(湘教版)高中数学必修1(全册)配套练习汇总

1.2.2 充分条件和必要条件必备知识基础练1.已知x是实数,则使x2<4成立的一个必要而不充分条件是( )A.x<-2B.x<2C.|x|<2D.-1<={x|-1<x<1},P={x|b-a<∩P≠⌀”的充分条件,则b 的取值范围是( )A.[-2,0)B.(0,2]C.(-3,-1)D.(-2,2)3.(多选题)下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以作为-1<x<1的充分条件的为( )A.①B.②C.③D.④A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件D.“a<5”是“a<3”的必要条件5.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是.6.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .7.设p:x>a,q:x>3.(1)若p是q的必要而不充分条件,求a的取值范围;(2)若p是q的充分而不必要条件,求a的取值范围;(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.关键能力提升练A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.(多选题)已知a,b均为实数,则“a>b”成立的必要条件可以是( )A.|a|>bB.-a<1-bC.a3>b3D.1a <1b10.(山东单县高一月考)方程x2-2x+a=0有实根的充要条件是,方程x2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件可以是.11.(上海虹口期末)已知条件p:2k-1≤x≤1-k,q:-3≤x<3,且p是q的必要条件,则实数k的取值范围为.答案：1.B 由x2<4得-2<x<2,求使x2<4成立的一个必要而不充分条件,则x<2满足条件.故选B.2.D 因为a=1,所以P={x|b-1<∩P≠⌀,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,所以0≤b<2或-2<b≤0,即b的取值范围是(-2,2).3.BCD 由于-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.5.(-∞,0][0,+∞)因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x ∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.6.3或4 一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4.又n∈N+,则当n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;当n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;当n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;当n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.7.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.(1)若p是q的必要而不充分条件,则有B⫋A,所以a<3,a的取值范围为(-∞,3).(2)若p是q的充分而不必要条件,则有A⫋B,所以a>3,a的取值范围为(3,+∞).(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.8.A P∩Q=P∪Q⇒P=Q⇒P⊆Q,当P⫋Q时,P∩Q≠P∪Q,所以P⊆Q P∩Q=P∪Q,所以甲是乙的充分而不必要条件.9.ABC 因为a>b,所以|a|≥a>b,故A正确;因为a>b,则b-a<0,则b-a<1,所以-a<1-b,故B正确;a>b可推出a3>b3,故C正确;若a=2,b=-3,此时1a >1b,故D不正确.故选BC.10.a≤1a=1(答案不唯一) 因为方程x2-2x+a=0有实根,所以Δ≥0,即(-2)2-4a≥0,解得a≤1.反之,当a≤1时,Δ≥0,则方程x2-2x+a=0有实根,所以a≤1是方程x2-2x+a=0有实根的充要条件.当a=1时,方程x 2-2x+1=0有实根x=1,而当方程x 2-2x+a=0有实根时不一定是a=1,所以a=1是方程x 2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件.11.(-∞,-2] ∵条件p:2k-1≤x≤1-k,q:-3≤x<3,且p 是q 的必要条件, ∴{2k -1≤-3,3≤1-k ,解得k≤-2.则实数k 的取值范围是(-∞,-2].。

第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。

2.1 相等关系与不等关系2.1.1 等式与不等式A 级必备知识基础练1.已知0<=<NB.M>NC.M=ND.M 与N 的大小关系不确定2.已知实数a,b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是()A.1b >1aB.a 2>b 2C.b-a>0D.|b|a<|a|b3.设实数a=√5−√3,b=√3-1,c=√7−√5,则( )A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b4.已知=x 2x+2y ,N=4(x -y )5,则M 和N 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M=ND.以上都有可能5.若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+b b ≤c+d d .B级关键能力提升练6.下列结论正确的是( )A.若ac>bc,则a>bB.若a>b,c>d,则a+c>b+dC.若a<b,则1a >1bD.若a>b,c<d,则ac >bd7.(多选题)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有( )A.a+c≥b+cB.-a≤-bC.a2≥b2D.1a ≤1b9.已知0<a<b,且a+b=1,试比较:(1)a2+b2与b的大小;(2)2ab与12的大小.答案：1.B M-N=xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).∵0<>N.故选B.2.A 由实数a,b在数轴上对应的点可知b<a<0,因此1b >1a ,故A 正确; 由b<a<0可知a 2<b 2,故B 错误;由b<a,可得b-a<0,故C 错误;由b<a<0,可得|b|a=|a|b,故D 错误.故选A.3.A √5−√3=√5+√3,√3-1=√3+1√7−√5=√7+√5, ∵√3+1<√3+√5<√5+√7,∴√3+1>√5+√3>√7+√5,即b>a>c.4.A ∵M-N=x 2x+2y −4(x -y )5=x 2+8y 2-4xy5(x+2y )=x 2+4y 2-4xy+4y 25(x+2y )=(x -2y )2+4y 25(x+2y )>0,∴M>N.故选A.5.证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc.因为bd>0, 所以a b ≤c d ,所以a b +1≤c d +1,所以a+b b ≤c+dd .6.B 若ac>bc,c<0,则a<b,A 错误;若a>b,c>d,则a+c>b+d,B 正确;若a<b,a<0,b>0,则1a<1b ,C 错误; 若a>b,c<d,c=0,则a c 不存在,D 错误.故选B.7.AB 因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B 正确;因为a,b 符号不确定,所以C,D 选项无法确定,故不正确.故选AB.9.解(1)因为0<a<b,且a+b=1,所以0<a<12<b,则a 2+b 2-b=a 2+b(b-1)=a 2-ab=a(a-b)<0,所以a 2+b 2<b.(2)因为2ab-12=2a(1-a)-12=-2a 2+2a-12=-2(a 2-a+14)=-2(a -12)2<0,所以2ab<12.。

(湘教版)高中数学必修一(全册)课时同步练习汇总1．以下集合中有限集的个数是()．①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．42．以下说法正确的个数是()．①集合N中最|小的数是1；②－a不属于N＋,那么a∈N＋；③所有小的正数构成一个集合；④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素．A．0 B．1 C．2 D．33．以下选项正确的选项是()．A．x－5∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．5∈Z4．集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．由a2,2－a,4组成一个集合M ,M中含有3个元素,那么实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．26．假设集合M中只有2个元素,它们是1和a2－3 ,那么a的取值范围是__________．7．关于集合有以下说法：①大于6的所有整数构成一个集合；②参加2021年亚运会的著名运发动构成一个集合；③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合；④假设a∈N ,那么－a∉N；⑤假设x＝ 2 ,那么x∉Q.其中正确说法的序号是__________．8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素．9．假设所有形如3a(a∈Z ,b∈Z)的数组成集合A ,判断6-+是集合A中的元素．10．数集M满足条件：假设a∈M ,那么11aa+-∈M(a≠±1 ,且a≠0) ,3∈M ,试把由此确定的M的元素求出来．参考答案1. 答案：C解析：④为无限集 ,①②③为有限集． 2. 答案：A解析：集合N 中最|小的数应为0 ,所以①错；12a =时 ,－a ∉N ＋ ,且a ∉N ＋ ,故②错； "小的正数〞不确定 ,不能构成集合 ,③错；方程x 2－4x ＋4＝0只有一个解x ＝2 ,它构成的集合中只有一个元素 ,故④错．3. 答案：D解析：x 的值不确定 ,故x －5的值不一定是正整数 ,故A 错；应有π∈R,1∈Q ,故B ,C 均错．4. 答案：D解析：S 中含有三个元素 ,应互不相等 ,即三角形的三条边互不相等 ,故该三角形一定不是等腰三角形．5. 答案：C解析：将各个值代入检验 ,只有a ＝6使得集合M 中元素满足互异性． 6. 答案：a ≠2且a ≠－2解析：由集合元素的互异性知a 2－3≠1 ,a 2≠4 ,所以a ≠2且a ≠－2. 7. 答案：①③⑤解析： "著名运发动〞的性质不确定 ,不能构成集合 ,故②不正确；当a ＝0时 ,a ∈N ,且－a ∈N ,故④错误．8. 答案：2解析：方程x 2－3x ＋2＝0的解是1和2 ,方程x 2－4x ＋4＝0的解是2 ,它们构成的集合中仅含有2个元素．9. 解：由于6-+3×(－2) 2 ,且－2∈Z,2∈Z ,所以6-+A中的元素 ,即6-+A ．1＝3×13＋ 1 ,但由于13∉Z ,A 中的元素 ,∉A ． 10. 解：∵a ＝3∈M ,∴1132113a a ++==---∈M .∴121123-=-+∈M.∴11131213-=+∈M.∴1123112+=-∈M.∴M中的元素有：3 ,－2 ,13-,12.1．集合A＝{x∈N|x≤≤那么有()．A．－1∈A B．0∈ACA D．2∈A2．集合M＝{x|x2－6x＋9＝0}的所有元素之和等于()．A．3 B．6 C．9 D．03．方程组3,1x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为()．A．3, (,)1x yx yx y⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B．1, (,)2xx yy⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C．{1,2}D．{(1,2)}4．以下集合中为∅的是()．A．{0} B．{x|x2－1＝0}C．{x|x＜0} D．{x|x2＋1＝0}5．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0有唯一实数解} ,那么A用列举法可表示为()．A．A＝{1} B．A＝{0}C．A＝{0,1} D．A＝{0}或{1}6．集合{x|－3≤x≤3 ,x∈N} ,用列举法表示为________．7．假设集合A＝{x|2x－5＜x－1} ,B＝,＋∞) ,用适当的符号填空：①4________A；B；③－2________A；④1________B．8．用描述法表示集合1111,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭为__________．9．用适当的方法表示以下集合,并且说明它们是有限集还是无限集．(1)方程x2－9＝0的解集；(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；(3)不等式x－3＞2的解集；(4)抛物线y＝x2上的点集；(5)方程x2＋x＋1＝0的解集．10．集合A＝{x|x2＋2x＋m＝0}．(1)假设2∈A ,求实数m的值；(2)假设集合A中有两个元素,求m的取值范围；(3)假设集合A是空集,求m的取值范围．参考答案1.答案：B解析：A＝{x∈N|x≤＝{0,1} ,因此0∈A．2.答案：A解析：M＝{x|x2－6x＋9＝0}＝{x|(x－3)2＝0}＝{x|x＝3}＝{3} ,即M中仅有一个元素3.3.答案：C解析：方程组只有一个解,解的形式是数对,而C选项中的集合中含有两个元素,且元素是实数,不是数对,故不可能是方程组的解集．4.答案：D解析：选项D中的集合表示方程x2＋1＝0的解集,该方程没有实数解,故该集合为∅.5.答案：C解析：当a＝0时,方程2x＋1＝0有唯一解12x=-；当a≠0 ,且Δ＝22－4a＝0 ,即a＝1时,方程x2＋2x＋1＝0有唯一解x＝－1.6.答案：{0,1,2,3}解析：集合{x|－3≤x≤3 ,x∈N}表示不小于－3且不大于3的自然数,因此只有0,1,2,3四个元素．7.答案：①∉②∈③∈④∉8.答案：1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且解析：观察元素1 ,12,13,14的特征可设1xn=,n∈N＋且n≤4 ,故用描述法表示为1,4x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且.9.解：(1)用列举法表示为{3 ,－3} ,用描述法表示为{x|x2－9＝0} ,集合中有两个元素,是有限集．(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9} ,用描述法表示为{x|x＝2k－1 ,k∈N＋,且1≤k≤5} ,集合中有五个元素,是有限集．(3)用描述法表示为{x|x＞5} ,集合中有无数个元素,是无限集．(4)用描述法表示为{(x ,y)|y＝x2} ,抛物线上的点有无数个,因此该集合是无限集．(5)方程x2＋x＋1＝0无实数解,故该方程的解集为∅,是有限集．10.解：(1)由2∈A知,2是A中的元素,即2是方程x2＋2x＋m＝0的一个根,因此22＋2×2＋m＝0 ,解得m＝－8；(2)集合A中有两个元素,即方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根,因此Δ＝4－4m ＞0 ,解得m＜1；(3)集合A是空集,即方程x2＋2x＋m＝0没有实数根,因此Δ＝4－4m＜0 ,解得m＞1.1．设集合M＝{x|x＞－2} ,那么以下选项正确的选项是()．A．{0}⊆M B．{0}∈MC．∅∈M D．0⊆M2．满足条件{a}M⊆{a ,b ,c ,d}的所有不同集合M的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．93．设全集U＝{x|－1≤x≤5} ,A＝{x|0＜x＜1} ,那么∁U A＝()．A．{x|－1≤x≤0}B．{x|1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}D．{x|－1≤x＜0或1＜x≤5}4．A＝{x|x2－3x＋a＝0} ,B＝{1,2} ,且B⊆A ,那么实数a的值为()．A．1 B．2 C．3 D．05．集合M＝{x|x2＋2x－a＝0} ,假设∅M ,那么实数a的范围是()．A．a≤－1 B．a≤1C．a≥－1 D．a≥16．集合M＝{(x ,y)|x＋y＜0且xy＞0} ,集合P＝{(x ,y)|x＜0且y＜0} ,那么集合M与P之间的关系是__________．7．设全集U＝R ,A＝{x|x＜0或x≥1} ,B＝{x|x≥a} ,假设U A⊆U B ,那么a的取值范围是__________．8．假设全集I＝{2,4 ,a2－a＋1} ,A＝{a＋4, 4} ,且I A＝{7} ,那么实数a的值等于__________．9．设集合A＝{x|x2＋4x＝0} ,B＝{x|x－2a＝0 ,a∈R} ,假设B⊆A ,求实数a的值．10．A＝{x|x2－5x＋6＝0} ,B＝{x|mx＝1} ,假设B A ,求实数m所构成的集合M ,并写出M的所有子集．参考答案1. 答案：A解析：{0}与M 都是集合 ,它们之间不能用 "∈〞连接 ,故B ,C 均错；0是元素 ,它和集合M 间不能用 "⊆〞连接 ,故D 错 ,只有A 项正确．2. 答案：B解析：满足条件的M 有：{a ,b } ,{a ,c } ,{a ,d } ,{a ,b ,c } ,{a ,b ,d } ,{a ,c ,d } ,{a ,b ,c ,d }． 3. 答案：C 解析：借助数轴可得U A ＝{x |－1≤x ≤0或1≤x ≤5}．4. 答案：B解析：∵B ＝{1,2} ,且B ⊆A ,∴1与2是方程x 2－3x ＋a ＝0的两解．∴a ＝2. 5. 答案：C 解析：∵∅M ,∴ M 不能是空集 ,即关于x 的方程x 2＋2x －a ＝0有实数根 ,∴Δ＝4＋4a ≥0 ,解得a ≥－1.6. 答案：M ＝P解析：由x ＋y ＜0且xy ＞0可得x ＜0且y ＜0 ,所以集合M 与P 都表示直角坐标系中第三象限的点的集合 ,所以M ＝P .7. 答案：a ≥1 解析：U A ={x |0≤x ＜1} ,U B ={x |x ＜a } ,∵U A⊆U B ,∴画出数轴并表示出U A与U B ,由数轴可得a 的取值范围为a ≥1.8. 答案：－2解析：依题意可知21742a a a ⎧-+=⎨+=⎩，，解得aa ＝－2符合题意．9. 解：依题意A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{－4,0} , B ＝{x |x －2a ＝0}＝{2a } , 由于B ⊆A ,那么2a ∈A ． ∴2a ＝－4或2a ＝0. 解得a ＝－2或a ＝0. 即实数a 的值为－2或0.10.解：由x2－5x＋6＝0 ,得x＝2或x＝3 ,∴A＝{2,3}．由B A知B＝{2} ,或B＝{3} ,或B＝∅,假设B＝∅,那么m＝0；假设B＝{2} ,那么12 m=,假设B＝{3} ,那么13m=,故M＝1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.从而M的所有子集为∅,{0} ,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,13⎧⎫⎨⎬⎩⎭,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，,13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，,1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，,1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.1．设集合A＝{1,2} ,B＝{1,2,3} ,C＝{2,3,4} ,那么(A∩B)∪C等于()．A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}2．集合A＝{x|x－1＞0} ,B＝{x|x＜3} ,那么图中阴影局部表示的集合为()．A．{x|x＞1} B．{x|x≥3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x≤1}3．设集合M＝{x|0＜x≤3} ,N＝{x|0＜x≤2} ,那么 "a∈M〞是 "a∈N〞的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．全集U＝R ,集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x＜－1或x＞4} ,那么集合A∩(U B)等于()．A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}5．集合A＝{x|－4≤x≤－2} ,集合B＝{x|x－a≥0} ,且A⊆R B ,那么实数a的取值范围是()．A．a＞－2 B．a≥－2C．a＜－2 D．a≤－26．集合A＝{0,2 ,a2} ,B＝{1 ,a} ,假设A∩B＝{1} ,那么a＝__________.7．设U＝{0,1,2,3} ,A＝{x∈U|x2＋mx＝0} ,假设U A＝{1,2} ,那么实数m＝__________.8．集合A＝{x|x2－px＋15＝0} ,B＝{x|x2－5x＋q＝0} ,假设A∪B＝{2,3,5} ,那么A＝__________ ,B＝__________.9．集合P＝{x|－2≤x≤5} ,Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1} ,假设P∩Q＝∅.求实数k的取值范围．10．集合A＝{x|3≤x＜7} ,B＝{x|2＜x＜10} ,C＝{x|x＜a} ,全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(R A)∩B；(3)如果A∩C≠∅,求a的取值范围．参考答案1. 答案：D解析：(A ∩B )∪C ＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4} ,应选D ． 2. 答案：C解析：阴影局部表示的集合是A ∩B ,所以A ∩B ＝{x |x ＞1}∩{x |x ＜3}＝{x |1＜x ＜3}． 3. 答案：B 解析：易见N M ,那么 "a ∈M 〞"a ∈N 〞 ,但有 "a ∈N 〞⇒ "a ∈M 〞．应选B ．4. 答案：D 解析：∵U B ＝{x |－1≤x ≤4},∴A ∩(U B )＝{x |－2≤x ≤3}∩{x |－1≤x ≤4}＝{x |－1≤x ≤3}．5. 答案：A解析：∵B ＝{x |x －a ≥0}＝{x |x ≥a } ,∴R B ＝{x |x ＜a } ,又A ⊆R B ,∴a ＞－2 ,应选A ．6. 答案：－1解析：∵A ∩B ＝{1} ,∴1∈A ． 又A ＝{0,2 ,a 2} ,∴a 2＝1 ,即a ＝±1.当a ＝1时 ,集合B 不满足集合元素的互异性 , ∴a ＝－1. 7. 答案：－3 解析：∵U A ＝{1,2} ,∴A ＝{0,3} ,故0和3是方程x 2＋mx ＝0的两根 ,解得m ＝－3.8. 答案：{3,5} {2,3}解析：依题意 ,集合A 是方程x 2－px ＋15＝0的解集 ,集合B 是方程x 2－5x ＋q ＝0的解集．又A ∪B ＝{2,3,5} ,所以只能是3和5是方程x 2－px ＋15＝0的两根． 2和3是方程x 2－5x ＋q ＝0的两根 ,即A ＝{3,5} ,B ＝{2,3}．9. 解：①假设Q ＝∅ ,那么P ∩Q ＝∅ ,此时有k ＋1＞2k －1 ,即k ＜2. ②假设Q ≠∅ ,由P ∩Q ＝∅ ,有如以下图：∴12115k k k +≤-⎧⎨+>⎩，或12121 2.k k k +≤-⎧⎨-<-⎩，解得k ＞4.综上所述 ,k 的取值范围是{k |k ＜2或k ＞4}． 10. 解：(1)因为A ＝{x |3≤x ＜7} ,B ＝{x |2＜x ＜10} , 所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}．(2)因为A＝{x|3≤x＜7} ,所以R A＝{x|x＜3或x≥7}．所以(R A)∩B＝{x|x＜3或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(3)如图,当a＞3时,A∩C≠∅.1．函数y＝f(x)的图象与y轴的交点有()．A．至|少一个B．至|多一个C．一个D．不确定2．以下对应法那么f中,不是从集合A到集合B的映射的是()．A．A＝{x|1＜x＜4} ,B＝[1,3) ,f：求算术平方根B．A＝R ,B＝R ,f：取绝|对值C．A＝{正实数} ,B＝R ,f：求平方D．A＝R ,B＝R ,f：取倒数3．如果(x ,y)在映射f下的象为(x＋y ,x－y) ,那么(1,2)的原象是()．A．3122⎛⎫-⎪⎝⎭，B．3122⎛⎫-⎪⎝⎭，C．3122⎛⎫--⎪⎝⎭，D．3122⎛⎫⎪⎝⎭，4．映射f：A→B ,其中A＝B＝R ,对应法那么f：y＝－|x|＋2 ,x∈A ,y∈B ,对于实数m∈B ,在集合A中不存在原象,那么m的取值范围是()．A．m＞2 B．m≥2C．m＜2 D．m≤25．设集合A＝{0,1} ,B＝{2,3} ,对A中的所有元素x ,总有x＋f(x)为奇数,那么从A到B 的映射f的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．46．以下关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有__________．(1)B中任何一个元素在A中必有原象(2)A中不同元素在B中的象也不同(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的；(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象；(5) B中某一元素在A中的原象可能不止一个；(6)集合A与B一定是数集；(7)记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．7．假设f：A→B是集合A到集合B的映射,A＝B＝{(x ,y) |x∈R ,y∈R} ,f：(x ,y)→(kx ,y ＋b) ,假设B中的元素(6,2) ,在此映射下的原象是(3,1) ,那么k＝________ ,b＝________.8．假设集合A＝{a ,b ,c} ,B＝{－2,0,2} ,f是A到B的映射,且满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0 ,那么这样的映射的个数是__________．9．设A＝B＝{a ,b ,c ,d ,e ,… ,x ,y ,z}(元素为26个英文字母) ,作映射f：A→B为：并称A中字母拼成的文字为明文,相应B中对应的字母拼成的文字为密文．(1)求 "mathematics〞的密文是什么?(2)试破译密文 "ju jt gvooz〞．10．假设f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3 ,k}到集合B＝{4, 7 ,a4 ,a2＋3a}的一个映射,求自然数a ,k及集合A ,B．参考答案1.答案：B解析：由函数的定义知,假设f(x)在x＝0处有定义,那么与y轴必有一个交点,假设f(x)在x＝0处无定义,那么没有交点．2.答案：D解析：D选项中,A中的元素0不存在倒数,不符合映射的定义,应选D．3.答案：B解析：∵(1,2)为象,∴12x yx y+=⎧⎨-=⎩，，解得32x=,12y=-.4.答案：A解析：由于当x∈R时,y＝－|x|＋2≤2 ,所以A中元素在B中的象的取值范围是y≤2 ,所以假设B中实数m不存在原象时,必有m＞2 ,选A．5.答案：A解析：符合要求的映射是：当x＝0时,0＋f(0)＝0＋3＝3是奇数,当x＝1时,x＋f(x)＝1＋f(1)＝1＋2＝3是奇数,其余均不符合要求．6.答案：(3)( 5)7.答案：2 1解析：由3612kb=⎧⎨+=⎩，，解得21.kb=⎧⎨=⎩，8.答案：7解析：符合要求的映射f有以下7个：9.解：(1) "mathematics〞对应的密文是 "nbuifnbujdt〞．(2) "ju jt gvooz〞对应的明文是 "it is funny〞．10.解：∵1对应4,2对应7 ,∴可以判断A中元素3对应的或者是a4 ,或者是a2＋3a. 由a4＝10 ,且a∈N知a4不可能为10.∴a 2＋3a ＝10 ,即a 1＝－5(舍去) ,a 2＝2. 又集合A 中的元素k 的象只能是a 4 , ∴3k ＋1＝16.∴k ＝5.∴A ＝{1,2,3,5} , B ＝{4,7,10,16}．1．函数f (x )由下表给出 ,那么f (2)＝( ).A ．1B ．2C 2．y ＝f (x )的图象如图 ,那么函数的定义域是( )．A ．[－5,6)B ．[－5,0]∪[2,6]C ．[－5,0)∪[2,6)D ．[－5,0]∪[2,6)3．一个面积为100 cm 2的等腰梯形 ,上底长为x cm ,下底长为上底长的3倍 ,那么把它的高y 表示成x 的函数为( )．A ．y ＝50x (x ＞0)B ．y ＝100x (x ＞0)C ．50y x =(x ＞0) D ．100y x =(x ＞0) 4．()2xf x x =+ ,那么f (f (－1))的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．25．某人从甲村去乙村 ,一开始沿公路乘车 ,后来沿小路步行 ,以下图中横轴表示走的时间 ,纵轴表示某人与乙村的距离 ,那么较符合该人走法的图象是( )．6．111fx x⎛⎫=⎪+⎝⎭,那么f(x)＝________.7．函数f(x)满足f(x－1)＝x2 ,那么f(2)＝__________.8．某班连续进行了5次数学测试,其中智方同学的成绩如表所示,在这个函数中,定义域是__________ ,值域是__________.9．的方式是：第|一个月1 000元,以后每个月比上一个月多100元．设该大学生试用期的第x 个月的工资为y元,那么y是x的函数,分别用列表法、图象法和解析法表示该函数关系．10．f(x)是二次函数,且满足f(0)＝1 ,f(x＋1)－f(x)＝2x ,求f(x)的解析式．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C 解析：依题意有12(x ＋3x )y ＝100 ,所以xy ＝50 ,50y x= ,且x ＞0 ,故y 与x 的函数关系式是50y x=(x ＞0)． 4. 答案：C 解析：∵()2x f x x =+ ,∴f (－1)＝112--+＝－1. ∴f (f (－1))＝f (－1)＝112--+＝－1. 5. 答案：D解析：(1)开始乘车速度较快 ,后来步行 ,速度较慢；(2)开始某人离乙地最|远 ,以后越来越近 ,最|后到达乙地 ,符合(1)的只有C ,D ,符合(2)的只有B ,D ．6. 答案：1x x + 解析：令1t x = ,那么1x t = ,将1x t =代入111f x x⎛⎫=⎪+⎝⎭ ,得()1111tf t t t==++.∴()1x f x x =+.7. 答案：9解析：令x －1＝2 ,那么x ＝3 ,而32＝9 ,所以f (2)＝9. 8. 答案：{1, 2,3,4,5} {90,92,93,94,95} 9. 解：(1)该函数关系用列表法表示为：(2)(3)该函数关系用解析法表示为：y＝100x＋900 ,x∈{1,2,3 ,… ,6}．10.解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ,∵f(0)＝1 ,∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x ,∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x ,即2ax＋(a＋b)＝2x.∴22aa b=⎧⎨+=⎩，，解得a＝1 ,b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.1．函数32yx=是()．A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数2．函数f(x)＝x2＋4x＋6在以下哪个区间上是单调递增函数()．A．[－4,4] B．[－6 ,－3]C．(－∞ ,0] D．[－1,5]3．以下说法中,不正确的选项是()．A．图象关于原点成中|心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定经过原点C．偶函数的图象假设不经过原点,那么它与x轴交点的个数一定是偶数D．图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数4．以下图是根据y＝f(x)绘出来的,那么以下判断正确的选项是()．A．a的图象表示的函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数B．b的图象表示的函数y＝f(x)是偶函数C．c的图象表示的函数y＝f(x)是奇函数D．d的图象表示的函数y＝f(x)既不是奇函数也不是偶函数5．函数的图象如下图,那么该函数在下面哪个区间上单调递减()．A．(－∞ ,0]B．[0,1)C．[1 ,＋∞)D．[－1,0]6．假设函数f(x)＝k(x＋2)在其定义域上是单调递减函数,那么k的取值范围是__________．7．f(x)是一个奇函数,且点P(1 ,－3)在其图象上,那么必有f(－1)＝__________.8．函数f(x)的图象如以下图所示,那么其最|大值等于__________ ,最|小值等于__________ ,它的单调增区间是__________．9．通过研究一组学生的学习行为,心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增,但随着时间延长,由于学生的注意力开始分散,因此接受能力开始下降．分析结果说明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图象如以下图：问：自提出问题和描述问题开始多长时间时,学生接受概念的能力最|强?10．一个函数f(x)是偶函数,它在y轴左侧的图象如以下图所示：(1)试画出该函数在y轴右侧的图象；(2)根据图象说明函数在y轴右侧的哪些区间是单调递减函数,哪些区间是单调递增函数?参考答案1.答案：A解析：函数32yx=是反比例函数,画出其图象知关于原点中|心对称,故它是一个奇函数,选A．2.答案：D解析：f(x)＝(x＋2)2＋2 ,它是一条抛物线,对称轴是x＝－2 ,由图象知,它在区间[－1,5]上是单调递增函数,选D．3.答案：B解析：奇函数如果在x＝0时有意义,它一定过原点,但如果x＝0时函数无意义,那它就不过原点,例如1yx=,选B．4.答案：D解析：事实上,a,b,c三个图形根本不是函数的图象,所以谈不上是奇函数还是偶函数,d图是函数图象,但它既不关于原点对称也不关于y轴对称,所以它表示的函数既不是奇函数也不是偶函数,选D．5.答案：B6.答案：k＜07.答案：3解析：∵f(x)是奇函数,其图象必关于原点对称,而点P(1 ,－3)在其图象上,∴点P′(－1,3)也必在其图象上,从而f(－1)＝3.8.答案：3－1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和[1,3]9.解：由图象可知,当x＝13时,曲线到达最|高点,即学生的接受能力最|强．10.解：(1)y轴右侧的图象如以下图：(2)函数在[1,3]和[6,8]上是单调增函数,在[3,6]上是单调递减函数．1．假设区间(a ,b )是函数y ＝f (x )的单调递增区间 ,x 1 ,x 2∈(a ,b ) ,且x 1＜x 2 ,那么有( )．A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．以上都有可能2．以下说法正确的选项是( )．A ．定义在(a ,b )上的函数f (x ) ,假设存在x 1 ,x 2∈(a ,b ) ,且当x 1＜x 2时．有f (x 1)＜f (x 2) ,那么f (x )在(a ,b )上是递增函数B ．定义在(a ,b )上的函数f (x ) ,假设有无穷多对x 1 ,x 2∈(a ,b ) ,且当x 1＜x 2时 ,有f (x 1)＜f (x 2) ,那么f (x )在(a ,b )上是递增函数C ．假设f (x )在区间I 1上是递增函数 ,在区间I 2上也是递增函数 ,那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．假设f (x )在区间I 上是递增函数且f (x 1)＜f (x 2)(x 1 ,x 2∈I ) ,那么x 1＜x 23．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间是( )．A ．[0 ,＋∞)B ．[1 ,＋∞)C ．[1,2]D ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，4．函数()11f x x =-在区间[2,6]上的最|大值和最|小值分别是( )． A ．15 ,1 B ．1 ,15 C ．17 ,1 D ．1 ,175．假设函数f (x )＝ax 2＋3在[0 ,＋∞)上单调递减 ,那么a 的取值范围是( )．A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≤0D ．a ＜06．函数f (x )＝－x 2＋4x 的单调递增区间是__________．7．函数21x y x+=+在区间[2,4]上的最|大值为__________ ,最|小值为__________． 8．函数f (x )是定义在(0 ,＋∞)上的递减函数 ,且f (x )＜f (2x －3) ,那么x 的取值范围是________．9．证明f (x )＝x 2＋6x ＋1在(－3 ,＋∞)上单调递增．10．f (x )是定义域为[－2,2]上的单调递增函数 ,且f (2x －3)＜f (2－x ) ,求x 的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：由函数单调性的定义知当x 1＜x 2时 ,必有f (x 1)＜f (x 2) ,选A ．2. 答案：D解析：A ,B 项都忽略了x 1 ,x 2的任意性．C 项中f (x )在I 1∪I 2上不一定是递增函数 ,如函数()1f x x=-在x ∈(－∞ ,0)上单调递增；在x ∈(0 ,＋∞)上也单调递增 ,但在区间(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞)上不单调递增．对于D 项 ,由增函数的定义可知其正确．3.答案：D解析：由二次函数y ＝x 2－3x ＋2的对称轴为32x =且开口向上 ,所以其单调递减区间为32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， ,应选D ． 4. 答案：B解析：由于f (x ＋h )－f (x ) ＝1111(1)(1)h x h x x h x --=+--+-- , ∵h ＞0 ,x ≥2 ,∴0(1)(1)h x h x -<+--. 故f (x )在[2,6]上单调递减 ,∴f (x )在[2,6]上的最|大值为f (2)＝1 ,最|小值为1(6)5f =. 5. 答案：D解析：f (x ＋h )－f (x )＝[a (x ＋h )2＋3]－(ax 2＋3)＝2ahx ＋ah 2＝ah (2x ＋h )．∵x ＞0 ,hf (x ＋h )－f (x )＜0 ,∴a ＜0.6. 答案：(－∞ ,2]解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4 ,所以其对应图象是抛物线 ,且开口向下 ,对称轴是x ＝2 ,故其单调增区间是(－∞ ,2]．7. 答案：43 65解析：由于f (x ＋h )－f (x )＝2211(++1)(+1)x h x h x h x x h x ++---=+++ , 由于h ＞0 ,x ∈[2,4] ,∴0(++1)(+1)h x h x -< ,故f(x)在[2,4]上单调递减．∴当x＝4 ,函数21xyx+=+有最|小值f(4) ,426(4)145f+==+.∴当x＝2 ,函数21xyx+=+有最|大值f(2) ,224(2)123f+==+.8.答案：33 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析：由题意知23023xxx x>⎧⎪->⎨⎪>-⎩，，，∴32＜x＜3.9.证明：f(x＋h)－f(x)＝(x＋h)2＋6(x＋h)＋1－x2－6x－1＝2hx＋h2＋6h＝h(h＋2x＋6) , ∵h＞0 ,x∈(－3 ,＋∞) ,∴2x＋6＞0 ,h＋2x＋6＞0.∴h(h＋2x＋6)＞0 ,即f(x＋h)－f(x)＞0.故f(x)在(－3 ,＋∞)上单调递增．10.解：∵f(x)是定义在[－2,2]上的函数,∴2232222xx-≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，，解得1522x≤≤.又f(x)在[－2,2]上单调递增,且f(2x－3)＜f(2－x)．故2x－3＜2－x ,∴53 x<.综上可知15 23x≤<.即x的取值范围是15 23x≤<.1．以下函数中,定义域为{x|x＞0}的是()．A．f(x)＝x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)2．函数12y x =( )． A ．(－∞ ,2] B ．(－∞ ,1]C ．(－∞ ,＋∞)D ．无法确定3．函数f (x )＝()12x f x x+=+(0≤x ≤2且x ∈N ＋)的值域是( )． A ．123234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， B ．2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭， C ．304x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ 4．函数02(1)21x y x x +=--的定义域是( )． A ．12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠-⎨⎬⎩⎭且 C ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且 D ．1,1,12x x x x ⎧⎫≠-=-≠⎨⎬⎩⎭且且 5．函数()6123x f x x+=-的值域是( )． A ．{y |y ≠2} B ．12y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭C ．23y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭D ．{y |y ≠－2} 6．假设函数()1x f x x =-的定义域是M ,值域是N ,那么M 与N 之间的关系是__________．7．函数2123y x x=+-__________．8．函数y ＝1－3x __________．9．如下图 ,在一张边长为20 cm 的正方形铁皮的四个角上 ,各剪去一个边长是x cm 的小正方形 ,折成一个容积是y cm 3的无盖长方体铁盒．试写出用x 表示y 的函数解析式 ,并指出它的定义域．10．函数f(x)＝ax＋1(1)当a＝1时,求f(x)的定义域；(2)假设f(x)的定义域是{x|x≤－6} ,求a的值；(3)当a＝2时,求f(x)的值域．参考答案1. 答案：D解析：选项A ,C 中的函数定义域为R ,B 中函数定义域是{x |x ≠0} ,只有D 项符合．2. 答案：A解析：依题意有2－x ≥0 ,∴x ≤2 ,故定义域是(－∞ ,2] ,选A ．3. 答案：B解析：f (1)＝23 ,f (2)＝34 ,故函数值域为2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭， ,选B ． 4. 答案：D 解析：由210,210,x x x +≠⎧⎨--≠⎩得1,1 1.2x x x ≠-⎧⎪⎨≠-≠⎪⎩且 即12x ≠- ,且x ≠－1 ,且x ≠1. 5. 答案：D 解析：61616455223323232x x x y x x x x ++-+==-=-=------ ,函数定义域为23x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭ , 当23x ≠时 ,5032x ≠- ,52232x --≠-- , 即y ≠－2.故函数值域是{y |y ≠－2} ,选D ．6. 答案：M ＝N解析：要使函数有意义 ,应有x －1≠0 ,所以x ≠1 ,即函数定义域是{x |x ≠1}． 又1111111x x y x x x -+===+--- , 当x ≠1时 ,101x ≠- ,y ≠1. 所以值域是{y |y ≠1}．因此M ＝N .7. 答案：{x |x ≤1且x ≠0}解析：要使函数有意义 ,应满足2230,10,x x x ⎧-≠⎨-≥⎩ 即3021x x x ⎧≠≠⎪⎨⎪≤⎩且，，因此x ≤1且x ≠0 ,故函数定义域是{x |x ≤1且x ≠0}．8. 答案：{y |y ≥－5}解析：函数有意义时 ,必满足4－2x ≥0 ,即x ≤2 ,∴定义域是{x |x ≤2}．又f (x ＋h )－f (x )＝[1－3(x ＋h )]－(1－3x＝3h -3h -+, 由于h ＞0 ,x ≤2 ,∴30h -<. 故f (x )在定义域(－∞ ,2]上单调递减．因此f (x )≥f (2)＝－5 ,即值域是{y |y ≥－5}．9. 解：由题意知 ,无盖长方体铁盒的高为x cm ,底面是边长为(20－2x )cm 的正方形． 由20－2x ＞0 ,所以0＜x ＜10 ,那么y ＝x ·(20－2x )2 ,故y 关于x 的函数解析式是y ＝x (20－2x )2 ,其定义域是(0,10)．10. 解：(1)当a ＝1时 ,f (x )＝x ＋1,∴2x －6≥0 ,x ≥3.故函数的定义域是{x |x ≥3}；(2)要使函数有意义 ,应有2ax －6≥0 ,即2ax ≥6 ,ax ≥3.而函数定义域是{x |x ≤－6} ,∴由ax ≥3解得x 的范围应是x ≤－6. ∴036a a<⎧⎪⎨=-⎪⎩，，解得12a =-. (3)当a ＝2时 ,f (x )＝2x ＋1,4x －6≥0 ,32x ≥ ,∴函数定义域是32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 又f (x ＋h )－f (x )＝2(x ＋h )＋12x －1＝2h 2h＞0. ∴f (x )在定义域32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭上单调递增． 故f (x )≥32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4 ,即值域为{y |y ≥4}．1．设函数()1;,1,x f x x x ≥=<⎪⎩那么f (f (2))的值为( )． A ．1 B ．2 C ．0 D ．－22．设函数()21,0;,0,x f x x bx x <⎧=⎨-≥⎩假设f (－2)＝f (3) ,那么实数b 的值等于( )． A ．103- B ．83 C ．32- D ．323．f (x )＝|x －1|的图象是( )．4．设函数()221,1;2,1,x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩假设f (a )＝－2 ,那么a 的值为( )．A ．B ．C ．0D ． 15．假设定义运算a b ＝,;,,b a b a a b ≥⎧⎨<⎩那么函数f (x )＝x (2－x )的值域是( )．A ．(－∞ ,1]B ．(－∞ ,1)C ．(－∞ ,＋∞)D ．(1 ,＋∞)6．设函数()22,2;2,2,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩假设f (x 0)＝8 ,那么x 0＝__________.7．函数()21,2;(3),2,x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩那么f (1)－f (3)＝________.8．函数f (x )的图象如下图 ,那么f (x )＝__________.9．设函数()2,0,1,0,x x f x x ≥⎧=⎨<⎩令g (x )＝f (x －1)＋f (x －2) ,试写出g (x )的表达式．10．为了节约用水,某市出台一项水费政策措施,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水费收根本价1.2元；假设超过5吨而不超过6吨,那么超过局部的水费加收200%；假设超过6吨而不超过7吨,那么超过局部的水费加收400%.如果某人某季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算该季度他应交的水费(单位：元)．参考答案1. 答案：C解析：∵f (2)1 ,∴f (f (2))＝f (1)＝0. 2. 答案：B解析：由于f (－2)＝1 ,f (3)＝9－3b ,于是9－3b ＝1 ,解得83b =.选B. 3. 答案：B解析：由于f (x )＝|x －1|＝1,1;1, 1.x x x x -≥⎧⎨-+<⎩故其图象应为B.4. 答案：A解析：假设a ≤1 ,那么有1－a 2＝－2 ,解得a =a =)；假设a ＞1 ,那么有a 2＋a －2＝－2 ,解得a ＝0或－1 ,均舍去．因此a的值只有5. 答案：A解析：由定义知 ,当x ≥2－x 即x ≥1时 ,f (x )＝2－x ； 当x ＜2－x 即x ＜1时 ,f (x )＝x . 于是()2,1;, 1.x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩当x ≥1时 , y ＝2－x ≤1；当x ＜1时 ,y ＝x ＜1. 于是值域为(－∞ ,1] ,选A. 6.答案： 4解析：当x 0≤2时 ,由x 20＋2＝8得x 0＝)； 当x 0＞2时 ,由2x 0＝8得x 0＝4 ,故x 0＝或4. 7. 答案：7解析：f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝42＋1＝17 ,f (3)＝32＋1＝10 ,∴f (1)－f (3)＝17－10＝7.8. 答案：11,20;21,01x x x x ⎧+-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩解析：当－2≤x ＜0时 , 设f (x )＝kx ＋b ,那么20,1,k b b -+=⎧⎨=⎩解得1,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是f (x )＝12x ＋1； 当0≤x ≤1时 ,设f (x )＝ax ＋c ,那么0,1,a c c +=⎧⎨=-⎩解得1,1,a c =⎧⎨=-⎩于是f (x )＝x －1.于是f (x )的解析式是()11,20;21,0 1.x x f x x x ⎧+-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩9. 解：当x ≥2时 ,x －1≥0 ,x －2≥0 ,g (x )＝2(x －1)＋2(x －2)＝4x －6； 当1≤x ＜2时 ,x －1≥0 ,x －2＜0 ,g (x )＝2(x －1)＋1＝2x －1； 当x ＜1时 ,x －1＜0 ,x －2＜0 ,g (x )＝1＋1＝2.于是()46,2;21,12;2, 1.x x g x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪<⎩10. 解：设该季度他应交水费y 元 ,当0＜x ≤5时 ,yx ； 当5＜x ≤6时 ,应把x 分成两局部：5与x －5分别计算 , ×5 ,第二局部由根本水费与加收水费组成 ,即 1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)×(1＋200%) ,所以y ×5＋1.2(x －5)×x －12；当6＜x ≤7时 ,同理可得 ,y ××(1＋200%)＋1.2(x －6)×(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得 1.2,05;3.612,56;626.4,67.x x y x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩1．函数f (x )＝(x －3)(x ＋5)的单调递减区间是( )． A ．(－∞ ,－1] B ．[－1 ,＋∞) C ．(－∞ ,1] D ．[1 ,＋∞)2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最|值情况是( )． A ．最|小值是8 ,无最|大值 B ．最|大值是－2 ,无最|小值 C ．最|大值是8 ,无最|小值 D ．最|小值是－2 ,无最|大值3．假设抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上 ,那么c 的值为( )． A ．0 B ．3 C ．6 D ．94．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞ ,6)内是递减函数 ,那么实数a 的取值范围是( )． A ．[3 ,＋∞) B ．(－∞ ,3] C ．[－3 ,＋∞) D ．(－∞ ,－3]5．某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.假设要每天获得最|大的销售利润,每件商品的售价应定为()．A．30元B．42元C．54元D．越高越好6．f(x)＝ax2＋2x－6 ,且f(1)＝－5 ,那么f(x)的递增区间是__________．7．假设函数f(x)＝x2＋mx＋3的最|小值是－1 ,那么f(m)的值为__________．8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋20x和L2＝2x,其中销售量单位：辆．假设该公司在两地共销售15辆,那么能获得的最|大利润为__________．9．二次函数y＝－4x2＋8x－3.(1)画出它的图象,并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最|大值；(3)写出函数的单调区间．10．某汽车租赁公司拥有汽车100辆,当每辆汽车的月租金为3 000元时,可全部租出；当每辆汽车的月租金每增加50元时,未租出的汽车将会增加一辆．租出的汽车每辆每月需要维护费150元,未租出的汽车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆汽车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆汽车?(2)当每辆汽车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最|大?最|大月收益是多少?参考答案1. 答案：A解析：f (x )＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15 ,12ba-=- ,所以f (x )的递减区间是(－∞ ,－1] ,选A ．2. 答案：C3. 答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9 , ∴c －9＝0 ,c ＝9. 4. 答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2 , ∵f (x )在(－∞ ,6)内是递减函数 , ∴－2a ≥6 ,∴a ≤－3. 5. 答案：B解析：设日销售利润为y 元 ,那么y ＝(x －30)(162－3x ),30≤x ≤54 ,将上式配方后得y ＝－3(x －42)2＋432 ,当x ＝42时 ,y 取得最|大值．故每件商品的售价定为42元时 ,每天才能获得最|大的销售利润． 6. 答案：(－∞ ,1]解析：由f (1)＝－5得a ＋2－6＝－5 ,所以a ＝－1. 这时f (x )＝－x 2＋2x －6. 又212(1)-=⨯- ,所以f (x )的递增区间是(－∞ ,1]． 7. 答案：35解析：由得2413141m ⨯⨯-=-⨯ , 所以m 2＝16 ,m ＝±4. 当m ＝4时 ,f (m )＝f (4)＝35； 当m ＝－4时 ,f (m )＝f (－4)＝35. 8. 答案：111万元解析：设在甲地销售x 辆 ,那么在乙地销售(15－x )辆．在甲、乙两地的销售利润分别为L 1＝－x 2＋20x 和L 2＝2(15－x )＝30－2x . 于是销售总利润y ＝L 1＋L 2＝－x 2＋20x ＋30－2x ＝－x 2＋18x ＋30.因此当1892(1)x=-=⨯-时,y取最|大值f(9)＝－92＋18×9＋30＝111(万元)．9.解：(1)图象如下图,该图象开口向下；对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)∵f(x)＝－4(x－1)2＋1 ,∴x＝1时,f(x)max＝1.(3)函数在(－∞ ,1]上是递增函数,在[1 ,＋∞)上是递减函数．10.解：(1)当每辆汽车月租金为3 600元时,未租出的汽车辆数为360030001250-=,所以这时租出了88辆汽车．(2)设每辆汽车的月租金定为x元,那么公司月收益为f(x)＝300010050x-⎛⎫-⎪⎝⎭(x－150)－300050x-×50 ,整理得f(x)＝150-x2＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050(x＞150)．∴当x＝4 050时,f(x)最|大,最|大值为307 050.即每辆汽车的月租金定为4 050元时,汽车租赁公司的月收益最|大,最|大月收益是307 050元．1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数,那么f(x)在(－∞ ,0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2 ,x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数,以下结论中,不正确的选项是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．假设偶函数f(x)在区间(－∞ ,－1]上是递增函数,那么()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．假设函数y＝x(ax＋1)是奇函数,那么实数a＝__________. 7．函数f(x)＝x3＋ax＋1 ,f(1)＝3 ,那么f(－1)＝__________.8．f(x)是偶函数,其定义域为R,且在[0 ,＋∞)上是递增函数,那么74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a ,b为常数)满足f(0)＝f(1) ,方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时,求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最|大值和最|小值．参考答案1. 答案：D解析：函数定义域为R ,且f (－x )＝－x 3＋1 , ∴f (x )≠f (－x ) ,且f (x )≠－f (－x )．因此 ,此函数既不是奇函数也不是偶函数． 2. 答案：A解析：由f (x )是偶函数知2m ＝0 ,即m ＝0.此时f (x )＝－x 2＋3 ,开口向下 ,对称轴为y 轴 ,所以在(－∞ ,0)上单调递增．选A ． 3. 答案：A解析：由于f (x )＝(x ＋1)2＋1 ,对称轴为直线x ＝－1 ,因此f (x )在(1,4]上是单调递增的 ,所以当x ∈(1,4]时 ,f (1)＜f (x )≤f (4) ,即5＜f (x )≤26 ,应选A ．4. 答案：D 解析：()1()f x f x =--当f (－x )＝0时不成立 ,应选D ． 5. 答案：C解析：f (x )是偶函数 ,且在(－∞ ,－1]上是递增函数． 而f (2)＝f (－2) ,且－2＜－1.5＜－1 , 所以f (－2)＜f (－1.5)＜f (－1)． 即f (2)＜f (－1.5)＜f (－1) ,应选C ． 6. 答案：0解析：由于f (x )＝x (ax ＋1)＝ax 2＋x ,又f (x )是奇函数 ,必有a ＝0. 7. 答案：－1解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋1得f (x )－1＝x 3＋ax . ∵f (x )－1为奇函数 ,∴f (1)－1＝－[f (－1)－1] ,即f (－1)＝－f (1)＋2＝－3＋2＝－1. 8. 答案：74f ⎛⎫-⎪⎝⎭＜f (2) 解析：∵f (x )是偶函数 ,且在[0 ,＋∞)上是增函数 ,那么7744f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而724< ,∴74f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f (2)． 9. 解：(1)∵f (x )＝x 有两个相等的实数根． ∴x 2＋(a －1)x ＋b ＝0有两个相等的实数根 , ∴Δ＝(a －1)2－4b ＝0.①又f(0)＝f(1) ,∴a＋b＋1＝b.②由① ,②知a＝－1 ,b＝1 ,∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭,x∈[0,4] ,∴12x=时,f(x)有最|小值34.又f(0)＝1 ,f(4)＝13 ,∴f(x)的最|大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1 ,∴f(x)的图象是开口向上,对称轴为x＝a的抛物线,如以下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕,f(x)的最|大值为f(2)＝3－4a ,f(x)的最|小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕,f(x)的最|大值为f(2)＝3－4a ,f (x)的最|小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕,f(x)的最|大值为f(0)＝－1 ,f(x)的最|小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕 ,f(x)的最|大值为f(0)＝－1 ,f(x)的最|小值为f(2)＝3－4a. 1．m是实数,那么以下式子中可能没有意义的是()．A B C D2．假设2＜a＜3 ,()．A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－13．85-⎝⎭化成分数指数幂为( )． A ．13x-B ．415x C ．415x- D ．25x4( )．A． B ．3 C． D5．假设11005a=,212b= ,那么2a ＋b 的值等于( )． A ．10 B ．110C ．1D ．－1 6．其中a ∈R ,n ∈N ＋)这四个式子中 ,没有意义的是__________．7__________． 8．5a ＝3,5b ＝4 ,那么2325a b-的值为__________．9．计算：(1)121203170.02721)79--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)13212332140.1()a b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. 10．x ＋y ＝12 ,xy ＝9 ,且x ＞y ,求11221122x y x y-+的值．参考答案1.答案：C解析：当m＜0时无意义,应选C．2.答案：C解析：∵2＜a＜3 ,∴原式＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.3.答案：B解析：181218118465632563515()()x x x x x⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===原式.4.答案：A===,应选A．5.答案：D解析：由可得102a＝15,10b＝12,于是102a·10b＝110,即102a＋b＝10－1.故2a＋b D．6.解析：,由于(－3)2n＋1＜0 ,故它没有意义．7.答案：7 8 a11117118248824a a a a a++=⋅⋅==. 8.答案：38解析：23322325555a b aa bb--==.由于5b＝4 ,∴33332225(5)428b b====.又5a＝3 ,∴232358a b-=.9.解：(1)11232271251100079--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式＝103－49＋53－1＝－45；(2)333122222233224(2)110a ba b-----⋅⋅=⋅⎛⎫⋅⋅⎪⎝⎭原式＝32224 1025⨯=.10.解：111111122222222111111222222()22()()()x y x y x y x y x y xyx y x yx y x y x y--+-+-===--++-,又x＋y＝12 ,xy＝9 ,那么(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.又x＞y ,∴x－y=∴1293===原式.1．以下函数是指数函数的是()．A．y＝x5B．y＝4x3C．43xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．y＝13x⎛⎫- ⎪⎝⎭＋22．函数f (x)＝132a⎛⎫-⎪⎝⎭·a x是指数函数,那么12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为()．A．2 B．－2 C．-D．3．函数||12xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是()．4．函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)对于任意的实数x ,y都有()．A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )5．f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1) ,且f (－2)＞f (－3) ,那么a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ． a ＞1 C ．a ＜1 D ．0＜a ＜16．函数y =( )． A ．[0 ,＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)7．假设f (x )是指数函数 ,且f (2)－f (1)＝6 ,那么f (x )＝__________. 8．(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－x ,那么x 的取值范围是__________．9．函数y =的定义域是__________．10．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1,2]上的最|大值比最|小值大2a,求a 的值．。

2.1.3 基本不等式的应用必备知识基础练1.(江苏南京高一期末)设实数x满足x>0,则2+3x+4x+1的最小值为( ) A.4√3-1 B.4√3+2C.4√2+1D.62.已知a<0,b<0,a+b=-2,则1a +1b的最大值为( )A.-1B.-32C.-4D.-23.(多选题)(广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则( )A.a+b≤√2B.a+b≤12C.a+b>√2D.1a2+1b2≥44.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h.5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为.6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax +by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.关键能力提升练7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a +1b≥m恒成立,则m的最大值等于( )A.10B.9C.8D.78.(浙江温州高一期末)已知正数a,b满足a+b=1,则4a1-a +b1-b的最小值是( )A.1B.2C.4D.89.(云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是( )A.14B.12C.1D.210.(多选题)(浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( )A.14a +1b的最小值为9B.1a +1b的最小值为9C.(4a+1)(b+1)的最大值为94D.(a+1)(b+1)的最大值为9411.已知代数式x+ax(a>0).(1)若a=1,求当x>0时,x+ax的最小值为;(2)当x>2时,x+ax存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .12.对任意m,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 . 答案：1.A ∵x>0,∴x+1>0,∴2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时等号成立,∴2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A.2.D ∵a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a+1b(a+b)=-122+b a+a b≤-122+2√b a·a b=-2,当且仅当a=b=-1时等号成立,故1a+1b的最大值为-2,故选D.3.AD 因为(a+b)2=a 2+b 2+2ab=1+2ab≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b=√22时等号成立),又a>0,b>0,则a+b≤√2,故A 正确;1a 2+1b 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2=1+b 2a 2+a 2b 2+1≥2+2√a 2b2·b 2a2=2+2=4,当且仅当b 2a 2=a 2b 2,即a=b=√22时等号成立,故D 正确.故选AD.4.10 当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v=v16h,最后一辆车驶完全程共需要400vh,所以一共需要400v+v 16h,由基本不等式,得400v+v 16≥2√400v·v16=10,当且仅当v=80时等式成立,故最少需要10h.5.3 a,b 都是正数,满足2a+b=3, 则a+2b ab=1b+2a=13(2a+b)2a +1b=135+2b a+2a b≥13(5+4)=3,当且仅当2b a=2a b 且2a+b=3,即a=b=1时a+2bab 取得最小值3.6.解x+y=(x+y)(ax +by )=a+bxy +ay x+b=10+bx y+ay x.因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y=ay x时等号成立.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.B2a+1b =2a+1b(2a+b)=5+2b a+2a b≥5+2√2b a·2a b=9,当且仅当2b a=2a b,即a=b=13时等号成立.所以2a+1b的最小值为9.又因为2a+1b≥m 恒成立,所以m≤9,即m 的最大值为9.8.C 因为正数a,b 满足a+b=1, 则4a 1-a+b 1-b =4a b +b a≥2√4a b·ba =4,当且仅当4a b=b a,即b=2a=23时等号成立.故4a1-a+b1-b的最小值是4,故选C.9.B 由题意可知,x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy, 所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y)2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B.10.BC 由题得,14a+1b=(14a +1b )(4a+b)=2+b 4a+4a b≥2+2√b 4a·4ab=4,当且仅当b 4a=4a b,即b=4a 且4a+b=1时等号成立,故14a+1b的最小值是4,故A 不正确;1a +1b =(1a +1b )(4a+b)=5+b a+4a b≥5+2√b a·4a b=9,当且仅当b a=4a b,即b=2a且4a+b=1时等号成立,1a+1b的最小值为9,故B 正确; (4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+1=b+1,即b=4a=12时等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC.11.(1)2 (2)5(答案不唯一,只要a>4即可) (1)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2√x ·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+a x ≥2√x ·a x =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意. 12.2√2 ∵m,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0, ∴m 2+2n 2≥amn,即a≤m 2+2n 2mn=m n+2n m恒成立.∵mn +2n m≥2√m n·2n m=2√2,当且仅当m=√2n 时等号成立,∴a≤2√2,即最大值为2√2.。

湘教版高中数学必修第一册-3.2.1函数的单调性与最值-专项训练（原卷版）A组夯基精练一、单项选择题1．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为()A∞，12B．12，1C．[1，＋∞)D∞，12∪[1，＋∞)2．若函数f(x)＝2x2＋31＋x2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C．3D．43．已知函数f(x)＝30＋ax2＋a在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0，3)B．(－∞，－2)∪(0，3]C．(－∞，－2)∪(0，10)D．(－∞，－2)∪(0，10]4．已知函数f(x)＋1，x＜0，x2，x≥0，则不等式f(2a2－1)＞f(3a＋4)的解集为()A．(－∞，－1)BC．(－∞，－1)D1二、多项选择题5．已知函数f(x)＝x－ax(a≠0)，下列说法正确的是() A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．当a＞0时，f(x)的值域为R6．已知函数f(x)，x≤a，2＋2x＋1，x＞a，则下列结论正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数三、填空题7．若函数f(x)＝2x＋mx＋1在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝____．8．已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为____．9．已知f(x)a－1)x＋2a，x＜1，x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＜0恒成立，那么实数a的取值范围是__．四、解答题10．已知函数f(x)＝2x－1x＋1.(1)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并证明你的判断；(2)若x∈[1，m]，f(x)的最大值与最小值的差为12，求m的值．11．已知函数f(x)＝xx2＋1.(1)根据定义证明函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减；所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．(2)若不等式f(x)＜b对一切实数x都成立，求b的取值范围．B组滚动小练12．若函数y＝f(2x)的定义域是[0，1012]，则函数g(x)＝f(x＋1)x－1的定义域是()A．[－1，2023]B．[－1，1)∪(1，2023]C．[0，2024]D．[－1，1)∪(1，2024]13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝8}中的元素个数是()A．10B．9C．8D．714．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x －c.(1)求证：方程f(x)＝0必有两个不相同的根；(2)若方程f(x)＝0的两个根分别为x1，x2，求|x2－x1|的取值范围．湘教版高中数学必修第一册-3.2.1函数的单调性与最值-专项训练（解析版）A 组夯基精练一、单项选择题1．函数g (x )＝x |x －1|＋1的单调递减区间为(B )A ∞，12B ．12，1C ．[1，＋∞)D ∞，12∪[1，＋∞)【解析】g (x )＝x |x －1|＋12－x ＋1，x ≥1，x 2＋x ＋1，x ＜1，画出函数图象如图所示，根据图象知函数g (x )的单调递减区间为12，1.2．若函数f (x )＝2x 2＋31＋x 2，则f (x )的最大值为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝2x 2＋31＋x 2＝2＋1x 2＋1，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0＜1x 2＋1≤1，所以f (x )∈(2，3]，故f (x )的最大值为3.3．已知函数f (x )＝30＋ax2＋a在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a 的取值范围是(B)A ．(－∞，－2)∪(0，3)B ．(－∞，－2)∪(0，3]C ．(－∞，－2)∪(0，10)D ．(－∞，－2)∪(0，10]【解析】因为函数f (x )＝30＋ax2＋a在[－10，－3]上单调递增，所以a (2＋a )＞0，且30＋ax ≥0在[－10，－3]上恒成立，(2＋a )＞0，－10a ≥0，－3a ≥0，解得a ＜－2或0＜a ≤3.4．已知函数f (x )＋1，x ＜0，x 2，x ≥0，则不等式f (2a 2－1)＞f (3a ＋4)的解集为(D )A ．(－∞，－1)BC ．(－∞，－1)D 1【解析】函数f (x )＋1，x ＜0，x 2，x ≥0中，y＋1在(－∞，0)上单调递减，y ＝2－x 2在[0，＋∞)＋1＝2－02，则函数f (x )＝＋1，x ＜0，x 2，x ≥0在定义域R 上单调递减．因为f (2a 2－1)＞f (3a ＋4)，所以2a 2－1＜3a ＋4，解得－1＜a ＜52，即不等式f (2a 2－1)＞f (3a ＋4)1二、多项选择题5．已知函数f (x )＝x －ax (a ≠0)，下列说法正确的是(BCD )A ．当a ＞0时，f (x )在定义域上单调递增B ．当a ＝－4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C ．当a ＝－4时，f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．当a ＞0时，f (x )的值域为R【解析】当a ＞0时，f (x )＝x －ax ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，当x →0时，f (x )→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋4x为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋4x＝－(－x)－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．6．已知函数f(x)，x≤a，2＋2x＋1，x＞a，则下列结论正确的是(ABD) A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数【解析】对于A，当a＝0时，函数f(x)，x≤0，2＋2x＋1，x＞0，当x≤0时，f(x)为减函数，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(0，1)，故A正确；对于B，当x≤a时，f(x)为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于正无穷，即f(x)没有最大值，当x＞a时，f(x)＝－x2＋2x＋1的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a为何值，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷，即f(x)没有最小值，故B正确；对于C，当x≤a时，函数f(x)的图象与x轴没有交点，当x＞a时，由－x2＋2x＋1＝0得x ＝1＋2或x＝1－2，所以当a≥1＋2时，函数f(x)＝－x2＋2x＋1(x＞1＋2)的图象与x轴没有交点，故C错误；对于D，当a≥1＋2时，函数f(x)在(－∞，a]上为减函数，函数f(x)＝－x2＋2x＋1在(a，＋∞)＞0，－a2＋2a＋1＝－(a－1)2＋2≤0＞－a2＋2a＋1，所以此时函数f(x)为R上的减函数，故D正确．三、填空题7．若函数f(x)＝2x＋mx＋1在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝__3__．【解析】因为函数f(x)＝2x＋mx＋1＝2＋m－2x＋1，由复合函数的单调性知，当m＞2时，f(x)＝2x＋mx＋1在[0，1]上单调递减，最大值为f(0)＝m＝3；当m＜2时，f(x)＝2x＋mx＋1在[0，1]上单调递增，最大值为f(1)＝2＋m2＝3，即m＝4，与m＜2矛盾，舍去．故实数m＝3.8．已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为__－4__．【解析】在同一平面直角坐标系中作出两函数图象如图所示．由图可得，函数f(x)＝x－8与g(x)＝3x－x2的交点为(4，－4)，(－2，－10)，所以m(x)＝min{f(x)，g(x)}x－x2，x∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)，－8，x∈(－2，4)，故m(x)max＝m(4)＝－4.9．已知f(x)a－1)x＋2a，x＜1，x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＜0恒成立，那么实数a的取值范围是．【解析】由函数单调性定义可得函数f(x)在R上单调递减，则根据分段函数a－1＜0，＜a＜1，a－1＋2a≥a，解得13a＜12四、解答题10．已知函数f(x)＝2x－1x＋1.(1)判断f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并证明你的判断；【解答】f (x )在[0，＋∞)上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).因为0≤x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，故f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[0，＋∞)上单调递增．(2)若x ∈[1，m ]，f (x )的最大值与最小值的差为12，求m 的值．【解答】由(1)可知f (x )在[1，m ]上为增函数，故f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (m )＝2m －1m ＋1，所以2m －1m ＋1－12＝12，故m ＝2，此时m ＞1，符合题意．11．已知函数f (x )＝xx 2＋1.(1)根据定义证明函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；【解答】任取x 1＞x 2＞1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1).因为x 1＞x 2＞1，所以(x 21＋1)(x 22＋1)＞0，x 1x 2－1＞0，x 2－x 1＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．(2)若不等式f (x )＜b 对一切实数x 都成立，求b 的取值范围．【解答】因为函数f (x )＝xx 2＋1的定义域为R ，所以f (－x )＝－x x 2＋1＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由(1)知函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，任取0≤x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1).因为0≤x 1＜x 2＜1，所以(x 21＋1)(x 22＋1)＞0，x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在[0，1)上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝12.又f (0)＝0，且x ＝0是方程f (x )＝0唯一的根，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )∈0，12，又f (x )为奇函数，所以f (x )∈－12，12.不等式f (x )＜b 对一切实数x 都成立，则b ＞f (x )max＝12，即b B 组滚动小练12．若函数y ＝f (2x )的定义域是[0，1012]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是(B)A ．[－1，2023]B ．[－1，1)∪(1，2023]C ．[0，2024]D ．[－1，1)∪(1，2024]【解析】函数y ＝f (2x )的定义域是[0，1012]，即x ∈[0，1012]，则2x ∈[0，2024]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[0，2024]，从而函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域≤x ＋1≤2024，－1≠0，解得－1≤x ≤2023且x ≠1，故g (x )的定义域是[－1，1)∪(1，2023].13．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝8}中的元素个数是(B)A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※b ＝a ＋b ＝8，故(a ，b )是(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※b ＝ab ＝8，故(a ，b )是(1，8)，(8，1)，故共有9个元素．14．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c .(1)求证：方程f (x )＝0必有两个不相同的根；【解答】由题意知ca ＝1·t ＞0，所以ac ＞0.对于方程f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c ＝0，因为Δ＝(a －b )2＋4ac ＞0恒成立，所以方程f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c ＝0必有两个不相同的根.(2)若方程f(x)＝0的两个根分别为x1，x2，求|x2－x1|的取值范围．【解答】因为ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，所以1和t为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，t＞10，b＋c＝0，t，＜0，＝－a－c，＝at，所以|x2－x1|2＝(x2＋x1)2－4x2x1＋4ca＝＋4ca ＝＋8·ca＋4.又ca＝t(t＞1)，则|x2－x1|2＝t2＋8t＋4＝(t＋4)2－12.因为t＞1，所以(t＋4)2－12＞13，所以|x2－x1|∈(13，＋∞。

1.2 常用逻辑用语A级必备知识基础练①空集是任何集合的子集;②若x∈R,则x2-x+1=0;③若a>b,则ac2>bc2.A.1B.2C.3D.0①多边形的外角和与边数有关;②{x∈N|是合数.A.1B.2C.3D.4(1)p:梯形有一组对边平行;(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解;(3)p:函数y=x2-2x+2没有零点.B级关键能力提升练A.2 023是一个大数B.若两直线平行,则这两条直线没有公共点C.y=kx+b(k≠0)是一次函数吗?D.a≤15A.4B.2C.0D.-3①所有人都喜欢吃苹果;②若a>b,则a+c>b+c;③空集是任何集合的真子集.A.0个B.1个C.2个D.3个答案：1.C5.C 方程x2+ax+1=0没有实数根,则应满足Δ=a2-4<0,即a2<4,故当a=0时符合.故选C.6.B 对于①,人群中有的人喜欢吃苹果,也存在着不喜欢吃苹果的人; 对于②,根据不等式的性质,若a>b,则a+c>b+c;对于③,空集是任何非空集合的真子集.故选B.7.在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B不都是锐角8.3 ①两条平行线被第三条直线所截形成的同位角是相等的角,但同位角不是对顶角;②当a=0,b≠0时,a2+b2=0不成立;③M∩N=M,说明M⊆N.9.解因为ax2-2ax-3>0不成立,所以ax2-2ax-3≤0恒成立.(1)当a=0时,-3≤0成立;(2)当a≠0时,应满足{a<0,Δ≤0,解得-3≤a<0.由(1)(2),得a的取值范围为[-3,0].。

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.5函数模型及其应用4.5.1几种函数增长快慢的比较课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)有一组实验数据如表所示:则下列所给函数模型较不适合的有()A.y=log a x(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=log a x+b(a>1)y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.2.(多选题)下面对函数f(x)=lo g12x与g(x)=12x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法错误的有()A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快f(x)与g(x)图象如下图所示,由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.3.下列函数增长速度越来越慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x4.(2021福建福州高一期中)某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路返回b km(a>b),再前进c km,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是()5.某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的. 6.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1Δy2(填“>”“=”或“<”).(图略)可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.7.某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:x+a.若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lo g12(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式;(2)因受到影响,2024年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,求出2024年的年产量.符合条件的是f(x)=ax+b,理由:若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f (2)=6,f (3)=10,f (4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f (x )=lo g 12x+a ,则f (x )是减函数,与已知不符合. 由已知得{a +b =4,3a +b =7,解得{a =32,b =52.所以f (x )=32x+52,x ∈N +.(2)2024年预计年产量为f (7)=32×7+52=13,2024年实际年产量为13×(1-30%)=9.1. 所以2024年的年产量为9.1万件.关键能力提升练8.(2021北京海淀高一期末)下图为某种植物1~5年内的植株高度,根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律,下列函数模型符合要求的是( )A.y=ka x +b (k>0,a>0,且a ≠1)B .y=k log a x+b (k>0,a>0,且a ≠1)C .y=k x+b (k>0)D .y=ax 2+bx+c (a>0),植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B 符合.故选B . 9.当0<x<1时,f (x )=x 2,g (x )=x 12,h (x )=x -2的大小关系是( ) A.h (x )<g (x )<f (x ) B.h (x )<f (x )<g (x ) C.g (x )<h (x )<f (x )D.f (x )<g (x )<h (x )f (x )=x 2,g (x )=x 12,h (x )=x -2的图象,由图象知,D正确.10.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有()(1)这几年人民生活水平逐年得到提高;(2)人民生活费收入增长最快的一年是2016年;(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年;(4)虽然2018年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.A.1项B.2项C.3项D.4项,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在2016~2017年最陡,故(2)正确;“生活费价格指数”在2017~2018年最平缓,故(3)不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”呈上升趋势,故(4)正确.11.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(单位:月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有(),当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.12.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述正确的是()A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确.故选BD.13.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>1时,甲在最前面;②当x>1时,乙在最前面;③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面;④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.其中正确结论的序号为.f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面,则③正确;结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确.14.(2021福建福州三中高一期末)某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m 2,经过3个月其覆盖面积约为27 m 2.现水葫芦覆盖面积y (单位:m 2)与经过x (x ∈N +)个月的关系有两个函数模型y=ka x (k>0,a>1)与y=log a (x+1)+q (a>1)可供选择.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式; (2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍?∵y=ka x (k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=log a (x+1)+q (a>1)的增长速度越来越慢,∴依题意应选函数y=ka x (k>0,a>1),则{ka 2=18,ka 3=27, 解得{a =32,k =8.故y=8(32)x (x ∈N +).(2)设经过x 个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,则k ·(32)x ≥k×100.∵k>0,则(32)x≥100,故x ≥lo g 32100=lg100lg 32=2lg3-lg2≈11.36. ∵x ∈N +,故x=12.即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.学科素养创新练15.(多选题)(2021北京丰台高一期末)已知函数f 1(x )=2x ,f 2(x )=2x+1,g 1(x )=log a x (a>1),g 2(x )=kx (k>0),则下列结论正确的是( )A.函数f 1(x )和f 2(x )的图象可能有两个交点 B .∃x 0∈R ,当x>x 0时,恒有g 1(x )>g 2(x ) C .当a=2时,∃x 0∈(0,+∞),f 1(x 0)<g 1(x 0) D .当a=1k 时,方程g 1(x )=g 2(x )有解A,指数函数f 1(x )=2x 与一次函数f 2(x )=2x+1都过(0,1),但f 1(x )=2x 在x 增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数f 1(x )和f 2(x )的图象有两个公共点,故A 正确;对于B,取x=0,g 2(x )=kx (k>0)=0,当x →0时,g 1(x )=log a x (a>1)→-∞,此时g 1(x )<g 2(x ),故B错误;对于C,当a=2时,指数函数f 1(x )=2x 与对数函数g 1(x )=log 2x 互为反函数,两函数图象关于直线y=x 对称,如图所示,由图可知,∀x ∈R ,有f 1(x )>g 1(x )恒成立,故C 错误;对于D,当a=1k 时,g 1(x )=lo g 1kx ,g 2(x )=kx (k>0),由a>1知,1k >1,且两个函数都过点1k,1,即方程g 1(x )=g 2(x )有解,故D 正确.故选AD .。

第1章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|N=( )A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )A.M∪NB.∁U(M∪N)C.(∁U M)∩ND.∁U(M∩N),1}={a2,a+b,0},则a2 023+b2 023的值为( ) 5.已知a,b∈R,若集合{a,baA.-1B.0C.1D.-1或06.集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.若B ⊆A,则实数a 的取值范围是( ) A.[-13,1)B.[-13,1]C.(-∞,-1)∪[0,+∞)D.[-13,0)∪(0,1)7.设集合A={x|x 2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,求实数a 组成的集合的子集个数是( ) A.6 B.3C.4D.88.设集合A={x|a-1<x<a+1},B={x|1<x<5}.若A∩B=⌀,则实数a 的取值范围是( ) A.[0,6]B.(-∞,2]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪[6,+∞)D.[2,4]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则( )A.A∩B={0,1}B.∁U B={4}C.A∪B={0,1,3,4}D.集合A的真子集个数为810.已知集合A={2,3},B={x|m可以是( )A.3或2B.1C.0D.-111.下列说法正确的是( )A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要而不充分条件C.“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”D.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x 轴于正半轴”的充要条件三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.13.已知全集U={0,1,2,3},A={= .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|-2<x+1<2},求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B).16.(15分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.17.(15分)已知p:实数x满足a<x<4a(其中a>0),q:实数x满足2<x≤5.(2)若p是q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.18.(17分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.19.(17分)已知集合A n={(x1,x2,…,x n)|x i∈{0,1}(i=1,2,…,n)},若x,y ∈A n,记x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n),定义x⊗y=(x1+y1)(x2+y2)…(x n+y n).(1)若x=(1,1,1,1)且x⊗y=4,求y;(2)令B={+n为偶数(card(B)表示集合B中元素的个数);(3)若集合A ⊆A n ,且A 中的每一个元素均含有4个0和4个1,对任意N={-1,0,1},故选B.2.C 由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},则A∩B={1,2}.3.A 由x 3>8,得x>2⇒|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x 3>8,比如x=-3.所以“x 3>8”是“|∪N 的补集.5.A ∵{a,ba ,1}={a 2,a+b,0},∴b=0,∴{a,0,1}={a 2,a,0},则1=a 2,解得a=-1或a=1(舍去).则a+b=-1.故选A. 6.A ∵B ⊆A,∴①当B=⌀时,即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意.②当B≠⌀时,即ax+1≤0有解,当a>0时,可得x≤-1a ,要使B ⊆A,则需要{a >0,-1a<-1,解得0<a<1.当a<0时,可得x≥-1a ,要使B ⊆A,则需要{a <0,-1a≥3,解得-13≤a<0.综上,实数a 的取值范围是[-13,1).故选A.7.D A={3,5},B={x|ax=1},∵A∩B=B,∴B ⊆A. ∴①当a=0时,B=⌀,符合题意; ②当B≠⌀时,1a=3或1a=5,∴a=13或a=15,∴实数a 组成的集合的元素有3个,∴实数a组成的集合的子集个数为23=8.故选D.8.C ∵A={x|a-1<x<a+1},∴A≠⌀.又A∩B=⌀,如图可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6,即a的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).9.AC 因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁U B={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.10.AC 当m=0时,方程m≠0时,B={6m },因为B⊆A,所以6m=2或6m=3,解得m=3或m=2.对于C,“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”;对于D,当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,显然交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.当一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴时,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=5-bk-4>0,因为b<5,所以k>4.所以选项D中的说法是正确的.12.∃x∈[0,+∞),x2+x<013.-3 ∵∁U A={1,2},∴A={0,3},∴0,3是关于=-3.15.解B={x|-3<x<1},(1)因为A={x|0<x≤2},所以A∩B={x|0<x<1}.(2)∁U A={x|x≤0或x>2},∁U B={x|x≤-3或x≥1},所以(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-3或x>2}.16.解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是(2,+∞).17.解(1)若a=1,p为真,p:1<x<4,q为真,q:2<x≤5.(2)设A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x≤5}.∵p是q的必要而不充分条件,∴B⫋A,∴{a≤2,4a>5,∴解得54<a≤2.综上所述,a的范围为(54,2].18.解集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.(1)A 是空集,即方程ax 2-3x+2=0无解,得{a ≠0,Δ=(-3)2-8a <0,∴a>98,即实数a 的取值范围是(98,+∞).(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=23;当a≠0,且Δ=0,即a=98时,方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素43,∴当a=0或a=98时,A 中只有一个元素,分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素,包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a=0或a≥98,即a 的取值范围是{a |a =0,或a ≥98}.19.(1)解由4=1×1×1×4=1×1×2×2(不考虑顺序),而x i +y i 只可能为0或1或2,则x ⊗y=4只可能为2个y i 为0,2个y i 为1,∴y=(1,1,0,0)或(1,0,1,0)或(1,0,0,1)或(0,0,1,1)或(0,1,1,0)或(0,1,0,1).(2)证明由(1)可得+n=2n+2=2(n+1)为偶数.(3)解4=1×1×1×1×1×1×2×2,也就是取y 时,与x 中为1的位置恰好只有2个重合也为1,x 中0的位置y 中为1,则此时y 中1的个数为4+2=6,与4个0和4个1不符,无法找出这样的元素.。

6.3 统计图表必备知识基础练1.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果,根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为( )A.250B.150C.400D.3002.某位教师的家庭总收入为80 000元,各种用途占比统计如下面的折线统计图.家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形统计图,已知的就医费用比的就医费用增加了4 750元,则该教师的旅行费用为( )A.21 250元B.28 000元C.29 750元D.85 000元3.某人一周的总开支如图1所示,这周的食品开支如图2所示,则他这周的肉类开支占总开支的百分比为( )A.30%B.10%C.3%D.0.3%4.(多选题)如图为某商场一天营业额的扇形统计图,根据统计图你能得出的信息为( )A.该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%B.服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元C.家用电器部所得利润最高D.副食的销售额为该商场营业额的10%5.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为.6.为了了解学生参加体育活动的情况,某校对学生进行了随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”,共有4个选项可供选择:A.1.5小时以上B.1~1.5小时C.0.5~1小时D.0.5小时以下下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答以下问题:(1)本次一共调查了多少名学生?(2)在图(1)中将选项B对应的部分补充完整.(3)若该校有3 000名学生,你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下?关键能力提升练7.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.全国人口普查资料表明,随着我国社会经济的快速发展、人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善,我国人口平均预期寿命继续延长,国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况,依据此图,下列结论错误的是( )A.男性的平均预期寿命逐渐延长B.女性的平均预期寿命逐渐延长C.男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D.女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性8.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.为进一步在社会上普及垃圾分类知识,某中学学生积极到社会上举行垃圾分类的公益讲座,该校学生会为了解本校高一年级1 000名学生课余时间参加公益讲座的情况,随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下:下列估计该校高一学生参加公益讲座的情况正确的是( )A.参加公益讲座次数是3场的学生约为360人B.参加公益讲座次数是2场或4场的学生约为480人C.参加公益讲座次数不高于2场的学生约为280人D.参加公益讲座次数不低于4场的学生约为360人9.新中国成立以来,我国共进行了七次人口普查,这七次人口普查的城乡人口数据如下:根据该图数据,下列说法中不正确的是( )A.城镇人口总数逐次增加B.乡村人口数达到最高峰是第四次C.和前一次相比,城镇人口比重增量最大的是第七次D.城镇人口数均少于乡村人口数10.以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图1、图2解答下列问题:(1)来自该店财务部的数据报告表明,该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元,请将图1中的统计图补充完整;(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元?(3)小刚观察图2后,认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了,你同意他的看法吗?请说明理由.学科素养创新练11.一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在[20,60]内的顾客中,随机抽取了200人,调查结果如图所示:为推广移动支付,超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有10 000人购物,试根据上述数据估计该超市当天应准备多少个环保购物袋.答案：1.A 甲组人数是120,占30%,则总人数是12030%=400(人),则乙组人数是400×7.5%=30(人),则丙、丁两组人数和为400-120-30=250.2.C 由题意可知,的就医花费为80000×10%=8000(元),则的就医花费为8000+4750=12750(元),的旅行费用为1275015%×35%=29750(元).故选C.3.B 由图1知食品开支占总开支的30%,由图2知肉类开支占食品开支的100100+30+40+80+50=13,所以肉类开支占总开支的百分比为13×30%=10%.故选B.4.ABD 由图可知商场家用电器销售额为全商场营业额的40%,故A正确;由图可知,副食的销售额占比为1-40%-30%-20%=10%,故D正确;由副食的销售额和占比可得商场一天总的营业额为5800÷10%=58000元,故服装鞋帽和百货日杂的销售额为58000×(20%+30%)=29000元,故B正确;由于图中不涉及利润,因此选项C中的信息不能得出,C错误.5.0.03 3 因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可知从身高在[140,150]内抽取的学生人数为0.10.3+0.2+0.1×18=3.6.解(1)由图(1)知,选A的人数为60,而图(2)显示选A的人数占总人数的30%,故本次调查的总人数为60÷30%=200.(2)由图(2)知,选B的人数占总人数的50%,因此其人数为200×50%=100,图(1)补充如图所示:(3)根据图(2)知:平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%,以此估计得3000×5%=150(人).7.C 由图形可知,男性的平均预期寿命逐渐延长,女性的平均预期寿命也在逐渐延长,A,B选项均正确;从1981年到,男性的平均预期寿命的增幅为72.38-66.28=6.1,女性的平均预期寿命的增幅为77.37-69.27=8.1,所以,女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性,C选项错误,D选项正确.故选C.8.D 参加公益讲座次数是3场的学生约为1000×0.26=260(人),故A错误;参加公益讲座次数是2场或4场的学生约为1000×(0.2+0.18)=380(人),故B错误;参加公益讲座次数不高于2场的学生约为1000×(0.2+0.1+0.08)=380(人),故C错误;估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为1000×(0.18+0.12+0.04+0.02)=360(人),故D正确.故选D.9.D 由图象可得城镇人口总数逐次增加,故A正确;由图可得乡村人口数达到最高峰是第四次,故B正确;第二次与第一次相比,城镇人口比重增量为18.30%-13.26%=5.04%,第三次与第二次相比,城镇人口比重增量为20.91%-18.30%=2.61%,第四次与第三次相比,城镇人口比重增量为26.44%-20.91%=5.53%,第五次与第四次相比,城镇人口比重增量为36.22%-26.44%=9.78%,第六次与第五次相比,城镇人口比重增量为49.68%-36.22%=13.46%,第七次与第六次相比,城镇人口比重增量为63.89%-49.68%=14.21%,所以和前一次相比,城镇人口比重增量最大的是第七次,故C正确;,城镇人口数高于乡村人口数,故D错误.故选D. 10.解(1)290-(85+80+65)=60(万元),补图如下图.(2)85×23%=19.55(万元),所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.(3)不同意.理由如下:3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元),4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元),而10.8<11.05,因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了.11.解根据图中数据,得到如下表格:计算得该超市使用移动支付的频率为20+25+25+15+15+10+8+7200=58,所以该超市预计当天应准备环保购物袋的个数为10000×58=6250.第11页共11页。

湘教版（2019）必修第一册课本习题2.1.3基本不等式的应用一、解答题(共99 分)如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．1. 现有可围36m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？2. 若每间虎笼的面积为20m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【答案】1. 长为92m，宽为185m2. 长为5m，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为xm，宽为ym，则每间老虎笼的面积为S=xy，可得出4x+5y=36，利用基本不等式可求得S的最大值，利用等号成立的条件求出x、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为xm，宽为ym，则xy=20，利用基本不等式可求得钢筋网总长4x+5y的最小值，利用等号成立的条件求出x、y的值，即可得出结论.【1题详解】解：设每间老虎笼的长为xm，宽为ym，则每间老虎笼的面积为S=xy，由已知可得4x+5y=36，由基本不等式可得S=xy=120⋅4x⋅5y≤120×(4x+5y2)2=815(m2)，当且仅当{4x =5y 4x +5y =36 ，即当{x =92y =185 时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为92m ，宽为185m 时，可使得每间虎笼的面积最大. 【2题详解】解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，钢筋网总长为4x +5y ≥2√20xy =40(m )，当且仅当{4x =5y xy =20，即当{x =5y =4 时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.3.现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的中间印刷面积为128dm 2，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最小？【答案】当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小.【分析】设版心的高为xdm ，于是版心的宽为128x dm ，表示出四周空白面积，再利用函数单调性(或基本不等式)求其最值即可．【详解】设版心的高为xdm ，则版心的宽为128x dm ， 此时四周空白面积为：s(x)=(x +4)(128x +2)−128=2x +512x +8=2(x +256x )+8≥2×2√x ⋅256x +8=72，当且仅当x ＝256x ，即x ＝16时取等号，∴当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小．【点睛】。

（湘教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总1．下列集合中有限集的个数是()．①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．42．下列说法正确的个数是()．①集合N中最小的数是1；②－a不属于N＋，则a∈N＋；③所有小的正数构成一个集合；④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素．A．0 B．1 C．2 D．33．下列选项正确的是()．A．x－5∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．5∈Z4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．26．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法：①大于6的所有整数构成一个集合；②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合；③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合；④若a∈N，则－a∉N；⑤若x＝2，则x∉Q.其中正确说法的序号是__________．8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素．9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+是不是集合A中的元素．10．数集M满足条件：若a∈M，则11aa+-∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．参考答案1. 答案：C解析：④为无限集，①②③为有限集． 2. 答案：A解析：集合N 中最小的数应为0，所以①错；12a =时，－a ∉N ＋，且a ∉N ＋，故②错；“小的正数”不确定，不能构成集合，③错；方程x 2－4x ＋4＝0只有一个解x ＝2，它构成的集合中只有一个元素，故④错．3. 答案：D解析：x 的值不确定，故x －5的值不一定是正整数，故A 错；应有π∈R,1∈Q ，故B ，C 均错．4. 答案：D解析：S 中含有三个元素，应互不相等，即三角形的三条边互不相等，故该三角形一定不是等腰三角形．5. 答案：C解析：将各个值代入检验，只有a ＝6使得集合M 中元素满足互异性． 6. 答案：a ≠2且a ≠－2解析：由集合元素的互异性知a 2－3≠1，a 2≠4，所以a ≠2且a ≠－2. 7. 答案：①③⑤解析：“著名运动员”的性质不确定，不能构成集合，故②不正确；当a ＝0时，a ∈N ，且－a ∈N ，故④错误．8. 答案：2解析：方程x 2－3x ＋2＝0的解是1和2，方程x 2－4x ＋4＝0的解是2，它们构成的集合中仅含有2个元素．9. 解：由于6-+3×(－2)×2，且－2∈Z,2∈Z ，所以6-+A中的元素，即6-+A ．1＝3×13＋1，但由于13∉Z ，不是集合A ∉A ． 10. 解：∵a ＝3∈M ，∴1132113a a ++==---∈M .∴121123-=-+∈M.∴11131213-=+∈M.∴1123112+=-∈M.∴M中的元素有：3，－2，13-，12.1．已知集合A＝{x∈N|x≤≤，则有()．A．－1∈A B．0∈ACA D．2∈A2．集合M＝{x|x2－6x＋9＝0}的所有元素之和等于()．A．3 B．6 C．9 D．03．方程组3,1x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为()．A．3, (,)1x yx yx y⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B．1, (,)2xx yy⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C．{1,2}D．{(1,2)}4．下列集合中为∅的是()．A．{0} B．{x|x2－1＝0}C．{x|x＜0} D．{x|x2＋1＝0}5．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0有唯一实数解}，则A用列举法可表示为()．A．A＝{1} B．A＝{0}C．A＝{0,1} D．A＝{0}或{1}6．集合{x|－3≤x≤3，x∈N}，用列举法表示为________．7．若集合A＝{x|2x－5＜x－1}，B＝，＋∞)，用适当的符号填空：①4________A；B；③－2________A；④1________B．8．用描述法表示集合1111,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭为__________．9．用适当的方法表示下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集．(1)方程x2－9＝0的解集；(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；(3)不等式x－3＞2的解集；(4)抛物线y＝x2上的点集；(5)方程x2＋x＋1＝0的解集．10．已知集合A＝{x|x2＋2x＋m＝0}．(1)若2∈A，求实数m的值；(2)若集合A中有两个元素，求m的取值范围；(3)若集合A是空集，求m的取值范围．参考答案1.答案：B解析：A＝{x∈N|x≤≤＝{0,1}，因此0∈A．2.答案：A解析：M＝{x|x2－6x＋9＝0}＝{x|(x－3)2＝0}＝{x|x＝3}＝{3}，即M中仅有一个元素3.3.答案：C解析：方程组只有一个解，解的形式是数对，而C选项中的集合中含有两个元素，且元素是实数，不是数对，故不可能是方程组的解集．4.答案：D解析：选项D中的集合表示方程x2＋1＝0的解集，该方程没有实数解，故该集合为∅.5.答案：C解析：当a＝0时，方程2x＋1＝0有唯一解12x=-；当a≠0，且Δ＝22－4a＝0，即a＝1时，方程x2＋2x＋1＝0有唯一解x＝－1.6.答案：{0,1,2,3}解析：集合{x|－3≤x≤3，x∈N}表示不小于－3且不大于3的自然数，因此只有0,1,2,3四个元素．7.答案：①∉②∈③∈④∉8.答案：1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且解析：观察元素1，12，13，14的特征可设1xn=，n∈N＋且n≤4，故用描述法表示为1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且.9.解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}，集合中有两个元素，是有限集．(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋，且1≤k≤5}，集合中有五个元素，是有限集．(3)用描述法表示为{x|x＞5}，集合中有无数个元素，是无限集．(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}，抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集．(5)方程x2＋x＋1＝0无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．10.解：(1)由2∈A知，2是A中的元素，即2是方程x2＋2x＋m＝0的一个根，因此22＋2×2＋m＝0，解得m＝－8；(2)集合A中有两个元素，即方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，因此Δ＝4－4m＞0，解得m＜1；(3)集合A是空集，即方程x2＋2x＋m＝0没有实数根，因此Δ＝4－4m＜0，解得m＞1.1．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是()．A．{0}⊆M B．{0}∈MC．∅∈M D．0⊆M2．满足条件{a}M⊆{a，b，c，d}的所有不同集合M的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．93．设全集U＝{x|－1≤x≤5}，A＝{x|0＜x＜1}，则∁U A＝()．A．{x|－1≤x≤0}B．{x|1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}D．{x|－1≤x＜0或1＜x≤5}4．已知A＝{x|x2－3x＋a＝0}，B＝{1,2}，且B⊆A，则实数a的值为()．A．1 B．2 C．3 D．05．集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}，若∅M，则实数a的范围是()．A．a≤－1 B．a≤1C．a≥－1 D．a≥16．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是__________．7．设全集U＝R，A＝{x|x＜0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若U A⊆U B，则a的取值范围是__________．8．若全集I＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4, 4}，且I A＝{7}，则实数a的值等于__________．9．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x－2a＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．10．已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B A，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集．参考答案1.答案：A解析：{0}与M都是集合，它们之间不能用“∈”连接，故B，C均错；0是元素，它和集合M间不能用“⊆”连接，故D错，只有A项正确．2.答案：B解析：满足条件的M有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}．3.答案：C解析：借助数轴可得U A＝{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}．4.答案：B解析：∵B＝{1,2}，且B⊆A，∴1与2是方程x2－3x＋a＝0的两解．∴a＝2.5.答案：C解析：∵∅M，∴ M不能是空集，即关于x的方程x2＋2x－a＝0有实数根，∴Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1.6.答案：M＝P解析：由x＋y＜0且xy＞0可得x＜0且y＜0，所以集合M与P都表示直角坐标系中第三象限的点的集合，所以M＝P.7.答案：a≥1解析：U A={x|0≤x＜1}，B={x|x＜a}，U∵U A⊆U B，∴画出数轴并表示出U A与U B，由数轴可得a的取值范围为a≥1.8.答案：－2解析：依题意可知21742a aa⎧-+=⎨+=⎩，，解得a＝－2.代入检验知a＝－2符合题意．9.解：依题意A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}，B＝{x|x－2a＝0}＝{2a}，由于B⊆A，则2a∈A．∴2a＝－4或2a＝0.解得a＝－2或a＝0.即实数a的值为－2或0.10.解：由x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，∴A＝{2,3}．由B A知B＝{2}，或B＝{3}，或B＝∅，若B＝∅，则m＝0；若B＝{2}，则12 m=，若B＝{3}，则13m=，故M＝1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.从而M的所有子集为∅，{0}，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()．A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}2．已知集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为()．A．{x|x＞1} B．{x|x≥3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x≤1}3．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(U B)等于()．A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}5．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，且A⊆R B，则实数a的取值范围是()．A．a＞－2 B．a≥－2C．a＜－2 D．a≤－26．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝__________.7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若U A＝{1,2}，则实数m＝__________.8．集合A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，则A＝__________，B＝__________.9．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，若P∩Q＝∅.求实数k的取值范围．10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(R A)∩B；(3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．参考答案1.答案：D解析：(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选D．2.答案：C解析：阴影部分表示的集合是A∩B，所以A∩B＝{x|x＞1}∩{x|x＜3}＝{x|1＜x＜3}．3.答案：B解析：易见N M，则“a∈M”“a∈N”，但有“a∈N”⇒“a∈M”．故选B．4.答案：D解析：∵U B＝{x|－1≤x≤4}，∴A∩(U B)＝{x|－2≤x≤3}∩{x|－1≤x≤4}＝{x|－1≤x≤3}．5.答案：A解析：∵B＝{x|x－a≥0}＝{x|x≥a}，∴R B＝{x|x＜a}，又A⊆R B，∴a＞－2，故选A．6.答案：－1解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈A．又A＝{0,2，a2}，∴a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合B不满足集合元素的互异性，∴a＝－1.7.答案：－3解析：∵U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故0和3是方程x2＋mx＝0的两根，解得m＝－3.8.答案：{3,5}{2,3}解析：依题意，集合A是方程x2－px＋15＝0的解集，集合B是方程x2－5x＋q＝0的解集．又A∪B＝{2,3,5}，所以只能是3和5是方程x2－px＋15＝0的两根．2和3是方程x2－5x＋q＝0的两根，即A＝{3,5}，B＝{2,3}．9.解：①若Q＝∅，则P∩Q＝∅，此时有k＋1＞2k－1，即k＜2.②若Q≠∅，由P∩Q＝∅，有如下图：∴12115k kk+≤-⎧⎨+>⎩，或12121 2.k kk+≤-⎧⎨-<-⎩，解得k＞4.综上所述，k的取值范围是{k|k＜2或k＞4}．10.解：(1)因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)因为A＝{x|3≤x＜7}，所以R A＝{x|x＜3或x≥7}．所以(R A)∩B＝{x|x＜3或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(3)如图，当a＞3时，A∩C≠∅.1．函数y＝f(x)的图象与y轴的交点有()．A．至少一个B．至多一个C．一个D．不确定2．下列对应法则f中，不是从集合A到集合B的映射的是()．A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根B．A＝R，B＝R，f：取绝对值C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方D．A＝R，B＝R，f：取倒数3．如果(x，y)在映射f下的象为(x＋y，x－y)，那么(1,2)的原象是()．A．3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，B．3122⎛⎫-⎪⎝⎭，C．3122⎛⎫--⎪⎝⎭，D．3122⎛⎫⎪⎝⎭，4．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝－|x|＋2，x∈A，y∈B，对于实数m∈B，在集合A中不存在原象，则m的取值范围是()．A．m＞2 B．m≥2C．m＜2 D．m≤25．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，对A中的所有元素x，总有x＋f(x)为奇数，那么从A 到B的映射f的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．46．下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有__________．(1)B中任何一个元素在A中必有原象(2)A中不同元素在B中的象也不同(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的；(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象；(5) B中某一元素在A中的原象可能不止一个；(6)集合A与B一定是数集；(7)记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．7．若f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y) |x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)，在此映射下的原象是(3,1)，则k＝________，b＝________.8．若集合A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，f是A到B的映射，且满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的映射的个数是__________．9．设A＝B＝{a，b，c，d，e，…，x，y，z}(元素为26个英文字母)，作映射f：A→B 为：并称A中字母拼成的文字为明文，相应B中对应的字母拼成的文字为密文．(1)求“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．10．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4, 7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B．参考答案1.答案：B解析：由函数的定义知，若f(x)在x＝0处有定义，则与y轴必有一个交点，若f(x)在x ＝0处无定义，则没有交点．2.答案：D解析：D选项中，A中的元素0不存在倒数，不符合映射的定义，故选D．3.答案：B解析：∵(1,2)为象，∴12x yx y+=⎧⎨-=⎩，，解得32x=，12y=-.4.答案：A解析：由于当x∈R时，y＝－|x|＋2≤2，所以A中元素在B中的象的取值范围是y≤2，所以若B中实数m不存在原象时，必有m＞2，选A．5.答案：A解析：符合要求的映射是：当x＝0时，0＋f(0)＝0＋3＝3是奇数，当x＝1时，x＋f(x)＝1＋f(1)＝1＋2＝3是奇数，其余均不符合要求．6.答案：(3)( 5)7.答案：2 1解析：由3612kb=⎧⎨+=⎩，，解得21.kb=⎧⎨=⎩，8.答案：7解析：符合要求的映射f有以下7个：9.解：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．10.解：∵1对应4,2对应7，∴可以判断A中元素3对应的或者是a4，或者是a2＋3a. 由a4＝10，且a∈N知a4不可能为10.∴a2＋3a＝10，即a1＝－5(舍去)，a2＝2.又集合A中的元素k的象只能是a4，∴3k＋1＝16.∴k＝5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝().A．1 B．2 C2．y＝f(x)的图象如图，则函数的定义域是()．A．[－5,6) B．[－5,0]∪[2,6]C．[－5,0)∪[2,6) D．[－5,0]∪[2,6)3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )．A ．y ＝50x (x ＞0)B ．y ＝100x (x ＞0)C ．50y x =(x ＞0) D ．100y x=(x ＞0) 4．已知()2xf x x =+，则f (f (－1))的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．25．某人从甲村去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，下图中横轴表示走的时间，纵轴表示某人与乙村的距离，则较符合该人走法的图象是( )．6．已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则f (x )＝________. 7．已知函数f (x )满足f (x －1)＝x 2，那么f (2)＝__________.8．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是__________，值域是__________.9资的方式是：第一个月1 000元，以后每个月比上一个月多100元．设该大学生试用期的第x 个月的工资为y 元，则y 是x 的函数，分别用列表法、图象法和解析法表示该函数关系．10．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C 解析：依题意有12(x ＋3x )y ＝100，所以xy ＝50，50y x=，且x ＞0，故y 与x 的函数关系式是50y x=(x ＞0)． 4. 答案：C 解析：∵()2x f x x =+，∴f (－1)＝112--+＝－1. ∴f (f (－1))＝f (－1)＝112--+＝－1. 5. 答案：D解析：(1)开始乘车速度较快，后来步行，速度较慢；(2)开始某人离乙地最远，以后越来越近，最后到达乙地，符合(1)的只有C ，D ，符合(2)的只有B ，D ．6. 答案：1x x + 解析：令1t x =，则1x t =，将1x t=代入111f x x⎛⎫= ⎪+⎝⎭，得()1111tf t t t==++.∴()1x f x x =+.7. 答案：9解析：令x －1＝2，则x ＝3，而32＝9，所以f (2)＝9. 8. 答案：{1, 2,3,4,5} {90,92,93,94,95} 9. 解：(1)该函数关系用列表法表示为：(2)(3)该函数关系用解析法表示为：y＝100x＋900，x∈{1,2,3，…，6}．10.解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.∴22aa b=⎧⎨+=⎩，，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.1．函数32yx=是()．A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数2．函数f(x)＝x2＋4x＋6在下列哪个区间上是单调递增函数()．A．[－4,4] B．[－6，－3]C．(－∞，0] D．[－1,5]3．下列说法中，不正确的是()．A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定经过原点C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数D．图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数4．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则下列判断正确的是()．A．a的图象表示的函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数B．b的图象表示的函数y＝f(x)是偶函数C．c的图象表示的函数y＝f(x)是奇函数D．d的图象表示的函数y＝f(x)既不是奇函数也不是偶函数5．函数的图象如图所示，则该函数在下面哪个区间上单调递减()．A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]6．若函数f(x)＝k(x＋2)在其定义域上是单调递减函数，则k的取值范围是__________．7．已知f(x)是一个奇函数，且点P(1，－3)在其图象上，则必有f(－1)＝__________.8．已知函数f(x)的图象如下图所示，则其最大值等于__________，最小值等于__________，它的单调增区间是__________．9．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图象如下图：问：自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？10．已知一个函数f(x)是偶函数，它在y轴左侧的图象如下图所示：(1)试画出该函数在y轴右侧的图象；(2)根据图象说明函数在y轴右侧的哪些区间是单调递减函数，哪些区间是单调递增函数？参考答案1.答案：A解析：函数32yx=是反比例函数，画出其图象知关于原点中心对称，故它是一个奇函数，选A．2.答案：D解析：f(x)＝(x＋2)2＋2，它是一条抛物线，对称轴是x＝－2，由图象知，它在区间[－1,5]上是单调递增函数，选D．3.答案：B解析：奇函数如果在x＝0时有意义，它一定过原点，但如果x＝0时函数无意义，那它就不过原点，例如1yx=，选B．4.答案：D解析：事实上，a，b，c三个图形根本不是函数的图象，所以谈不上是奇函数还是偶函数，d图是函数图象，但它既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以它表示的函数既不是奇函数也不是偶函数，选D．5.答案：B6.答案：k＜07.答案：3解析：∵f(x)是奇函数，其图象必关于原点对称，而点P(1，－3)在其图象上，∴点P′(－1,3)也必在其图象上，从而f(－1)＝3.8.答案：3－1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和[1,3]9.解：由图象可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．10.解：(1)y轴右侧的图象如下图：(2)函数在[1,3]和[6,8]上是单调增函数，在[3,6]上是单调递减函数．1．若区间(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调递增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( )． A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)＞f (x 2) D ．以上都有可能 2．下列说法正确的是( )．A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，且当x 1＜x 2时．有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是递增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，且当x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是递增函数C ．若f (x )在区间I 1上是递增函数，在区间I 2上也是递增函数，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．若f (x )在区间I 上是递增函数且f (x 1)＜f (x 2)(x 1，x 2∈I )，那么x 1＜x 2 3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间是( )． A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2] D ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 4．函数()11f x x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( )． A ．15，1 B ．1，15 C ．17，1 D ．1，175．若函数f (x )＝ax 2＋3在[0，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )．A．a≥0 B．a＞0C．a≤0 D．a＜06．函数f(x)＝－x2＋4x的单调递增区间是__________．7．函数21xyx+=+在区间[2,4]上的最大值为__________，最小值为__________．8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的递减函数，且f(x)＜f(2x－3)，则x的取值范围是________．9．证明f(x)＝x2＋6x＋1在(－3，＋∞)上单调递增．10．已知f(x)是定义域为[－2,2]上的单调递增函数，且f(2x－3)＜f(2－x)，求x的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：由函数单调性的定义知当x 1＜x 2时，必有f (x 1)＜f (x 2)，选A ． 2. 答案：D解析：A ，B 项都忽略了x 1，x 2的任意性．C 项中f (x )在I 1∪I 2上不一定是递增函数，如函数()1f x x=-在x ∈(－∞，0)上单调递增；在x ∈(0，＋∞)上也单调递增，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调递增．对于D 项，由增函数的定义可知其正确．3.答案：D解析：由二次函数y ＝x 2－3x ＋2的对称轴为32x =且开口向上，所以其单调递减区间为32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选D ． 4. 答案：B解析：由于f (x ＋h )－f (x ) ＝1111(1)(1)hx h x x h x --=+--+--，∵h ＞0，x ≥2，∴0(1)(1)hx h x -<+--.故f (x )在[2,6]上单调递减，∴f (x )在[2,6]上的最大值为f (2)＝1，最小值为1(6)5f =. 5. 答案：D解析：f (x ＋h )－f (x )＝[a (x ＋h )2＋3]－(ax 2＋3)＝2ahx ＋ah 2＝ah (2x ＋h )． ∵x ＞0，h ＞0.又f (x ＋h )－f (x )＜0，∴a ＜0. 6. 答案：(－∞，2]解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以其对应图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x ＝2，故其单调增区间是(－∞，2]．7. 答案：43 65解析：由于f (x ＋h )－f (x )＝2211(++1)(+1)x h x hx h x x h x ++---=+++，由于h ＞0，x ∈[2,4]，∴0(++1)(+1)hx h x -<，故f(x)在[2,4]上单调递减．∴当x＝4，函数21xyx+=+有最小值f(4)，426(4)145f+==+.∴当x＝2，函数21xyx+=+有最大值f(2)，224(2)123f+==+.8.答案：33 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析：由题意知23023xxx x>⎧⎪->⎨⎪>-⎩，，，∴32＜x＜3.9.证明：f(x＋h)－f(x)＝(x＋h)2＋6(x＋h)＋1－x2－6x－1＝2hx＋h2＋6h＝h(h＋2x＋6)，∵h＞0，x∈(－3，＋∞)，∴2x＋6＞0，h＋2x＋6＞0.∴h(h＋2x＋6)＞0，即f(x＋h)－f(x)＞0.故f(x)在(－3，＋∞)上单调递增．10.解：∵f(x)是定义在[－2,2]上的函数，∴2232222xx-≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，，解得1522x≤≤.又f(x)在[－2,2]上单调递增，且f(2x－3)＜f(2－x)．故2x－3＜2－x，∴53 x<.综上可知15 23x≤<.即x的取值范围是15 23x≤<.1．下列函数中，定义域为{x|x＞0}的是()．A．f(x)＝x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)2．函数12y x =( )． A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．(－∞，＋∞) D ．无法确定 3．函数f (x )＝()12xf x x+=+(0≤x ≤2且x ∈N ＋)的值域是( )． A ．123234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， B ．2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．304x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭4．函数02(1)21x y x x +=--的定义域是( )． A ．12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠-⎨⎬⎩⎭且C ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D ．1,1,12x x x x ⎧⎫≠-=-≠⎨⎬⎩⎭且且5．函数()6123x f x x+=-的值域是( )． A ．{y |y ≠2} B ．12y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭C ．23y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭D ．{y |y ≠－2} 6．若函数()1xf x x =-的定义域是M ，值域是N ，那么M 与N 之间的关系是__________．7．函数2123y x x=-__________．8．函数y ＝1－3x 的值域是__________．9．如图所示，在一张边长为20 cm 的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x cm 的小正方形，折成一个容积是y cm 3的无盖长方体铁盒．试写出用x 表示y 的函数解析式，并指出它的定义域．10．已知函数f(x)＝ax＋1(1)当a＝1时，求f(x)的定义域；(2)若f(x)的定义域是{x|x≤－6}，求a的值；(3)当a＝2时，求f(x)的值域．参考答案1. 答案：D解析：选项A ，C 中的函数定义域为R ，B 中函数定义域是{x |x ≠0}，只有D 项符合． 2. 答案：A解析：依题意有2－x ≥0，∴x ≤2，故定义域是(－∞，2]，选A ． 3. 答案：B 解析：f (1)＝23，f (2)＝34，故函数值域为2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，选B ． 4. 答案：D解析：由210,210,x x x +≠⎧⎨--≠⎩得1,11.2x x x ≠-⎧⎪⎨≠-≠⎪⎩且 即12x ≠-，且x ≠－1，且x ≠1. 5. 答案：D 解析：61616455223323232x x x y x x x x ++-+==-=-=------，函数定义域为23x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 当23x ≠时，5032x ≠-，52232x --≠--， 即y ≠－2.故函数值域是{y |y ≠－2}，选D ． 6. 答案：M ＝N解析：要使函数有意义，应有x －1≠0，所以x ≠1， 即函数定义域是{x |x ≠1}． 又1111111x x y x x x -+===+---， 当x ≠1时，101x ≠-，y ≠1. 所以值域是{y |y ≠1}．因此M ＝N . 7. 答案：{x |x ≤1且x ≠0}解析：要使函数有意义，应满足2230,10,x x x ⎧-≠⎨-≥⎩即3021x x x ⎧≠≠⎪⎨⎪≤⎩且，，因此x ≤1且x ≠0，故函数定义域是{x |x ≤1且x ≠0}． 8. 答案：{y |y ≥－5}解析：函数有意义时，必满足4－2x ≥0，即x ≤2， ∴定义域是{x |x ≤2}．又f (x ＋h )－f (x )＝[1－3(x ＋h )－(1－3x)＝3h -+3h -+由于h ＞0，x ≤2，∴30h -<.故f (x )在定义域(－∞，2]上单调递减． 因此f (x )≥f (2)＝－5，即值域是{y |y ≥－5}．9. 解：由题意知，无盖长方体铁盒的高为x cm ，底面是边长为(20－2x )cm 的正方形． 由20－2x ＞0，所以0＜x ＜10，则y ＝x ·(20－2x )2，故y 关于x 的函数解析式是y ＝x (20－2x )2，其定义域是(0,10)．10. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ＋1∴2x －6≥0，x ≥3.故函数的定义域是{x |x ≥3}；(2)要使函数有意义，应有2ax －6≥0，即2ax ≥6，ax ≥3. 而函数定义域是{x |x ≤－6}， ∴由ax ≥3解得x 的范围应是x ≤－6.∴036a a<⎧⎪⎨=-⎪⎩，，解得12a =-.(3)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋14x －6≥0，32x ≥，∴函数定义域是32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 又f (x ＋h )－f (x )＝2(x ＋h )＋12x －1＝2h 2h0.∴f (x )在定义域32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭上单调递增． 故f (x )≥32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝4，即值域为{y |y ≥4}．1．设函数()1;,1,x f x x x ≥=<⎪⎩则f (f (2))的值为( )．A ．1B ．2C ．0D ．－2 2．设函数()21,0;,0,x f x x bx x <⎧=⎨-≥⎩若f (－2)＝f (3)，则实数b 的值等于( )． A ．103-B ．83C ．32-D ．323．f (x )＝|x －1|的图象是( )．4．设函数()221,1;2,1,x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩若f (a )＝－2，则a 的值为( )．A ．B ．C ．和0D ． 1 5．若定义运算ab ＝,;,,b a b a a b ≥⎧⎨<⎩则函数f (x )＝x(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)6．设函数()22,2;2,2,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若f (x 0)＝8，则x 0＝__________.7．已知函数()21,2;(3),2,x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则f (1)－f (3)＝________.8．函数f (x )的图象如图所示，则f (x )＝__________.9．设函数()2,0, 1,0, x xf xx ≥⎧=⎨<⎩令g (x)＝f(x－1)＋f(x－2)，试写出g(x)的表达式．10．为了节约用水，某市出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，则超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，则超过部分的水费加收400%.如果某人某季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算该季度他应交的水费(单位：元)．参考答案1. 答案：C解析：∵f (2)1，∴f (f (2))＝f (1)＝0. 2. 答案：B解析：由于f (－2)＝1，f (3)＝9－3b ，于是9－3b ＝1，解得83b =.选B. 3. 答案：B解析：由于f (x )＝|x －1|＝1,1;1, 1.x x x x -≥⎧⎨-+<⎩故其图象应为B.4. 答案：A解析：若a ≤1，则有1－a 2＝－2，解得a =a =)；若a ＞1，则有a 2＋a－2＝－2，解得a ＝0或－1，均舍去．因此a的值只有5. 答案：A解析：由定义知，当x ≥2－x 即x ≥1时，f (x )＝2－x ； 当x ＜2－x 即x ＜1时，f (x )＝x . 于是()2,1;, 1.x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩当x ≥1时， y ＝2－x ≤1；当x ＜1时，y ＝x ＜1. 于是值域为(－∞，1]，选A. 6.答案：或4解析：当x 0≤2时，由x 20＋2＝8得x 0＝舍去)； 当x 0＞2时，由2x 0＝8得x 0＝4，故x 0＝或4. 7. 答案：7解析：f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝42＋1＝17，f (3)＝32＋1＝10，∴f (1)－f (3)＝17－10＝7.8. 答案：11,20;21,01x x x x ⎧+-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩解析：当－2≤x ＜0时， 设f (x )＝kx ＋b ，则20,1,k b b -+=⎧⎨=⎩解得1,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是f (x )＝12x ＋1； 当0≤x ≤1时，设f (x )＝ax ＋c ，则0,1,a c c +=⎧⎨=-⎩解得1,1,a c =⎧⎨=-⎩于是f (x )＝x －1.于是f (x )的解析式是()11,20;21,0 1.x x f x x x ⎧+-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩9. 解：当x ≥2时，x －1≥0，x －2≥0，g (x )＝2(x －1)＋2(x －2)＝4x －6； 当1≤x ＜2时，x －1≥0，x －2＜0，g (x )＝2(x －1)＋1＝2x －1； 当x ＜1时，x －1＜0，x －2＜0，g (x )＝1＋1＝2.于是()46,2;21,12;2, 1.x x g x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪<⎩10. 解：设该季度他应交水费y 元，当0＜x ≤5时，y ＝1.2x ； 当5＜x ≤6时，应把x 分成两部分：5与x －5分别计算， 第一部分收基本水费1.2×5，第二部分由基本水费与加收水费组成，即 1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)×(1＋200%)，所以y ＝1.2×5＋1.2(x －5)×(1＋200%)＝3.6x －12；当6＜x ≤7时，同理可得，y ＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x －6)×(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得 1.2,05;3.612,56;626.4,67.x x y x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩1．函数f (x )＝(x －3)(x ＋5)的单调递减区间是( )． A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( )． A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 3．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上，则c 的值为( )． A ．0 B ．3 C ．6 D ．94．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞，6)内是递减函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()．A．30元B．42元C．54元D．越高越好6．已知f(x)＝ax2＋2x－6，且f(1)＝－5，则f(x)的递增区间是__________．7．若函数f(x)＝x2＋mx＋3的最小值是－1，则f(m)的值为__________．8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋20x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为__________．9．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3.(1)画出它的图象，并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．10．某汽车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆汽车的月租金每增加50元时，未租出的汽车将会增加一辆．租出的汽车每辆每月需要维护费150元，未租出的汽车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆汽车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆汽车？(2)当每辆汽车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案1. 答案：A解析：f (x )＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15，12ba-=-，所以f (x )的递减区间是(－∞，－1]，选A ．2. 答案：C3. 答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9， ∴c －9＝0，c ＝9. 4. 答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2， ∵f (x )在(－∞，6)内是递减函数， ∴－2a ≥6，∴a ≤－3. 5. 答案：B解析：设日销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x ),30≤x ≤54，将上式配方后得y ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，y 取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润． 6. 答案：(－∞，1]解析：由f (1)＝－5得a ＋2－6＝－5，所以a ＝－1. 这时f (x )＝－x 2＋2x －6. 又212(1)-=⨯-，所以f (x )的递增区间是(－∞，1]． 7. 答案：35解析：由已知得2413141m ⨯⨯-=-⨯， 所以m 2＝16，m ＝±4. 当m ＝4时，f (m )＝f (4)＝35； 当m ＝－4时，f (m )＝f (－4)＝35. 8. 答案：111万元解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．在甲、乙两地的销售利润分别为L 1＝－x 2＋20x 和L 2＝2(15－x )＝30－2x . 于是销售总利润y ＝L 1＋L 2＝－x 2＋20x ＋30－2x ＝－x 2＋18x ＋30.因此当1892(1)x=-=⨯-时，y取最大值f(9)＝－92＋18×9＋30＝111(万元)．9.解：(1)图象如图所示，该图象开口向下；对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)∵f(x)＝－4(x－1)2＋1，∴x＝1时，f(x)max＝1.(3)函数在(－∞，1]上是递增函数，在[1，＋∞)上是递减函数．10.解：(1)当每辆汽车月租金为3 600元时，未租出的汽车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆汽车．(2)设每辆汽车的月租金定为x元，则公司月收益为f(x)＝300010050x-⎛⎫-⎪⎝⎭(x－150)－300050x-×50，整理得f(x)＝150-x2＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050(x＞150)．∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050.即每辆汽车的月租金定为4 050元时，汽车租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a ≤1时〔如图 (2)〕，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1； 当1＜a ＜2时〔如图(3)〕，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1； 当a ≥2时〔如图(4)〕，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (2)＝3－4a .1．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )． ABCD2．若2＜a ＜3的结果是( )． A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－13．85-⎝⎭化成分数指数幂为( )． A ．13x- B ．415x C ．415x- D ．25x4的值为( )．A． B ．3 C． D5．若11005a=，212b=，则2a ＋b 的值等于( )． A ．10 B ．110C ．1D ．－1 6其中a ∈R ，n ∈N ＋)这四个式子中，没有意义的是__________．7__________． 8．已知5a＝3,5b＝4，则2325a b -的值为__________．9．计算：(1)121203170.02721)79--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)122332140.1()a b ---⎛⎫⎪⎝⎭.10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＞y，求11221122x yx y-+的值．参考答案1.答案：C解析：当m＜0无意义，故选C．2.答案：C解析：∵2＜a＜3，∴原式＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.3.答案：B解析：181218118465632563515()()x x x x x⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===原式.4.答案：A===，故选A．5.答案：D解析：由已知可得102a＝15，10b＝12，于是102a·10b＝110，即102a＋b＝10－1.故2a＋b＝－1.选D．6.解析：(－3)2n＋1＜0，故它没有意义．7.答案：7 8 a11117118248824a a a a a++=⋅⋅==. 8.答案：38解析：23322325555a b aa bb--==.由于5b＝4，∴33332225(5)428b b====.又5a＝3，∴232358a b-=.9.解：(1)11232271251100079--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式＝103－49＋53－1＝－45；(2)333122222233224(2)110a ba b-----⋅⋅=⋅⎛⎫⋅⋅⎪⎝⎭原式＝32224 1025⨯=.10.解：111111122222222111111222222()22()()()x y x y x y x y x y xyx y x yx y x y x y--+-+-===--++-，又x＋y＝12，xy＝9，则(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.又x＞y，∴x－y=∴129===原式.1．下列函数是指数函数的是()．A．y＝x5B．y＝4x3C．43xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．y＝13x⎛⎫- ⎪⎝⎭＋22．函数f (x)＝132a⎛⎫-⎪⎝⎭·a x是指数函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为()．A．2 B．－2 C．-D．3．函数||12xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是()．4．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x ，y 都有( )． A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ． a ＞1 C ．a ＜1 D ．0＜a ＜16．函数y ( )． A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)7．若f (x )是指数函数，且f (2)－f (1)＝6，则f (x )＝__________.8．已知(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－x ，则x 的取值范围是__________．9．函数y =的定义域是__________．10．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，求a 的值．参考答案1. 答案： C2. 答案：D解析：∵函数f (x )是指数函数， ∴12a －3＝1，a ＝8.∴f (x )＝8x ，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3. 答案：B4. 答案：C解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝f (x )·f (y )，故选C ． 5. 答案：D解析：由于f (x )＝a －x＝1xa ⎛⎫⎪⎝⎭，而f (－2)＞f (－3)，说明f (x )是递增函数，从而11a >，0＜a ＜1，故选D ．6. 答案：C解析：∵4x ＞0，∴16－4x ＜16.∴函数y =[0,4)． 7. 答案：3x解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 2－a ＝6，解得a ＝3，即f (x )＝3x .8. 答案：14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，解析：对于任意实数a ，a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4＞1，故y ＝(a 2＋2a ＋5)x 是递增函数，因此有3x ＞1－x ，即14x >. 9. 答案：(－∞，0]解析：由21402x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得22－x ≥22，∴2－x ≥2，x ≤0.10. 解：当a ＞1时，y ＝a x 在[1,2]上是递增函数， ∴y max ＝f (2)＝a 2，y min ＝f (1)＝a . ∴f (2)－f (1)＝2a ，即a 2－a ＝2a .。

第1章集合与逻辑1.1 集合1.1.1 集合1.1.1 第1课时集合与元素必备知识基础练1.(多选题)下列每组对象,能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点C.一切很大的数D.清华大学入学的全体学生2.下列元素与集合的关系判断正确的是( )A.0∈NB.π∈QC.√2∈QD.-1∉Z3.以方程中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.44.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m 为( )A.2B.3C.0或3D.0或2或35.一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.6.判断下列语句是否正确,并说明理由.(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合;(2)由1,32,64,|-12|,0.5构成的集合有5个元素;(3)将小于100的自然数,按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合.关键能力提升练7.已知x∈R,由x,-x,|x|,√x2,-√x33所组成的集合最多含有元素的个数是( )A.2B.3C.4D.58.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为( )A.2B.4C.6D.89.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.学科素养创新练∈S.请解答下列问题:10.已知集合S满足:若a∈S,则11-a(1)若2∈S,则S中必有另外两个元素,求出这两个元素.∈S.(2)证明:若a∈S,则1-1a(3)在集合S中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由.答案：1.BD 中国各地最美的乡村,无法确定集合中的元素,故A不正确;一切很大的数,无法确定集合中的元素,故C不正确;根据集合中元素的确定性可知,B,D都能构成集合.故选BD.2.A 0是自然数,π,√2是无理数,不是有理数,-1是整数,根据元素和集合的关系可知,只有A正确.3.C 由集合元素的互异性可知两个相同的对象算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.4.B 由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.5.96.解(1)错误.因为“漂亮”是个模糊的概念,因此不满足集合中元素的确定性.(2)错误.因为32=64,|-12|=0.5,根据集合中元素的互异性知,由1,32,64,|-12|,0.5构成的集合只有3个元素:1,32,0.5.(3)错误.根据集合中元素的无序性可知,小于100的自然数无论按什么顺序排列,构成的集合都是同一个集合.7.A 因为x,-x,|x|,√x2=|x|,-√x33=-x中,至多有2个不同的实数,所以组成的集合最多含有元素的个数是2.8.AB 集合A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,当a=2∈A 时,6-a=4∈A,则a=2;当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4;当a=6∈A时,6-a=0∉A.综上所述,故a=2或4.9.解当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.10.(1)解因为2∈S,所以11-2=-1∈S,所以11-(-1)=12∈S,所以11-12=2∈S.所以集合S中另外的两个元素为-1和12.(2)证明由题意,可知a≠1且a≠0,由11-a ∈S,得11-11-a∈S,即11-11-a =1-a1-a-1=1-1a∈S.所以若a∈S,则1-1a∈S.(3)解集合S中的元素不可能只有一个.理由如下:令a=11-a,即a2-a+1=0.因为Δ=(-1)2-4<0,所以此方程无实数解,所以a≠11-a.因此集合S中不可能只有一个元素.。

第3章函数的概念与性质3.1 函数3.1.3 简单的分段函数课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f (x )={x -3,x ≥10,f (f (x +6)),x <10,则f (5)的值为( )A.8B.9C.10D.11,f (5)=f (f (11))=f (8)=f (f (14))=f (11)=8.故选A .2.已知f (x )=|x|,g (x )=x 2,设h (x )={f (x ),f (x )≤g (x ),g (x ),f (x )>g (x ),则函数h (x )的大致图象是( )f (x )≤g (x ),即|x|≤x 2时,解得x ≤-1或x ≥1或x=0,故h (x )={|x |,x ≤-1或x ≥1或x =0,x 2,-1<x <1且x ≠0,故h (x )的大致图象为D .3.函数f (x )={2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )A.RB.[0,2]∪{3}C.[0,+∞)D.[0,3]0≤x ≤1时,0≤2x ≤2,即0≤f (x )≤2;当1<x<2时,f (x )=2;当x ≥2时,f (x )=3.综上可知f (x )的值域为[0,2]∪{3}.4.(2021江西名校联盟高一期末)已知函数y={x 2+1,x ≤0,2x ,x >0,若f (a )=10,则a 的值是( )A.3或-3B.-3或5C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5.综上可得,a=5或a=-3,故选B .5.已知f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式为 .(x )={-1,0≤x <1,x -2,1≤x ≤20≤x<1时,f (x )=-1;当1≤x ≤2时,设f (x )=kx+b (k ≠0), 则{k +b =-1,2k +b =0,解得{k =1,b =-2, 此时f (x )=x-2.综上,f (x )={-1,0≤x <1,x -2,1≤x ≤2.6.设函数f (x )={(x +1)2,x <1,4x ,x ≥1,则f (f (8))= ,使得f (a )≥4a 的实数a 的取值范围是 .(-∞,1]解析因为f (x )={(x +1)2,x <1,4x,x ≥1,所以f (8)=48=12,因此f (f (8))=f12=12+12=94. 当a<1时,f (a )≥4a 可化为(a+1)2≥4a ,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1; 当a ≥1时,f (a )=4a ≥4a , 解得a=1.综上,a 的取值范围为(-∞,1].7.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x (15≤x ≤40)小时的收费为f (x )元,在乙家开展活动x 小时的收费为g (x )元. (1)试分别写出f (x )和g (x )的解析式. (2)选择哪家比较合算?请说明理由.由题意可知f (x )=5x ,15≤x ≤40,g (x )={90,15≤x ≤30,30+2x ,30<x ≤40.(2)由5x=90,解得x=18, 即当15≤x<18时,f (x )<g (x ); 当x=18时,f (x )=g (x ); 当18<x ≤40时,f (x )>g (x ).所以当15≤x<18时,选甲家比较合算; 当x=18时,两家一样合算; 当18<x ≤40时,选乙家比较合算.关键能力提升练8.(2020陕西华阴高一期末)设函数f (x )={12x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )=a ,则实数a 的值为( )A.±1B.-1C.-2或-1D.±1或-2a ≥0时,有12a-1=a ,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有1a=a ,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.所以实数a 的值是-1.故选B . 9.已知函数f (x )={x 2,x ≤1,x +4x-3,x >1,则f (x )的值域是( )A.[1,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[0,1)∪(1,+∞)f (x )={x 2,x ≤1,x+4x -3,x >1,知当x ≤1时,x 2≥0;当x>1时,x+4x -3≥2√x ·4x -3=4-3=1,当且仅当x=4x ,即x=2时等号成立. 综上,f (x )的值域是[0,+∞).故选B .10.(多选题)(2020湖北黄冈黄州一中期中)已知f (x )=x ,g (x )=x 2-2x ,且F (x )={g (x ),f (x )≥g (x ),f (x ),f (x )<g (x ),则F (x )的最值情况是 ( )A.有最大值3B.有最小值-1C.无最小值D.无最大值f (x )≥g (x )得0≤x ≤3;由f (x )<g (x ),得x<0或x>3,所以F (x )={x 2-2x ,x ∈[0,3],x ,x ∈(-∞,0)⋃(3,+∞).作出函数F (x )的图象如图,可得F (x )无最大值,无最小值.11.(2021福建厦门高一期末)“高斯函数”为y=[x ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f (x )=|x-1|(3-[x ]),x ∈[0,2),若f (x )=52,则x= ;不等式f (x )≤x 的解集为 . 答案1634,2,得f (x )={3-3x ,0≤x <1,2x -2,1≤x <2,当0≤x<1时,3-3x=52, 即x=16;当1≤x<2时,2x-2=52,即x=94(舍),综上x=16.当0≤x<1时,3-3x ≤x ,即34≤x<1,当1≤x<2时,2x-2≤x ,即1≤x<2,综上34≤x<2.12.设集合A=0,12,B=[12,1],函数f (x )={x +12,x ∈A ,2-2x ,x ∈B ,已知m ∈A ,且f (f (m ))∈A ,则实数m 的取值范围是 . 答案14,12解析∵m ∈A ,∴0≤m<12,f (m )=m+12∈12,1.∴f (f (m ))=2-2m+12=1-2m.∵f (f (m ))∈A ,∴0≤1-2m<12,则14<m ≤12. ∵0≤m<12,∴14<m<12. ∴m 的取值范围是14,12.13.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税,超过5 000元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:(1)已知张先生的月工资、薪金所得合计为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?(2)设王先生的月工资、薪金所得合计为x 元,当月应缴纳个人所得税为y 元,写出y 与x 的函数关系式.(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得合计为多少?赵先生应交税为1 500×3%+3 000×10%+500×20%=445(元).(2)y 与x 的函数关系式为y={0,0≤x ≤5 000,(x -5 000)×3%,5 000<x ≤6 500,45+(x -6 500)×10%,6 500<x ≤9 500,345+(x -9 500)×20%,9 500<x ≤14 000.(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有6 500<x ≤9 500,从而303=45+(x-6 500)×10%,解得x=9 080.所以王先生当月的工资、薪金所得为9 080元.学科素养创新练14.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x ,每位员工的培训费为y 元,培训机构的利润为Q 元.(1)写出y 与x (x>0,x ∈N +)之间的函数关系式;(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.当1≤x ≤30且x ∈N +时,y=850;当30<x ≤60且x ∈N +时,y=850-10(x-30)=1 150-10x. 所以y={850,1≤x ≤30,且x ∈N +,1 150-10x ,30<x ≤60,且x ∈N +.(2)当1≤x ≤30且x ∈N +时,Q=850x-12 000,Q max =850×30-12 000=13 500(元); 当30<x ≤60且x ∈N +时,Q=-10x 2+1 150x-12 000,其对称轴为x=1152=57.5,故当x=57或58时,Q max =21 060元.所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元.。

4.1.3 幂函数必备知识基础练1.(山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f(x)=3x2B.f(x)=√xC.f(x)=1x4D.f(x)=x-32.(河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),则下列关于f(x)的说法正确的是( )A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)的定义域为(0,+∞)D.f(x)在(0,+∞)上单调递增3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b4.(多选题)(广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=xα的图象过原点B.函数y=xα是偶函数C.函数y=xα是减函数D.函数y=xα的值域为R关键能力提升练5.(吉林延边高一期末)已知幂函数f(x)=x 12,若f(a-1)<f(14-2a),则a的取值范围是( )A.[-1,3)B.(-∞,5)C.[1,5)D.(5,+∞)6.函数f(-1)x m2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断7.已知幂函数f(+5)x m+1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.学科素养创新练8.幂函数f(∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .答案：1.C 函数f(x)=3x 2,不是幂函数;函数f(x)=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)=1x 4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f(x)=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C.2.D 设幂函数f(x)=x α(α为常数),∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f(x)=x 12.∵12>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f(x)=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D. 3.A b=0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.AD 因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD.5.C 由幂函数f(x)=x 12,若f(a-1)<f(14-2a),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).6.A 由已知函数f(-1)xm 2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(=-1时,f(x)=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f(x)=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.7.解(1)由f(2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)==2时,f(x)=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).8.2或3 4 幂函数y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1<m<4.由题知m是整数,故m的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f1=4.2。

4.3 对数函数4.3.1 对数的概念 A 级必备知识基础练1.方程2log 3x =14的解是( )A.19B.√3C.√33D.92.(多选题)下列结论正确的是( ) A.log 24=2 B.2.10.5>2.1-1.8 C.3log 32=2D.-log 55=13.813+log 122等于( )A.0B.1C.2D.34.若a>0,a 2=49,则lo g 23a= . 5.解答下列各题.(1)计算:log 2164;log 3.12(log 1515).(2)已知log 4x=-32,log 3(log 2y)=1,求xy 的值.6.求下列各式的值:(1)lo g 1162;(2)log 7√493;(3)log 2(log 93).B 级关键能力提升练7.若log a 3=m,log a 5=n(a>0且a≠1),则a 2m+n 的值是( ) A.15 B.75C.45D.2258.已知f(x 6)=log 2x,则f(8)=( ) A.43B.8C.18D.129.(多选题)下列函数与y=x 相等的是( ) A.y=√x 33B.y=√x 2C.y=log 77xD.y=7log 7x10.已知f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(2)的值为( )A.6B.5C.4D.311.已知lo g 12(log 2x)=lo g 13(log 3y)=1,则x,y 的大小关系是( ) A.x<y B.x=y C.x>yD.不确定12.若log 3(a+1)=1,则log a 2+log 2(a-1)= .C 级学科素养创新练13.已知二次函数f(x)=(log 3a)x 2+2x+4log 3a(a>0)的最大值是3,求a 的值. 答案：1.A ∵2log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.2.ABC log 24=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-log 55=-1,故D 不正确.故选ABC. 3.B 813=23×13=2.设lo g 122=x,则(12)x=2,即2-x =2,则-x=1,x=-1,即lo g 122=-1.故813+lo g 122=2-1=1.故选B.4.1 ∵a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323=1.5.解(1)因为2-6=164,所以log 2164=-6.log 3.12(log 1515)=log 3.121=0. (2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y)=1, 所以log 2y=3. 所以y=23=8. 所以xy=18×8=1.6.解(1)设lo g 1162=x,则(116)x =2,即2-4x =2,∴-4x=1,x=-14,即lo g 1162=-14.(2)设log 7√493=x,则7x=√493=723. ∴x=23,即log 7√493=23.(3)设log 93=x,则9x =3,即32x =3,∴x=12.设log 212=y,则2y =12=2-1,∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.7.C 由log a 3=m,得a m =3,由log a 5=n,得a n =5, 则a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45. 8.D 令x 6=8,则x 2=2,因为x>0,所以x=√2,故f(8)=log 2√2.设log 2√2=y,则2y=√2,即2y=212,则y=12,故f(8)=12.9.AC 函数y=√x 33=x 的定义域为R,故与y=x 相等;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 对应关系不同,故不是同一个函数;函数y=log 77x =x,且定义域为R,对应关系相同,故与y=x 相等;y=7log 7x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一个函数.故选AC. 10.B 由题意得f(-2)+f(2)=(1+log 24)+2=5,故选B. 11.A 因为lo g 12(log 2x)=1,所以log 2x=12.所以x=212=√2.又因为lo g 13(log 3y)=1,所以log 3y=13.所以y=313=√33.因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A. 12.1 由log 3(a+1)=1得a+1=3,即a=2, 所以log a 2+log 2(a-1)=log 22+log 21=1+0=1. 13.解因为二次函数f(ax =16log 32a -44log 3a=4log 32a -1log 3a=3,所以4lo g 32a-3log 3a-1=0. 所以log 3a=1或log 3a=-14.因为log 3a<0,所以log 3a=-14.所以a=3-14.。

1.2.3 全称量词和存在量词A级必备知识基础练A.∃x∈R,x2+1<0B.∃x∈Z,3x+1是整数C.∀x∈R,|x|>3D.∀x∈Q,x2∈ZA.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数>2D.存在一个负数x,使1xA.至少有一个x,使x2+2x+1=0成立B.对任意的x,都有x2+2x+1=0成立C.对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立D.存在x,使x2+2x+1=0成立(1)实数的平方大于等于0,符号表示为;(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为.(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解.(3)存在实数x,使得1=2.x2-x+1B级关键能力提升练A.存在x∈Q,使2x-x3=0B.存在x∈R,使x2+x+1=0C.有的整数是偶数D.有的有理数没有倒数A.∀x∈R,2x2-3x+4>0B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0C.∃x∈N,使√x≤xD.∃x∈N+,使x为29的约数C级学科素养创新练11.(1)已知对任意的的取值范围.答案：1.ACD3.BC 选项B和C含有全称量词“任意”.等价于“∀≤x2-2的最大值为-1.5.(1)∀x∈R,x2≥0(2)∃x,y∈R,2x+3y+3>0则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.则实数a的取值范围为(-1,+∞).11.解(1)由于对任意的的取值范围为[3,+∞).(2)由于存在实数x∈{≥的取值范围为[1,+∞).。

第1章数列1.1 数列的概念第1课时数列的概念A级必备知识基础练1.(江苏仪征二中高二月考)已知数列√3,√5,√7,√11,…,√2n+1,…,则5是这个数列中的( )A.第12项B.第13项C.第14项D.第25项2.已知数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(n+1),则a1+a2+a3+…+a10等于( )A.-55B.-5C.5D.553.(山东烟台高二期末)下列各式可作为数列2,-4,6,-8,…的一个通项公式的是( )A.a n=(-1)n·2nB.a n=(-1)n+1·2nC.a n =(-1)n ·2nD.a n =(-1)n+1·2n4.(多选题)已知数列的通项公式为a n =n 2-8n+15,则3可以是( ) A.数列{a n }中的第1项 B.数列{a n }中的第2项 C.数列{a n }中的第4项 D.数列{a n }中的第6项5.下列各式可作为数列-15,17−19,111,…的一个通项公式的是( )A.a n =(-1)n -12n+3B.a n =(-1)n3n+2C.a n =(-1)n -13n+2D.a n =(-1)n2n+36.已知数列{a n }的通项公式为a n =cn+dn(n ∈N +,c,d ∈R),且a 2=32,a 4=32,则a n = ,a 10= .7.(辽宁阜新高二期末)写出一个同时具有下列性质①②③的数列{a n },①无穷数列;②数列中的项依次减小;③每一项都是正数,则a n = .8.在数列{a n }中,a n =-2n 2+9n+3.(1)-107是不是该数列中的某一项?若是,是第几项? (2)求数列中的最大项.B 级关键能力提升练9.已知数列{a n }的通项公式为a n ={3n +1,n 是奇数,2n -2,n 是偶数,则a 2a 3等于( )A.70B.28C.20D.810.(江苏南京高二月考)数列{a n }的通项公式为a n =2n +2n,若该数列的第k 项a k 满足40<a k <70,则k 的值为( ) A.3B.4C.5D.611.(多选题)已知数列{a n }的通项公式为a n =9-2n,则下列各数是{a n }中的项的是( ) A.7B.0C.3D.512.观察数列1,ln 2,sin 3,4,ln 5,sin 6,7,ln 8,sin 9,…,则该数列的第11项等于( ) A.1 111B.11C.ln 11D.sin 1113.下列数列中,156是其中一项的是( ) A.{n 2+1} B.{n 2-1} C.{n 2+n}D.{n 2+n-1}14.已知数列{a n}的通项公式为a n=411-2n,则满足a n+1<a n的n的值为.15.若数列{a n}的通项公式为a n=n+12n,则满足a n<1011的最小的n的值为.16.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n-23n+1.(1)求这个数列的第10项.(2)在区间13,23内是否存在数列中的项?若存在,有几项?若不存在,说明理由.C级学科素养创新练17.(多选题)已知数列{a n}的通项公式为a n=2n,∀i,j∈N+,下列仍是数列{a n}中的项的是( )A.a i+j+a iB.a i+j-a iC.a i+j a iD.a i+ja i18.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2 017这 2 016 个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n},求此数列的项数.参考答案第1章 数列 1.1 数列的概念 第1课时 数列的概念1.A 由题意得数列的通项公式为a n =√2n +1,当a n =√2n +1=5时,解得n=12,所以5是这个数列中的第12项,故选A.2.C a 1+a 2+a 3+…+a 10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.3.B 根据题意,数列的前4项为1×2×1,(-1)×2×2,1×2×3,(-1)×2×4,由此可得它的一个通项公式为a n =(-1)n+1·2n,故选B.4.BD 根据题意,数列的通项公式为a n =n 2-8n+15,令a n =n 2-8n+15=3,解得n=2或n=6,即3是数列的第2项或第6项,故选BD.5.D 因为这个数列的前4项为(-1)1·12×1+3,(-1)2·12×2+3,(-1)3·12×3+3,(-1)4·12×4+3,由此得到它的一个通项公式(-1)n2n+3,故选D.6.n 4+2n 2710由题意可得{32=2c +d2,32=4c +d 4,解得{c =14,d =2,∴a n =n 4+2n,∴a 10=2710.7.1n2(答案不唯一)8.解(1)令-107=a n =-2n 2+9n+3,解得n=10n=-112舍去.故-107是该数列中的项,并且是第10项. (2)a n =-2n-942+1058,故当n=2时,a n 取得最大值13.即该数列的最大项是第2项,为13.9.C 根据题意,数列{a n }的通项公式为a n ={3n +1,n 是奇数,2n -2,n 是偶数,则a 2=2×2-2=2,a 3=3×3+1=10,则a 2a 3=20,故选C.10.C 根据题意,{a n }的通项公式为a n =2n +2n,若该数列的第k 项a k 满足40<a k <70,则有40<2k +2k<70,又由k ∈N +,得k=5,故选C. 11.ACD 令a n =9-2n=7,得n=1,故A 正确. 令a n =9-2n=0,∵n ∈N +,∴无解,故B 错误. 令a n =9-2n=3,得n=3,故C 正确.令a n =9-2n=5,得n=2,故D 正确.故选ACD. 12.C13.C 若数列为{n 2+1},则有n 2+1=156,无正整数解,不符合题意; 若数列为{n 2-1},则有n 2-1=156,无正整数解,不符合题意;若数列为{n2+n},则有n2+n=156,解得n=12或-13(舍),有正整数解n=12,符合题意;若数列为{n2+n-1},则有n2+n-1=156,无正整数解,不符合题意.故选C.14.5 由a n+1<a n,得a n+1-a n=49-2n −411-2n=8(9-2n)(11-2n)<0,解得92<n<112.又n∈N+,所以n=5.15.1 011 ∵a n=n+12n,∴a n<1011⇒n+12n<1011⇒n>1010.又n为正整数,故满足a n<1011的最小的n的值为1011.16.解(1)根据题意,数列{a n}的通项公式为a n=3n-23n+1,则a10=3×10-23×10+1=2831.(2)根据题意,13<3n-23n+1<23,解得76<n<83,又因为n为正整数,所以n=2,则在区间13,23内只存在数列的一项.17.CD ∵a n=2n,∀i,j∈N+,∴a i+j+a i=2i+j+2i=2i(2j+1)∉{a n},a i+j-a i=2i+j-2i=2i(2j-1)∉{a n},a i+j a i=2i+j·2i=22i+j∈{a n},a i+ja i =2i+j2i=2j=a j∈{a n},故选CD.18.解能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数,故a n=15n-14.由a n=15n-14≤,得n≤135.4,当n=1时,此时a1=1,不符合,故此数列的项数为135-1=134.。

第2课时表示集合的方法必备知识基础练1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A.{x|-3<x<11,x∈Q}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N+}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}2.下列语句正确的是( )①0与{0}表示同一集合;②方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2};③集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.A.①③B.②③C.②D.都不对3.集合{x∈N|x-2<2}用列举法表示是( )A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4}D.{0,1,2,3}4.(重庆垫江校级月考)若用列举法表示集合A={(x,y)|2y-x=7且x+y=2},则下列表示正确的是( )A.{x=-1,y=3}B.{(-1,3)}C.{3,-1}D.{-1,3}5.设集合A={x|x2-3x+a=0,a∈R},若4∈A,则a= ,集合A用列举法表示为.6.用适当的方法表示下列对象构成的集合:(1)绝对值不大于2的所有整数;(2)直线y=x+1与直线x+y=1的交点坐标构成的集合;(3)函数y=1x图象上的所有点.关键能力提升练7.(多选题)已知={m|m=x|x|+y|y|+xy|xy|}中的元素可以为( )A.0B.-1C.1D.38.(多选题)方程组{x+y=3,x-y=1的解集可表示为( )A.{(x,y)|x+y=3且x-y=1}B.{(x,y)|x=2且y=1}C.(2,1)D.{(2,1)}9.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )A.0B.2C.3D.610.已知集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x-y+1)=0},则集合A中的元素有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个11.集合A={x|x2+ax-2≥0,a∈Z},若-4∈A,2∈A,求满足条件的a组成的集合.答案：1.D2.D ①中0不是集合,②中方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为{1,2},③中集合的元素不能一一列举出来,不能用列举法表示.3.D {x∈N|x-2<2}={x∈N|x<4}={0,1,2,3}.4.B 由{2y-x=7,x+y=2,解得{x=-1,y=3,所以A={(x,y)|2y-x=7且x+y=2}={(-1,3)}.故选B.5.-4 {-1,4} ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x 2-3x-4=0}={-1,4}.6.解(1)由于|x|≤2,且x ∈Z,所以x 的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合,用列举法可表示为{-2,-1,0,1,2},用描述法可表示为{x||x|≤2,x∈Z}.(2)解方程组{x +y =1,x -y =-1,得{x =0,y =1.所以用列举法表示交点坐标构成的集合为{(0,1)}.(3)函数y=1x 图象上的点可以用坐标(x,y)表示,其满足的条件是y=1x ,x≠0,所以用描述法可表示为{(x ,y )|y =1x,x ≠0}. 7.BD 当=3;当=-1;当=-1;当=-1.故M 中元素可以为-1,3.8.ABD 解方程组可得{x =2,y =1,所以方程组{x +y =3,x -y =1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A,B,D 都符合题意.9.D 因为z=xy,x ∈A,y ∈B,所以z 的取值有1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,故A*B={0,2,4},所以集合A*B 的所有元素之和为0+2+4=6.10.D ∵(x+y+1)(2x-y+1)=0,∴x+y+1=0或2x-y+1=0或x+y+1=0且2x-y+1=0.∵直线x+y+1=0和直线2x-y+1=0上有无数个点,直线x+y+1=0与直线2x-y+1=0的交点只有一个, ∴集合A中的元素有无数个.故选D.11.解由题意知{16-4a-2≥0,4+2a-2≥0,解得-1≤a≤72.∵a∈Z,∴满足条件的a组成的集合为{-1,0,1,2,3}.。