 所以
A 2A c1 os 2π源自2 1 t 22A1cos2π
2
2
1 t π
2A1cos 2π
2
1
2
t
1
2 1
即周期为 T 1
2 1
合振幅变化的频率即拍频为
1 T
2 1
四、形成拍的条件
同方向不同频率简谐运动的合成拍
二、振幅变化范围，拍
A
2A1cos 2π
2 1
2
t
当 21< < 2 1 时,, AA（（（（t））））————tt呈缓慢周
变化, 时大时小变化范围为期期性性呈呈缓缓慢慢周周期期性性呈缓慢周
0 A 2A1
所以合振动不再是简谐运动. 其振幅周期性变化的现象称为拍.
同方向不同频率简谐运动的合成拍
振动学基础
第7讲同方向不同频率简谐运动的合成拍
同方向不同频率简谐运动的合成拍
同方向不同频率简谐运动的合成拍
音叉演示拍现象
拍音是如何形成的?形成的条件是什么?
同方向不同频率简谐运动的合成拍
同方向不同频率简谐运动的合成拍
一、合振动的表达式
设 A1 A2，1 2 0
x1 A1cos1t A1cos2π1t x2 A2 cos2t A2cos2π2t
合振动的表达式为
x x1 x2 A1cos2π1t A2cos2π2t
2A1cos2π
2
1
2
tcos2π
2
1
2
t
同方向不同频率简谐运动的合成拍
x 2Ac1 os2π
2 1

大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成

A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学理学院物理系
大学物理第九单元振动
第三讲简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍合振动振幅随时间周期性加强与减弱的现
两个频率较大且相差极小的象同方向谐振动合成形成
东北大学理学院物理系
大学物理第九单元振动
第三讲简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1

A2 2

2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )

xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )

A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan

A1 sin1 A1 cos1

A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )

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振动和波振动和波
t
振动和波
上一页下一页结束
Oscillation
第四章
振动相位差 Fra bibliotek 2 1 振动和波
讨论：振动和波 (1） 2 1 2k k 0、 1、 2、 ..... Amax振动和波 A1 A2 两分振动步调一致，合成后振动最强。
上一页下一页结束
振动和波
Oscillation
x x x A cos( t ) 振动和波 A A A 2 A A cos( ) 振动和波
1 2
2 2 1 2 1 2 2 1
第四章
振动
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2 振动和波
2
4 2 1 2400 12 4 12 3 A1与A2夹角为 1200 且 A1 A2
振动和波 19 16
振动和波
A A1 A2 0.05m

3 4 12 振动和波

振动和波

又A1与A夹角为 3 23 或
Oscillation
第四章
振动
振动和波振动和波振动和波振动和波振动和波
振动和波
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第四章 Oscillation §9-5 同方向的简谐振动的合成振动和波
振动
5.1 同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与两个沿 x1 A1 cos( t 1 ) 同一直线的同频率的谐振动振动和波 x2 A2 cos( t 2 ) 取该直线为x轴，平衡位置为原点 A A2 振动和波从代数上（利用 A2 sin 2 A1 三角公式展开再 A1 si n 1 合并）和旋转矢振动和波 o A1 cos 1 A2 cos 2 x 量法均可得合振 A cos 动振动和波
A2
A
A1
2
A2 sin 2
振动和波
2
o
振动和波
上一页下一页结束
A1 cos 1 A cos

振动和波 A cos x
A1 si n 1
Oscillation
第四章
振动
结论：同方向、同频率两简谐振动的合成，振动和波合运动仍是同频率的简谐振动。
振动和波 x x
o
x1
x振动和波 2
上一页下一页结束
振动和波
x
Oscillation
第四章
振动
3. 应用： 1）制乐器，如双簧管振动和波 2）校准乐器，如钢琴 3）测量超声频率振动和波
4）用于汽车速度监视器 5）各种电子学测量仪器中
振动和波
振动和波振动和波
振动和波
上一页下一页结束
第四章 Oscillation § 9-6 相互垂直的简谐振动的合成振动和波 6.1 同频率

振动和波
2 质点沿逆时针方向运动振动和波
说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动或匀速圆周运动都可分解为两个相振动和波互垂直的简谐振动。
振动和波
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Oscillation
y Ay 振动和波
2” 1”
第四章
振动
y
2 O
y 振动和波 t
Oy
1
x

振动和波
1 2 1 2
Oscillation 2. 拍振动和波
第四章
振动
1
2
1
2
合振幅 2 A cos(
振动和波
2 1
振动和波 2
t)
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下一页
结束
Oscillation
第四章
2 1 2
振动
振动和波 2 A cos t 2 A cos( 2 振动和波 2
2 A cos(
1’ 2’ 振动和波
t
振动和波 O
振动和波
x
x
Ax
x
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下一页
结束
Oscillation 0 2 1 2 1 振动和波 2 1 4
第四章
2
振动 3 2 1 4
振动和波
振动和波

5 4
振动和波
3 2
7 4
振动和波
拍
2 1
设合振幅变化周期为T拍
t ) 2
1
2 T
2
2
1
)(t
振动和波拍频 1 / T
2 1

)
2
拍
拍
x1
x2
t 振动和波 ν = 16
1
2
1 2
1
Hz
振动和波
0.25s
0.50s 0.75s
t ν2=18Hz t Δ=2Hz
反映了两分振动的步调关系
x
x 振动和波 x1 x2
o
振动和波 t
x1
x2
振动和波
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下一页
结束
Oscillation
2 1
第四章
振动
(2) （2k 1 ）振动和波 k 0、 1、 2、 .... A 振动和波 A A 两振动步调反向，合成后振动最弱。
1、（ 1） 2n
2 2 2 2
x y 2 xy 0 振动和波 A A AA
x y x y
振动和波
n 0.1.2.3...
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结束
Oscillation
x y 2 ( ) 0 振动和波 Ax Ay
即y
Ay Ax
x
第四章 y
Ay
振动
0
x
轨迹为过原点的直线振动和波时刻t质点离开平衡位置的位移（合振动） 2 2 振动和波 r x2 y2 Ax Ay cos( t )
合矢量A所代表的合振动不再是简谐振动。
特例: A1 A2 A 1 2
振动和波
x x1 x2 振动和波 A cos( 1t ) A cos( 2t )
2 A cos(
振动和波
2
2 1
2 1 t ) cos( )t 2
振动
x Ax cos( t x ) 振动和波 y Ay cos( t y )
2
x y 2 xy 2 cos sin 消去 t 2 2 Ax Ay Ax Ay 合成轨迹一般为一椭圆,两振幅相等时为圆；具体地来说：形状由相位差决定。
振动和波
2
振动和波
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拍现象：振幅出现时强时弱的现象。与较大，但： 1 2 设振动和波 2 1 2 1 x 2 A cos( t ) cos( )t 2振动和波 2 随t周期性缓慢变化，看作振幅随t变化快可视准简谐振动振动和波振动的圆频率 2
振动和波
习题课振动和波作业：
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2
o Ax
即合振动也是同频率的谐振动。 A A A
2
（2）（2n 1）
y Ay x
n 0,1,2,
y
Ay
o
振动和波
x
y
振动和波
Ax 亦为简谐振动
振动和波
Ax
x
上一页
下一页
结束
Oscillation
第四章
振动
振动和波振动和波
x2 y2 2、 2 1 正椭圆或圆 2 2 Ax Ay 3、为其它值，合振动的轨迹表现为方位与形状各不相同的椭圆，质点运动方向亦各异。 0 质点沿顺时针方向运动
x 0.05 cos(t

12
12
12
)m
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第四章振 Oscillation 5.2 同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍振动和波
动
1. 合成
振动和波 x A cos( t ) 设:
1 1 1 1
x2 A2 cos( 2t 2 ) 振动和波 1 2 A1与A2无恒定相位差
振动和波
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第四章振动 Oscillation 6.2 不同频率的两个谐振动的合成李萨如图形振动和波 x A cosm t 振动和波 y A cosn t 0
当频率为整数比时：其合轨迹为李萨如图。
振动和波当频率为无理数比时：
其合成运动将永远不重复已走过的路径，振动和波它的轨迹将逐渐密布在振幅所限定的整个矩形面内。这种非周期性运动称为准周期运动。
min 2 1
x
若 A A,
1 2
x2
x 振动和波
t
A0
静止状态
x x1 x2
o
x1
x
o
振动和波 t
x1
x2
振动和波两个振动的相位差对合振动起着重要作用
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(3) 一般情况下， A2 A1 A A1 A2
振动和波
Oscillation
1
第四章
振动
例1（5214）一质点同时参与了两个同方向的谐振动：振动和波 19 m x 0.05 cost m, x 0.05 cost 12 4 振动和波求合振动方程。解: 设：x A cos(t )

简谐运动的合成

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