10.7一阶常系数线性差分方程

《高等数学B(经管类)》课程教学大纲(Advanced Mathematics B（Economics and Management）)课程编号：161990172学分：10学时：160 （其中：讲课学时：160 实验学时：0 上机学时：0 ）先修课程：无后续课程：线性代数、概率论与数理统计适用专业：经管类专业本科生开课部门：理学院一、课程的性质与目标本课程属于经管类公共基础必修课。

本课程的任务是使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，以及在经济管理中的一些简单应用，为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生思维能力、推理能力、自学能力、解决问题的能力。

二、课程的主要内容及基本要求第1章函数（4学时）[知识点]集合、函数的基本性质、复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、函数关系的建立、经济学中的常用函数[重点]函数概念，基本初等函数；经济学中的常用函数[难点]建立函数关系[基本要求]1、识记：函数的基本性质；复合函数、反函数的概念及其运算；2、领会：基本初等函数的类型，理解初等函数的概念；3、简单应用：简单问题中函数关系的建立；4、综合应用：经济学中的常用函数关系的建立[考核要求]回顾中学相关知识，介绍有关函数的新知识，为后续学习打下基础第2章极限与连续（18学时）[知识点]数列的极限、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则、两个重要极限、连续复利、无穷小的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质[重点]极限运算法则，求极限的方法，无穷小的比较、函数的连续性[难点]求极限的方法；函数的间断点的判定[基本要求]1、识记：数列极限的定义和性质；函数极限的定义和性质；无穷小的定义、性质及其与无穷大的关系；函数连续性、间断点的概念；闭区间上连续函数的性质2、领会：理解极限运算法则，掌握求极限的方法；理解极限存在准则，掌握两个重要极限，；掌握等价无穷小及其在求极限中的应用方法；3、简单应用：等价无穷小及其在求极限中的应用；4、综合应用：经济学中的连续复利问题[考核要求]要求学生能直观理解极限的含义，掌握求极限的方法，明确本章的重要地位。

例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者 用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使 最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直 第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。 觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程， 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此， 为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为： 只取一次项近似为： （5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ） ）的近似线性方程， 的平衡点， 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条 件上面已给出。 件上面已给出。

差分方程是微分方程的离散化,在我们大学学过的的常微分方程、偏微分方程、数学建模、时间序列分析等大学课程中都有涉及到差分方程的相关知识点，而大部分同学对一阶常系数线性差分方程组的了解就更少了.然而一阶常系数线性差分方程组的学习研究不仅对我们数学思维的培养与训练有着重要意义,而且一阶常系数线性差分方程组在高中数学中有一些特殊的作用.这对一个未来的中学数学教育工作者是至关重要的.国家教育部新制定的“普通高中数学课程标准”中,对数列与差分专题中“一阶线性差分方程组的解”的要求是给定初始值,会用迭代法求一阶线性差分方程组的解.尽管我们不要求学生了解一阶线性差分方程组的通解公式,但是,教师若能了解其通解公式,就能更好的掌握解的变化趋势.涉及到这部分的论文不多,本文给出了求解一阶线性差分方程组的两种解法,迭代法和公式法,希望能给爱好这部分知识的学者和数学教师的教学有所帮组.11n n n n n n x ax by c y dx ey f ++=++=++⎧⎨⎩ (1) 当0c =且0f =时,即11n n n n n n x ax by y dx ey ++=+⎧⎨=+⎩ (2) 称为一阶齐次线性差分方程组,否则如(1)所示,称为一阶非齐次线性差分方程组,并称(2)为(1)对应的齐次线性差分方程组.一阶非齐次线性差分方程组的通解 = 一阶非齐次线性差分方程组的一个特解+ 一阶齐次线性差分方程组的通解．所以,要求出一阶非齐次线性差分方程组(1)的通解,就得求出其对应齐次线性差分方程组(2)的通解和一阶非齐次线性差分方程组(1)的一个特解．设{}{},n n a b 是数列,满足地推关系 111122n n n n n n a A a B b b A a B b ++=+⎧⎨=+⎩ (1) 其中1212,,,,A A B B R ∈称为一阶线性齐次差分方程组.11111222n n n n n n a A a B b C b A a B b C ++=++⎧⎨=++⎩ (2)其中设{}n n a xb +是等比数列,其中x 是待定系数,则1111221212121212()()()()()n n n n n n n nn n a xb A a B b x A a B b A xA a B xB b B xB A xA a b A xA +++=+++=++++=+++ 设1212B xB x A xA +=+ (5) 则数列{}n n a xb +是首项为11a xb +,公比是12A xA +的等比数列.不全为零,一阶线性非齐次差分方程组.。

对应代数方程:
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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2018年10月15日
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一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
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, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:

b
a
f ( x)dx 。

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n