一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为y t+1+ay t=f(t) (11-2-1)和y t+1+ay t=0，(11-2-2)其中f(t)为t的已知函数，a≠0为常数．我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程．一、齐次差分方程的通解将方程(11-2-2)改写为：y t+1=-ay t, t=0,1,2,…．假定在初始时刻(即t=0)时，函数y t取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为y t =A(-a)t, t=0,1,2,…．如果给定初始条件t=0时y t=y0,则A=y0,此时特解为：y t =y0(-a)t．（11-2-3）二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法．１．迭代法求通解将方程(11-2-1)改写为y t+1=(-a)y t+f(t), t=0,1,2,…．逐步迭代，则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………由数学归纳法，可得y t=(-a)t y0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)t y0+ty, (t=0,1,2,…)，（11-2-4）其中ty=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=∑-=-1) (t iia·f(t-i-1) （11-2-5）为方程(11-2-1)的特解．而y A(t)=(-a)t y0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解．这里y0=A 为任意常数．因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解．与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述．例1 求差分方程y t +1-21y t =2t 的通解． 解 方程为一阶非齐次线性差分方程．其中a =-21,f (t )=2t ．于是由非齐次方程的特解公式(11-2-5)有∑∑-=-----=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011102212221t i i it i t it i t y=).12()21(31411)41(12412211101-=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-∑t t tt it i t 由(11-2-4)式，得所给方程的通解y t =A ·(21)t +31(21)t -1(22t -1)= A (21)t +31·2t +1, 这里A =A -32为任意常数． 2． 待定系数法求特解迭代法虽然可直接推导出非齐次方程(11-2-1)的通解公式(11-2-4)，但是在实际应用中经常用公式(11-2-5)直接去求方程(11-1-1)的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方程(11-2-1)的特解的别的方法．与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的f(t)，常采用待定系数法去求方程(11-2-1)的特解，而不是直接利用公式(11-2-5)求特解．下面介绍经济学中常见的几类特殊f(t)的形式及求其特解的待定系数法． 情形Ⅰ f (t )为常数． 这时，方程(11-2-1)变为y t +1+ay t =b ， (11-2-6)这里a ,b 均为非零常数．试以t y =μ(μ为待定常数)形式的特解代入方程(11-2-6)，得μ+a μ=(1+a )μ=b ．当a ≠-1时，可求得特解aby t +=1 (a ≠-1)， 当a =-1时，这时改设特解t y =μt (μ为待定系数)，将其代入方程(11-2-6)，得μ(t +1)+aμt =(1+a )μt +μ=b ,因a =-1,故求得特解t y =bt (a =-1)．综上所述，方程(11-2-6)的通解为y t =y A (t )+t y =⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++-,1,,1,1)(a bt A a ab a A t (11-2-7) 其中A 为任意常数．例2 求差分方程y t +1-2y t =5的通解．解 因a =-2≠-1,b =5,故由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为y t =A ·2t -5, A 为任意常数．例3 求差分方程y t +1-y t =-5满足初始条件y 0=1的通解． 解 因a =-1,b =-5,则由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为y t =A -5t ,以t =0,y 0=1代入通解之中，求得A =1．于是，所求方程的特解为y t =1-5t ．情形Ⅱ f (t )为t 的多项式．为讨论简便起见，不妨设f (t )=b 0+b 1t (t 的一次多项式)，即考虑差分方程y t +1+ay t =b 0+b 1t , t =1,2,…， (11-2-8)其中a ,b 0,b 1均为常数，且a ≠0,b 1≠0．试以特解t y =α+βt ,(α，β为待定系数)代入方程(11-2-8)，得α+β (t +1)+a (α+βt )=b 0+b 1t ，上式对一切t 值均成立，其充分必要条件是：⎩⎨⎧=+=++.)1(,110b a b a ββα )( 当1+a ≠0时，即a ≠-1时，α =210)1(1a b a b +-+，β=a b +11, 于是，方程(11-2-8)的特解为t ab a b a b y +++-+=1)1(11210 (a ≠-1)； 当a =-1时，改设特解t y =(α+βt )t =αt +βt 2，将其代入方程(11-2-8)，并注意α=-1,可求得特解t y =(b 0-21b 1)t +21b 1t 2 (a =-1)．综上所述，方程(11-2-10)的通解为y t =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+≠+++-++-.1,21)21(,1,1)1(1)(21101210a t b t b b A a t a b a b a b a A t(11-2-9)例4 求差分方程y t +1-3y t =2t 满足y 0=21的特解． 解 因a =-3≠-1,b 0=0,b 1=2,故由通解公式(11-2-9)得 所给方程的通解为．y t =A ·3t -21-t , A 为任意常数． 以t =0,y 0=21代入上式，求得A =1,于是所求方程的特解为 y t =3t -21-t ．例5 求差分方程y t +1-y t =3+2t 的通解．解 因a =-1,b 0=3,b 1=2,故由通解公式(11-2-9)得所给方程的通解为y t =A +2t +t 2,A 为任意常数．情形Ⅲ f (t )为指数函数．不妨设f (t )=b ·d t ，这里b ,d 均为非零常数，于是方程(11-2-1)变为y t +1+ay t =b ·d t , t =0,1,2,…． （11-2-10）当a +d ≠0时，设方程(11-2-10)有特解t y =μd t ，这里μ为待定系数．将其代入方程(11-2-10)，得μd t +1+a μd t =b ·d t ,求得特解t y =da b+·d t (a +d ≠0)； 当a +d =0时，改设(11-2-10)的特解t y =μtd t ,μ为待定系数，将其代入方程(11-2-10)，注意a +d =0,可求得特解t y =btd t (a +d =0)．综合上述，方程(11-2-10)的通解为y t =y A (t )+t y =⎪⎩⎪⎨⎧=++-≠+⋅++-.0,)(,0,)(d a btd a A d a d da b a A tt t t （11-2-11） 例6 求差分方程y t +1-y t =2t 的通解．解 因a =-1,b =1,d =2，故a +d =1≠0．由通解公式(11-2-11)得原方程的通解y t =A +2t ，A 为任意常数．例7 求差分方程2y t +1-y t =3·(21)t的通解． 解 因a =-21,b =23,d =21,故a +d =0.由通解公式(11-2-11)，得原方程的通解 y t =(A +3t )·(21)t ,A 为任意常数．情形Ⅳ f (t )为正弦、余弦型三角函数．设f (t )=b 1cos ωt +b 2sin ωt ,其中b 1,b 2,ω均为常数，且ω≠0，b 1与b 2不同时为零．于是非齐次方程(11-2-1)变为y t +1+ay t =b 1cos ωt +b 2sin ωt ，a ≠0, t =0,1,2,…． (11-2-12)设方程(11-2-12)有特解t y =αcos ωt +βsin ωt ,这里α,β均为待定系数．将其代入方程(11-2-12)得αcos ω(t +1)+βsin ω(t +1)+aαcos ωt +aβsin ωt =b 1cos ωt +b 2sin ωt ,利用三角恒等式，经整理得(αcos ω+βsin ω+aα)cos ωt +(-αsin ω+βcos ω+aβ)sin ωt =b 1cos ωt +b 2sin ωt ,上式对t =0,1,2,…恒成立的充分必要条件是⎩⎨⎧=++⋅-=⋅++.)cos (sin ,sin )cos (21b a b a βωαωβωαω 这是关于α，β为未知量的线性方程组，其系数行列式D =ωωωωcos sin sin cos +-+a a =(a +cos ω)2+sin 2ω，当D ≠0时，则可求得其解[][]⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=;sin )cos (1,sin )cos (11221ωωβωωαb a b D b a b D (11-2-13) 当D =(a +cos ω)2＋sin 2ω=0时，则有⎩⎨⎧-==.1,2a k πω或()⎩⎨⎧=+=.1,12a k πω (k 为整数)． (11-2-13)′ 这时，我们改设特解t y =t (αcos ωt +βsin ωt ),α，β为待定系数．将其代入(11-2-12)，并利用条件(11-2-13)′，经整理可得⎩⎨⎧==21,b b βα 或 ⎩⎨⎧-=-=.,21b b αα， 结合上述，方程(11-2-12)的通解为t y =[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++---==++--≠++-.1,)12(,)12sin()12cos()1(,1,2),2sin 2cos (),13211(,,0,sin cos )(2121a k t k b t k b t A a k t k b t k b t A D t t a A tt ππππππωωβαωβωα见(11-2-14)值得注意的是：若f (t )=b 1cos ωt 或f (t )=b 2sin ωt 时，方程(11-2-12)所应设的特解仍取为t y =αcos ωt +βsin ωt 或t y =t (αcos ωt +βsin ωt )的形式，不能省略其中任何一项．例8 求差分方程y t +1-2y t =cos t 的通解． 解 对应齐次方程的通解为y A (t )=A ·2t ．设非齐次方程的特解为t y =αcos t +βsin t ,其中α,β为待定系数．将其代入原方程，并利用三角函数的和角公式，得⎩⎨⎧=-+-=+-.0)21(cos 1sin ,11sin )21(cos βαβα 由此求得1cos 4521cos --=α,1cos 451sin -=β．于是，所给方程的通解为y t =t t t A sin 1cos 451sin cos 1cos 451cos 22-+---⋅,其中A 为任意常数．上述f (t )的四种类型，已基本包含了经济学应用中常见的函数类型．实际中,若遇到这几种类型的线性组合形式的f (t ),则可设试解函数为同类型特解的线性组合．例如，对于函数f (t)=t +3e t +2sin t 时，我们可设试解函数为y =(B 0+B 1t )+B 2e t +B 3cos t +B 4sin t ，这里B 0，B 1，B 2，B 3，B 4均为待定常数．习题11-21． 验证y 1(t )＝1,y 2(t )=11+t 是方程y t +2-232++t t y t +1+31++t t y t =0的解，并求该差分方程的通解．2． 已知y 1(t )=2t ,y 2(t )=2t -3t 是差分方程y t +1+a (t )y t =f (t )的两个特解，求a (t )及f (t )． 3． 设y 1(t ),y 2(t ),y 3(t )分别是差分方程：y t +1+ay t =f 1(t ); y t +1+ay t =f 2(t ); y t +1+ay t =f 3(t )的解， 求证：z (t )=y 1(t )+y 2(t )+y 3(t )是差分方程y t +1+ay t =f 1(t )+f 2(t )+f 3(t )的解． 4． 求下列差分方程的通解：(1) 3y t +1+y t =4; (2) 2y t +1+y t =3+t ;(3) y t +1+y t =2t ； (4) y t +1-y t =2t ·cos πt ．［提示：设特解t y =2t (B 1cos πt +B 2sin πt ),B 1,B 2为待定系数］ 5． 求下列差分方程的特解：(1) 16y t +1-6y t =1, y 0=0.2; (2) 2y t +1-y t =2+t , y 0=4;(3) y t +1-y t =2t -1,y 0=5; (4) y t +1+4y t =3sin πt , y 0=1． 6． 设a ,b 为非零常数，且1+a ≠0．试证：通过变换u t =y t -ab+1,可将非齐次方程y t +1+ay t =b 变换为u t 的齐次方程，并由此求出y t 的通解．7． 已知差分方程(a +by t )y t +1=cy t ,t =0,1,2,…，其中a ,b ,c 为正常数，y 0为正的已知初始条件．(1) 试证：y t ＞0,t =1,2,3,…；(提示：用迭代法证) (2) 试证：变换u t =ty 1将原方程可化为u t 的线性方程，并由此求出y t 的通解； (3) 求方程(2+3y t )y t ＋1=4y t 满足初始条件y 0=21的特解．。