高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇（341200）在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程x n+1=kx n+b (1)是讨论的重点，其一般形式为x n+1=kx n+f(n) (2)其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程x n+1=kx n(3)称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法．1 求一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解为x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…，一般地，有x n= kx0-1= k(k n-1x0)= k n x0，n = 1，2，…，由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程x n+1=kx n的通解可表为x n=k n c（c为任意常数）.对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可.2 求一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b的通解2．1探索一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b通解的结构设数列﹛y n﹜，﹛z n﹜为方程（3）的任意两个解，则y n+1=k y n +b (4)z n+1= k z n +b (5)(4)－(5) 得y n +1－z n +1=k(y n－ z n )这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若a n为非齐次方程（3）的任意一个解，b n为非齐次方程（3）的一个特解，则a n-b n就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解a n 作适当变形：a n=a n+b n- b n= b n +( a n - b n)这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解．2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有x1=kx0+bx2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)x3=kx2+b= k[k2x0+b(1+k)]+b= k3x0+b(1+k+k2)……x n=k n x0+b(1+k+k2+…+k n-1)ⅰ）当k ≠1时, 1+k+k 2+…+k n-1 =k k n --11 此时x n =k n x 0+k k b n --1)1(=k n (x 0－k b-1)+k b -1由于x 0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x 0－k b-1 也为任意常数．令x 0－kb-1=c ，则（3）的通解可表为 x n =k n c+k b -1 （c 为任意常数）ⅱ）当k=1时,1+k+k 2+…+k n-1=n此时x n =x 0+nb由于x 0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为x n =c+nb （c 为任意常数）②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解．ⅰ）当k ≠1时，设方程（3）有一特解x n =A ，其中A 为待定常数，将其代入（3），有 A=kA+b ， A=k b -1 ， 即x n =kb -1 知此时方程（3）的通解为x n = k n c+kb -1 （c 为任意常数） ⅱ）当k=1时，方程（3）为x n+1=x n +b ，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如x n =An 的特解，代入（3），有A(n+1)=An+b ， 得A=b ， 即x n =bn知此时方程（3）的通解为x n = k n c+bn= c+bn （c 为任意常数）例1 求差分方程2y t+1+5y t =0的通解，并求满足y 0=2的特解.解 将原方程改写成y t+1=（-25）y t ， 故其通解为y t =(-25)t c ， c 为任意常数.用y 0=2代入通解：2=（-25）0c ， 得 c = 2 .满足初值y 0=2的特解为y t =2(-25)t. 例2 求下列差分方程的通解（1）x n+1=x n +4（2）x n+1+x n =4解（1）方程中有k=1，b=4 .其通解为x n =c+4n ，（c 为任意常数）.（2）原方程可化为 x n+1= －x n +4 ，方程中k=－1，b=4 ，其通解为 x n = (－1)n c+)1(14--= (－1)n c+2 ，（c 为任意常数）.例3 某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，（1）若用y n 表示第n 排的座位数，试写出用y n 表示y n+1的公式. （2）第10排的座位是多少个？（3）若用S n 表示前n 排的座位数，试写出用S n 表示S n+1的公式. （4）若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解 （1）y n+1= y n +2 n =1,2,…（2）解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，通解为 y n =2n+c ，c 为任意常数 .由已知y 1=30，代入，得c = 28 .特解为y n =2n+28 ， y 10=2×10+28=48(个) .（3）S n+1=S n +y n+1=S n +[2(n+1)+28]可得表达式为 S n+1=S n +2n+30 ， n=1，2，…（4）先解上述差分方程，由S n+1－S n =2n+30 ，即△S n =2n+30,知S n 的表达式为n 的二次函数，设S n =An 2+Bn+C ，则△S n =A （n+1）2+B （n+1）+C －An 2－Bn －C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得 A=1， B=29 . 又由初始条件 y 1= 30= S 1，有30 =A+B+C ，故C=0 .因此本问题的特解S n = n 2+29n ， n =1,2,…S 20= 202+29×20=980（个）.注意：在本例小题（1）中每排座位数的表达式y n+1=y n +2 y n+1－y n =2,与小题（2）中前n+1排座位数表达式S n+1=S n +2n+30即S n+1-S n =2n+30都属一阶非齐次线性差分方程x n+1=kx n +f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属f(n) 为n 的一次函数的情况，利用差分有关知识，知S n 的表达式是关于n 的二次函数．参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004．431，448-460.[4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学（一）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.380-389 .（本文刊于中学数学教学(合肥)，2006，6．）。
