湘教版高二数学选修2-2(理科)全册完整课件

为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当z＝i 时，则z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得
x2－4＝0， x2＋3x＋2≠0
，解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实
数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当
a、b、c、d∈R时，结论才成立．
例2
实数m为何值时，复数z＝
解 由复数相等的充要条件得x＋y＝2x＋3y且y－1 ＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.
再见
再见
2019/12/2
[知识链接]
为解决方程x2＝1，数系从有理数扩充到实数；数 的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内 也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看， 象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎 样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即 i·i＝
mm＋2 m－1
＋(m2＋2m－3)i是(1)
实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解
(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且
mm＋2 m－1
有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且
mm＋2 m－1
有意义
即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．
[预习导引]
1．复数的有关概念虚数单位 Nhomakorabea实部
(b1∈)复R虚，数部的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，
z
z＝a＋bi
i叫做 的
全体．复a叫数 做复数的 ．
，b叫做复数
(2)复数的表示方法：复数通常用字母

4．2 导数的运算
4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表
4.2.2
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.能根据定义求 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的 导数． 2．掌握基本初等函 数的导数公式． 3．能应用基本初等 函数的导数解决有关问题．
3
(3)y′＝(x x)′＝(x 2
)′＝3x
3 1 2
＝3
x.
2
2
(4)y′＝(x14)′＝ (x－ 4)′＝－ 4x－ 4－ 1＝－ 4x－ 5＝－x45 .
(5)y′＝(5
x3 )′＝(x
3 5
)′＝3x
3 5
-1＝3x
-
2 5
5
5
＝3 .
5 5
x2
(6)y′＝(2x)′＝ 2x公式是我们 解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择 公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当 记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检 验．
∴ y′＝ (lgx)′＝(log1 0x)′＝x·ln110.
(5)∵ y＝(s inx＋ cosx)2 － 1 22
＝ sin2x2＋ 2·s inx2·cos x2＋ cos 2x2－ 1＝ s inx.
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
求在点P处的切线方程
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程 的步骤：(1)求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0 ＝ f′(x0)·(x－ x0)．
1
点为(x0，y0)，因为 y＝ x＝x 2 ，可根据幂函数 的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由 切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出 所求切线的方程．

注意：①三段论推理的根据，用集合的观点来讲就是：若集 合M中所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元 素都具有性质P.
②演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提与结论之间 有蕴涵关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理 的情势是正确的，那么结论必是真实的．但错误的前提可能 导致错误的结论．
2．若a，b是正实数，且a≠b，试比较aabb与abba的大小． 解 根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法， aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b. 当a>b>0时，ab>1，a－b>0，则aba－b>1， 于是aabb>abba；
当b>a>0时，0<ab<1，a－b<0，则aba－b>1， 于是aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数a，b都有aabb>abba.
∴在Rt△VBC中，V1D2＝V1B2＋V1C2， 在Rt△VAD中，V1H2＝V1A2＋V1D2， ∴V1H2＝V1A2＋V1B2＋V1C2，即h12＝a12＋b12＋c12. 结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂 直．
误区警示 三段论推理的周密性不容忽视
【例4】“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)， 而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确 定一个平面(结论)．” 上述推理的结论正确吗？为什么？ [错解] 符合三段论推理情势证明，故命题正确． 错解分析 只有在大前提、小前提、推理过程都正确的情况 下，结论才一定正确，否则，结论不一定正确．
2．三段论常用格式为：①M是P，② S是M ，③S是P；其中 ①是 大前提 ，它提供了一个一般性原理；②是 小前提 ， 它指出了一个特殊对象；③是 结论 ，它根据一般原理， 对特殊情况作出的判断．

当 0<x1<x2≤ ba时， x2－x1>0,0<x1x2<ab，x1ax2>b， ∴f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0， ab]上是减函数．
当 x2>x1≥ ba时， x2－x1>0，x1x2>ab－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)，
都是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必是真
实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
思考感悟
合情推理和演绎推理有怎样的关系？ 提示：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎 推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思 维过程，但数学结论，证明思路的发现，主要 靠合情推理． (2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定 为真，而演绎推理的前提为真时，结论必定为 真．
∴f(x)在[ ba，＋∞)上是增函数．
【名师点评】 这里用了两步三段论的简化形式， 都省略了大前提．第一步三段论所依据的大前提 是减函数的定义，第二步三段论所依据的大前提
是增函数的定义．小前提分别是 f(x)在(0，
a b]
上满足减函数的定义和 f(x)在[ 增函数的定义．
ab，＋∞)上满足
自我挑战 2 证明函数 y＝x＋4x在(－2,0)上是减函 数．
【名师点评】 用三段论写推理过程时， 关键是明确大、小前提，三段论中的大前 提提供了一个一般性的原理，小前提指出 了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭 示了一般原理与特殊情况的内在联系．有 时可省略小前提，有时甚至也可大前提与 小前提都省略，在寻找大前提时，可找一 个使结论成立的充分条件作为大前提．
例3 已知函数f(x)＝＋bx(a>0，b>0，x>0)，确 定f(x)的单调区间． 【思路点拨】 要确定f(x)的单调区间，并证明 f(x)在每个单调区间上的增减性，可将增函数或 减函数的定义作为大前提(或根据导数的几何意义 作为大前提)进行推证．

(2)点(1,0)不在曲线y＝x2上． 设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(x0，x20)， 则切点处的斜率为2x0.切线方程为y－x02＝2x0(x－x0) (*) 又因为此切线过点(1,0)． ∴－x02＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2， 代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C：y＝x2相切的直线方程为y＝0 或4x－y－4＝0.
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
规律方法 本题主要考查了导数的几何意义以及直 线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为 切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，
不论点是否在曲线上，均需设出切点．
跟踪演练4 求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．
解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝2x上，
所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝
时，f1＋2dd－f1的值为
()
1 A.2
B．2
C．f′(2)
D．f′(12)
答案 B
要点二 求函数某一点处的导数 例2 已知f(x)＝1x，求f′(1)．
解 f1＋dd－f1＝1＋1 dd－1＝1－ ＋ddd＝1－＋1d， 由于d→0时，1－＋1d→－1，故f′(1)＝－1.
规律方法 差分式化成分子和分母极限都在的情形 (但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分 母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去， 便可得出正确结论．

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1．已知x，y，z∈R，a，b，c∈R＋，求证：
b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx)． 证明 法一 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝
bax2＋aby2－2xy
＋
cby2＋bcz2－2yz
＋
a c
z2＋
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应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是 无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题)，再 依次由它得出一系列的命题(或判断)，其中每一个都是真 实的(但它们并不一定都是所需求的)，且最后一个必须包 含我们要证明的命题的结论时，命题得证．并非一上来就 能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步 结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到．当然，在 较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地 得到证明的思路．而在证明的叙述时，直接叙述这条思路 就够了．
… 这只需证明命题P为真． 而已知P为真，故Q必真．
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可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条 件，它与综合法是对立统一的两种方法． 用Q表示要证明的结论，则分析法可表示如下：
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
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b1n为等差数列．
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证明 (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3得，(3－m)Sn＋1＋2man＋1
＝m＋3.两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)，∴
an＋1 an
＝
m2＋m3，∴{an}是等比数列．

∴1 0
1－x2dx＝14π×12＝14π.
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误区警示 运算要细心
【例 3】
已知 a＝1n n i＝1
ni 2(n∈N*)，b＝01x2dx，则 a，b 的大
小关系为 A．a>b B．a＝b C．a<b D．a、b 的大小与 n 的取值有关
( )．
[错解] D
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A.2f(x)dx＝28 1
B.3f(x)dx＝28 2
C.22f(x)dx＝56 1
D.2f(x)dx＋3f(x)dx＝56
1
2
答案 D
( )．
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3．如图所示，bf1(x)dx＝M，bf2(x)dx＝N，则阴影部分的面
a
a
积为
( )．
A．M＋N
B．M
C．N
D．M－N
答案 D
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错解分析 用和式定义和定积分定义求解，计算时一定要 细致、认真，否则容易出错．
[正解]
∵a＝1n n i＝1
ni 2＝1nn12＋2n22＋…＋nn22
＝1n·12＋22＋n2…＋n2＝13＋61n2＋21n>13 b＝1x2 dx
0
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＝lim n→∞
02·1n＋1n2·1n＋2n2·1n＋…＋n－n 12·1n
a
.a和b分别叫作定
积分的 下限 和 上限 ，f(x)叫作 被积函数．[a，b]叫
作积分区间．
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2．定积分的几何意义 一般来说，定积分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与
直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x轴下方的面积)

要点二 运用归纳推理探索解题思路，能寻找解题 方法
例2 平面上有n(n≥2)条抛物线，其中每两条都相
交于两点，并且每三条都不相交于同一点，试求
这n条抛物线把平面分成多少个部分？并证明你的
结论．
解 当n＝2时，即两条相交抛物线把平面分成5部 分，记f(2)＝5＝22＋1；
当n＝3时，f(3)＝10＝32＋1；
规律方法 通过观察个别情况发现某些相同性质， 从相同性质中推出一个明确表述的一般性结论，一 般地，归纳个别情况越多，越具有代表性，推广的
结论越可能为真．
跟踪演练 3
已
知
：
sin230°＋
sin290°＋sin2150°＝
3 2
；
sin25°＋
sin265°＋sin2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出
一般性的命题，并给出证明．
解 一般形式，sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝32，
证明 左边＝1－c2os 2α＋1－cos22α＋120°＋1－cos22α＋240°
＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(120°－2α)] ＝32－12[cos 2α＋2cos 2αcos 120°] ＝32＝右边 (将一般形式写成 sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32， sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝32等均正确).
2
1
3
3
4
6
5
10
由以上数据可看出如下规律(交点个数)：
3＝1＋2； 6＝1＋2＋3； 10＝1＋2＋3＋4. 故猜想 n 条直线的交点个数为 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝nn－2 1， 当 n＝6 时，交点个数为6×2 5＝15.

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第4章 导数及其应用 4.1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度 4.1.3 导数的概念和几何意义 4.2.1 几个幂函数的导数 4.2.3 导数的运算法则 4.3.1 利用导数研究函数的单调性 4.3.3 三级函数的性质：单调区间和极值 4.5 定积分与微积分基本定理 *4.5.2 计算变力所做的功 4.5.4 微积分基本定理 5.1 解方程与数系的扩充 5.3 复数的四则运算 第6章 推理与证明 6.1.1 归纳 6.1.3 演绎推理 6.2 直接证明与间接证明 6.2.2 间接证明：反证法

要点二 例2
求瞬时速度
1 2 已知一物体做自由落体运动，s＝ gt (位移单位：m，时 2
间单位：s，g＝9.8 m/s2)． (1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度； (2)求t＝3 s时的瞬时速度．
解
(1)当t在区间[3,3.1]时，d＝3.1－3＝0.1(s)，
解 (1)物体在前3 s内的位移为： s(3)－s(0)＝2×32＋2×3－0＝24(m)，故前3 s内的平均速度为 s3－s0 24 ＝ 3 ＝8(m/s)． 3 (2)物体在2 s到3 s内的位移为 s(3)－s(2)＝24－(2×22＋2×2)＝12(m)． 故物体在2 12(m/s)． s 到3 s3－s2 s这段时间内的平均速度为 ＝ 3－2
跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加 速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2， 枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1 2 解 运动方程为s＝ at . 2 1 1 2 2 at＋d － at 2 2 v(t，d)＝ d 1 2 ad ＋atd 2 1 ＝ ＝ ad＋at. d 2 1 当d趋于0时， ad＋at的极限为at. 2 a＝5.0×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s， ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3 m/s， 即800 m/s.
解

1 1 2 2 (1)s(t0＋d)－s(t0)＝2g(t0＋d) －2gt0
1 2 ＝gt0d＋2gd ， 在t0到 t0＋d这段时间内，物体平均速度为 1 2 gt0d＋ gd 2 1 v(t0，d)＝ ＝gt0＋2gd. d (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s， 1 平均速度为10g＋2g×0.1＝10.05g(m/s)．