二次函数的图像与性质(7)

与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向

二次函数的图像和性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五、二次函数2y ax bx c =++的性质六、二次函数解析式的表示方法七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 八、二次函数图象的对称九、二次函数与一元二次方程：考点一：二次函数的定义相关典型例题【例1】下列函数中，是二次函数的是 . ①；②；③；④；知识概括、方法总结与易错点分析 【解析】①、②、③【方法总结】结合二次函数的定义解决此类问题。

需要注意的系数不为0.【例2】如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______.知识概括、方法总结与易错点分析【方法总结】解决此类为题首先由最高次项的次数为2列出一个方程，在根据的系数不为0讨论方程的解的取舍.【例3】 二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 .针对性练习 1．已知二次函数，当时.2．下列各式中，y 是的二次函数的是 ( )A ．B ．C ．D ．.3．若是二次函数，则.4．若函数是关于的二次函数，则的取值范围为 .5．已知函数是二次函数，则＝ .考点二：一般式化为顶点式典型例题【例4】分别运用公式法和配方法将二次函数y=x 2－4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式：y=___________知识概括、方法总结与易错点分析【方法总结】如果题目没有特殊要求，建议学生用公式法解决相关问题，以减少解题时间.但是教师在讲解此题时需重视配方法的讲解,很多学生在配方的过程中经常出现错误.针对性练习：1、分别用配方法和公式法把二次函数y=x 2－4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式.2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ．考点三：二次函数的性质典型例题【例5】抛物线与的形状相同，则=知识概括、方法总结与易错点分析【解析】.【方法总结】决定抛物线开口的方向和开口大小.抛物线开口向上；抛物线开口向下.越小抛物线开口越大.【学生易错点】忽略开口向上的情况. 【例6】二次函数的图象，如图所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小关系是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c<0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 知识概括、方法总结与易错点分析 【解析】C. 【方法总结】根据抛物线的开口方向判断的正负：抛物线开口向上，；抛物线开口向下，根据抛物线与轴的交点判断的正负：抛物线交轴于正半轴，；抛物线交轴于正半轴，；抛物线交轴于远点，.结合，根据对称轴判断的正负：左同右异.【例7】、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________. 【解析】2；.知识概括、方法总结与易错点分析【学生易错点】误以为交点坐标为.后面讲解的二次函数的顶点坐标也是需要注意的.【例8】y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是__________,与y轴交点坐标是____________.知识概括、方法总结与易错点分析【解析】【方法总结】求函数图像与x轴的交点坐标，另y=0，求出即可；求函数图像与y轴交点坐标，另x=0即可.【例9】二次函数y=-x2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________.知识概括、方法总结与易错点分析【解析】（3，12）；直线.【方法总结】顶点坐标；对称轴为直线.【学生易错点】对称轴为“”，经常忘记写直线.在教学时需强调答题的规范性.【例10】二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________.知识概括、方法总结与易错点分析【解析】【方法总结】先求出对称轴，然后将代入，求出顶点纵坐标.【例11】二次函数的顶点坐标为 .知识概括、方法总结与易错点分析【解析】（2，-2）【学生易错点】误以为顶点坐标为（-2，-2）.已知顶点式求顶点、已知两根式求抛物线与轴的交点坐标需重点讲解.【例12】二次函数y=－x2＋6x－5，当时，随的增大而减小.知识概括、方法总结与易错点分析【解析】【方法总结】抛物线开口向下，则在对称轴右侧部分的函数图像随的增大而减小.【例13】已知点A（2，），B（4，）在二次函数的图像上，则.知识概括、方法总结与易错点分析【解析】<【方法总结】解决此类问题虚线考虑给出的点是否在对称轴的同侧，如果不在须求出其中一点关于对称轴的对称点，再根据随的变化情况进行判断；如果在对称轴的同一侧可直接判断【巩固练习】1．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．B． C．D．2．在函数中，其图像的对称轴是轴的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（）A. B. C. D.4．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(1) (2)6．已知二次函数的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（）A.①②③④B.④C.①②③D、①④7. 如果函数y = ax2+4x-的图像的顶点的横坐标为l，则a的值为 .8. 已知抛物线y = ax2+12x-19的顶点的横坐标是3，则 a= .考点四：二次函数图像的平移典型例题【例14】把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 .【巩固练习】1．抛物线的图象可由抛物线向平移个单位得到，它的顶点坐标是，对称轴是 .2．抛物线的图象可由抛物线的图象向平移个单位得到，它的顶点坐标是，对称轴是 .3．直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)★学生易错点★题目1：如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_______.【正解】【错解】，【学生易错点】学生经常忽略，一次函数和反比例函数的相关题型也可列出，提醒学生重视.题目2：下列函数中，二次函数有个.①；②；③；④；⑤⑥；【正解】3【错解】4；5【学生易错点】学生误以为⑤、⑥都是二次函数.学生比较容易忽略.而且要提醒学生注意：判断函数是不是二次函数，需先将函数化简，再作判断.否则容易误认为⑤也是二次函数.题目3：函数与轴的交点坐标为 .【正解】（0，14）向左平移两个单位，得到函数 .5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <06. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为A.5B.-3C.-13D.-277. （2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞38. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值第6题图10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 11. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）12. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。

本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

我们先来讨论二次函数的图像。

1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。

当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。

对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。

例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。

代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。

3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。

判别式的正负决定了二次函数的根的性质。

当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。

由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。

二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。

1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。

________________，对称轴是过顶点且平行于_____的一条直线． (2) 若a＞0，则当x＝______时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最_____值,为
________ ； 若 a ＜ 0 ， 则 当 x ＝ _____ 时 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 有 最 _____值，为________． 2. 用 配方 法 可 将二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 转 化 为 y＝ a(x ＋ ____)2 ＋ _______．
5.2 二次函数的图像和性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的关
系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函
数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
∴最大值与最小值之差是 25(不合题意，舍去)． 当 b＞0 时，c＞0，若函数的图像不经过第三象限，则 b2 －4×2b≤0，∴0＜b≤8.∴－4≤－b2＜0. 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－b2≤－2，即 b≥4 时，函数有最大值 1＋3b； 当－b2＞－2，即 b＜4 时，函数有最大值 25－3b.
1. “提”：提出 二次项系数；
方
y＝ - (x+2)2-1.
y＝ － (x2+4x＋4－4)-5 y＝ － (x+2) 2－5+4 y＝ － (x+2) 2－1