3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量[读教材·填要点]1．射影(1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影．(2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．2．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．3．平面的法向量与平面α垂直的非零向量称为α的法向量．[小问题·大思维]1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的．2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，(1,1,1)·(1，－1，0)＝0，而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.[自主解答]设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．EF ―→＝(－1，－1,1)，AB 1―→＝(0,2，2)，AC ―→＝(－2,2,0)． ∴EF ―→·AB 1―→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ―→·AC ―→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直．1．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1，AB ＝2AD ，点E 是线段C 1D 1的中点，求证：DE ⊥平面EBC .证明：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝1，则AA1＝1，AB ＝2，则可得D (0,0,0)，E (0,1,1)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，EB ―→＝(1,1，－1)， EC ―→＝(0,1，－1)， 因为DE ―→·EB ―→＝1－1＝0， DE ―→·EC ―→＝1－1＝0， 所以DE ⊥EB ，DE ⊥EC ，又EB ∩EC ＝E ，所以DE ⊥平面EBC .在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF 的法向量．[自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则G ⎝⎛⎭⎫a ，0，12a ，E ⎝⎛⎭⎫a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫12a ，a ，0， ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，－12a ， GF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12a ，a ，－12a . 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE ―→＝0，n ·GF ―→＝0，即⎩⎨⎧12ay －12az ＝0，－12ax ＋ay －12az ＝0.令y ＝z ＝1，则x ＝1，∴平面GEF 的一个法向量为(1,1,1)．本例条件不变，求平面A 1EFC 1的法向量． 解：A 1(a,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫12a ，a ，0， ∴A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，－a ，A 1F ―→＝⎝⎛⎭⎫－12a ，a ，－a . 设平面A 1EFC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E ―→＝0，n ·A 1F ―→＝0，即⎩⎨⎧12ay －az ＝0，－12ax ＋ay －az ＝0.令y ＝2，z ＝1，则x ＝2.∴平面A 1EFC 1的一个法向量为(2,2,1)．求平面法向量的一般步骤为： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0； (4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求出平面ABC 的一个法向量．解：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB ―→＝(1，－2，－4)，AC ―→＝(2，－4，－3)， 由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝0， 取y ＝1，则x ＝2.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,0)．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．试用向量法判断MN 与平面A 1BD 的位置关系．[自主解答] 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .则B (1,1,0)，A 1(1,0,1)， M ⎝⎛⎭⎫1，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，1，12， ∴DA 1―→＝(1,0,1)，DB ―→＝(1,1,0)， MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，12. 设平面A 1BD 的一个法向量为n 0＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1―→·n 0＝0， DB ―→·n 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，则y ＝z ＝－1， ∴n 0＝(1，－1，－1)． ∴n 0＝－2MN ―→，即n 0∥MN ―→. ∴MN ⊥平面A 1BD .利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线面垂直．解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量．3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则 A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)， M ⎝⎛⎭⎫1，1，12，假设存在P (0,0，x )满足条件， 则PA ―→＝(1,0，－x )，AC ―→＝(－1,1,0)． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧PA ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，1x ， 由题意MD ―→∥n ，由MD ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，－1，－12得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2＞1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .[巧思] 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．[妙解] 法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，G ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， A 1G ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，GF ―→＝(－1,0,0)． ∴AE ―→·A 1G ―→＝0＋12－12＝0，AE ―→·GF ―→＝0＋0＋0＝0.∴AE ―→⊥A 1G ―→，AE ―→⊥GF ―→， 即AE ⊥A 1G ，AE ⊥GF ， 又A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . ∵AE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面A 1GF . 法二：建立坐标系如法一．设平面AED 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． 平面A 1GF 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)． 则n ⊥AE ―→，n ⊥AD ―→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ―→＝y 1＋12z 1＝0，n ·AD ―→＝－x 1＝0，取z 1＝2，则n ＝(0，－1,2)． 由m ⊥A 1G ―→，m ⊥GF ―→得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1G ―→＝12y 2－z 2＝0，m ·GF ―→＝－x 2＝0，取z 2＝1，则m ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝0－2＋2＝0，∴m ⊥n . ∴平面ADE ⊥平面A 1GF .1．给定下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，且向量a 与平面α共面，则a ·n ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①③④正确，②中由α∥β⇒n 1∥n 2. 答案：C2．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0,4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：∵a ＝(－1,0,2)，n ＝(－2,0,4)， ∴n ＝2a ，即a ∥n . ∴l ⊥α. 答案：B3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，且α⊥β，则x 的值为( ) A ．10 B ．－10 C.12D ．－12解析：∵α⊥β，∴α，β的法向量也垂直， 即(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0. ∴－x －2－8＝0.∴x ＝－10. 答案：B4．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．解析：由已知，a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 答案：垂直5．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：AB ―→·AP ―→＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；且AP ―→是平面ABCD 的法向量；∴③正确，④错误．答案：①②③6．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF .证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形． 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC ―→＝(2,22，－2)，BF ―→＝(－1，2，1)，EF ―→＝(1,0,1)． ∴PC ―→·BF ―→＝－2＋4－2＝0，PC ―→·EF ―→＝2＋0－2＝0. ∴PC ―→⊥BF ―→，PC ―→⊥EF ―→. ∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF . 又BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵－32≠1－3≠－45且u ·v ≠0，∴α，β相交但不垂直． 答案：C2．若直线l 的方向向量为ν＝(2,2,2)，向量m ＝(1，－1,0)及n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，则( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直解析：因为ν·m ＝2－2＋0＝0，ν·n ＝0＋2－2＝0，所以ν⊥m ，且ν⊥n ，又m 与n 不平行，所以ν⊥α，即l ⊥α.答案：A3．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM ―→·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段解析：M 构成的图形是经过点A ，且以n 为法向量的平面． 答案：C4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 解析：要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA ―→与平面的法向量n 是否垂直，即PA ―→·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA ―→＝(1,0,1)，则PA ―→·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ―→＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则PA ―→·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0.同理，选项C 、D 也不符合要求，故选B.答案：B 二、填空题5．若直线l 的方向向量为(2,1，m )，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝________.解析：∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量．∴21＝112＝m2，∴m ＝4. 答案：46．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．解析：∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直． 答案：07．平面α，β的法向量分别为m ＝(1,2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k 等于________．解析：由α⊥β知，m ·n ＝0. ∴－2－8－2k ＝0，解得k ＝－5. 答案：－58.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)，D ⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，3 a ，设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ―→＝()2a ，－2a ，z ， B 1E ―→＝(2a,0，z －3a )， B 1D ―→＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ―→·B 1D ―→＝a 2－a 2＋0＝0， 故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0， 解得z ＝a 或2a .故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a 三、解答题9．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ―→，OO 1―→，OA―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2, 3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴AB 1―→＝(1,2，－3)，BD ―→＝(－2,1,0)，BA 1―→＝(－1,2，3)．∵AB 1―→·BD ―→＝－2＋2＋0＝0，AB 1―→·BA 1―→＝－1＋4－3＝0，∴AB 1―→⊥BD ―→，AB 1―→⊥BA 1―→.即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD .10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE .解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE ―→＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0. ∴2x 1＝0,2x 1＋2y 1＋z 1＝0.令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)由于点M 在AE 上，所以可设AM ―→＝λ·AE ―→＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M ―→＝(0,2λ，λ－2)．要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，所以A 1M ―→·AE ―→＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， 得λ＝25.故当AM ＝25AE 时，A 1M ⊥平面DAE .。
3．8共面与平行[读教材·填要点]1．共面(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面．(2)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n (其中n 为平面ABC 的法向量)． 2．直线与平面共面或平行的判定一般地，设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n ⇔l ∥α或l ⊂α.如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∈α，则l ⊂α. 如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.[小问题·大思维]若直线l 的方向向量为u ＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v ＝(2,2，－1)，那l 与α的位置关系是什么？提示：∵u ·v ＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0， ∴u ⊥v .∴l ∥α或l ⊂α.四点共面问题判断A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)四点是否共面，并说明理由．[自主解答] ∵A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)， ∴AB ―→＝(3,4,5)，AC ―→＝(1,2,2)设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·AB ―→＝0，且n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋5z ＝0，x ＋2y ＋2z ＝0，∴x ＋z ＝0.令x ＝1，则z ＝－1，y ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1. 又∵D (10,14,17)，∴AD ―→＝(9,14,16)， ∴AD ―→·n ＝(9,14,16)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1＝9×1＋14×12－16＝0，∴n ⊥AD ―→. 又∵A ∈平面ABC ，∴AD ⊂平面ABC ，∴A ，B ，C ，D 四点共面．(1)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n .(2)(共面向量定理)如果A ，B ，C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是，存在一对实数x ，y ，使向量表达式AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→成立．1．空间直角坐标系中，已知A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)，P (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，试求x ，y ，z 满足的方程．解：∵A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)， ∴AB ―→＝(－3,4,0)，AC ―→＝(－3,0,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的一个法向量， 则n ·AB ―→＝0，且n ·AC ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋4y 1＝0，－3x 1＋2z 1＝0，令x 1＝4，则y 1＝3，z 1＝6，即n ＝(4,3,6)．又∵P (x ，y ，z )在平面ABC 内，∴AP ―→·n ＝0，即(x －3，y ，z )·(4,3,6)＝0， ∴4x －12＋3y ＋6z ＝0， 即4x ＋3y ＋6z ＝12.证明线面平行、面面平行已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[自主解答] 如图所示建立空间直角坐标系D xyz ， 则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,2,1)，C 1(0,2,2)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1―→＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1)． (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1―→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1―→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE . (2)∵C 1B 1―→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 则n 2⊥FC 1―→，n 2⊥C 1B 1―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1―→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点． 求证：AM ∥平面BDE .证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC ∩BD ＝N ，连接NE ， 则点N ，E 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，(0,0,1)． ∴NE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE ―→＝AM ―→，且A ∉NE ， ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， 于是MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，DA 1―→＝(1,0,1)． 得DA 1―→＝2MN ―→， 又M ∉DA 1，∴DA 1∥MN . 而MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .法二：如法一中的坐标系，B (1,1,0)． 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1―→＝0，且n ·DB ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. ∴n ＝(1，－1，－1)．又MN ―→·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN ―→⊥n .又MN ⊄平面A 1BD . ∴MN ∥平面A 1BD .法三：∵MN ―→＝C 1N ―→－C 1M ―→＝12C 1B 1―→－12C 1C ―→＝12(D 1A 1―→－D 1D ―→)＝12DA 1―→， ∴MN ―→∥DA 1―→.而MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .[点评] 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线)；思路二是证明直线与平面的法向量垂直(向量垂直)．1．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α解析：当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.答案：D2．已知直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA ―→，OB ―→，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA ―→B ．a ＝k OB ―→C ．a ＝p OA ―→＋λOB ―→D ．以上均不能解析：A 、B 、C 均能表示l ∥α或l ⊂α. 答案：D3．已知线段AB 的两端点的坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行D ．xOy 和yOz 都平行解析：∵A ，B 两点横坐标相同，∴AB 与yOz 平面平行． 答案：C4．已知直线l 的方向向量为ν＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n ＝(2,4,1)，且l ⊄α，则l 与α的位置关系是________．解析：因为ν·n ＝2－4＋2＝0，所以ν⊥n . 又l ⊄α，所以l ∥α. 答案：l ∥α5．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(2,1,4)，则m ＝________. 解析：∵l ∥α， ∴2×2＋m ×1＋1×4＝0. ∴m ＝－8. 答案：－86．已知在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N 分别是BC ，AE ，CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .求证：MN ∥平面ADD 1A 1.证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)，C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，2a ，0.∵M ，N 分别为AE ，CD 1的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，a ，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，0，a 2.取n ＝(0,1,0)，显然n ⊥平面ADD 1A 1，且MN ―→·n ＝0， ∴MN ―→⊥n . 又MN ⊄平面ADD 1A 1， ∴MN ∥平面ADD 1A 1.一、选择题1．下面关于空间向量的说法正确的是( ) A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行 B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则AB ―→，CD ―→不共面 D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则AB ―→，AC ―→，AD ―→不共面解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B 、C 都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A 不正确，可用反证法证明D 是正确的．答案：D2．已知直线l 的一个方向向量为a ＝(－2,0,1)，平面α的一个法向量为b ＝(2，－1,4)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．l ∥α或l ⊂α解析：∵a ·b ＝(－2,0,1)·(2，－1,4)＝－4＋0＋4＝0， ∴a ⊥b ， ∴l ∥α或l ⊂α. 答案：D3．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α∥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：∵α∥β，∴a ∥b ， ∴x－1＝－12＝－24，∴x ＝12. 答案：C4.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|A 1B |＝|AC |＝2a ， 所以A 1M ―→＝13A 1B ―→，AN ―→＝13AC ―→，所以MN ―→＝M A 1―→＋A 1A ―→＋AN ―→ ＝－13A 1B ―→＋A 1A ―→＋13AC ―→＝－13A 1A ―→－13AB ―→＋A 1A ―→＋13AD ―→＋13AB ―→＝23A 1A ―→＋13AD ―→＝23B 1B ―→＋13B 1C 1―→， 所以MN ―→，B 1B ―→，B 1C 1―→共面， 因为MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B 二、填空题5．直线l 不在平面ABC 内，且l 上两点C ，D 满足CD ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→，则直线l 与平面ABC 的位置关系是________．答案：平行6．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，ν＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．解析：∵u ·ν＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0， ∴u ⊥ν，∴α⊥β. 答案：垂直7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,3，z )，向量b ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵l ⊥α，b ∥α，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝(1,3，z )·(3，－2,1)＝0， 即3－6＋z ＝0，则z ＝3. 答案：38．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体六个面的中心．则平面EFG 与平面HMN 的位置关系为________．解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2，1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF ―→＝(0，－1,1)， EG ―→＝(1,0,1)，HM ―→＝(0,1，－1)，HN ―→＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 和HMN 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·EF ―→＝0，m ·EG ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0，x 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·HM ―→＝0，n ·HN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∵m ＝n .即m ∥n . ∴平面EFG ∥平面HMN . 答案：平行 三、解答题9．在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC 交BD 于G ，连接EG . 设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0.∴PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.故PA ―→＝2EG ―→，这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .word 11 / 11 10.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1B Q ∥平面PAO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．再设Q(0,2，c )∴OA ―→＝(1，－1,0)，OP ―→＝(－1，－1，1)，B Q ―→＝(－2,0，c )，BD 1―→＝(－2，－2,2)．设平面PAO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·OA ―→＝0，n 1·OP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，∴平面PAO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．若平面D 1B Q ∥平面PAO ，那么n 1也是平面D 1B Q 的一个法向量．∴n 1·B Q ―→＝0，即－2＋2c ＝0.∴c ＝1，这时n 1·BD 1―→＝－2－2＋4＝0，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1B Q ∥平面PAO .。
高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下： 图形标准 方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点 坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线 方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径 ｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何 意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析 设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析 设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式 将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析 只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一 如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ， 则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定 二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。
