一阶常系数线性差分方程

差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。

先来说说啥是差分方程。

简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。

就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。

比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。

这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。

咱们来仔细瞅瞅它的公式。

一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。

求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。

拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。

再说说特征根法。

先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。

我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。

”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。

小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。

二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。

一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。

求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。

在实际应用中，差分方程可太有用啦。

比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。

总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。

⼀阶常系数线性差分⽅程通解求法最近遇到要求解此类差分⽅程的问题，查阅了相关资料，进⾏了完善并记录下来求⼀阶常系数齐次线性差分⽅程的通解⼀阶常系数齐次线性差分⽅程的⼀般形式为y n+1−ay n=0,(a≠0)迭代法给定初始值为y0，则y1=ay0,y2=ay1=a2y0,y3=ay2=a(a2y0)=a3y0,…,y n=a n y0其中初始值y0为常数，令y0=C，则通解可表⽰为Y n=Ca n当存在某⼀个y x已知时，将其代⼊通解，可以求得C特征根法将原⽅程变形y n+1−ay n=0,(a≠0)⟺y n+1−y n+(1−a)y n=0⟺Δy n+(1−a)y n=0,(a≠0)根据 Δλn=(λ−1)n可以看出y n的形式⼀定为某⼀指数函数设y n=λn(λ≠0) ，代⼊原⽅程得λn+1−aλn=0 ，即λ−a=0⟺λ=a于是y n=a n是原⽅程的⼀个解，从⽽y n=Ca n是原⽅程的通解举例【例1】求y n+1−y n=0 的通解【解】特征⽅程为λ−1=0 ，解得特征根为λ=1 ，所以原⽅程的通解为Y n=C【例2】求y n+1−2y n=0 的通解【解】特征⽅程为λ−2=0 ，解得特征根为λ=2 ，所以原⽅程的通解为Y n=C⋅2n【例3】已知y0=1 ，求y n+1+y n=0 的通解【解】特征⽅程为λ+1=0 ，解得特征根为λ=−1 ，所以原⽅程的通解为Y n=C(−1)n将y0=1 代⼊，得到 1=C(−1)0⟺C=1 ，所以原⽅程的通解为Y n=(−1)n求⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的通解⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的⼀般形式为y n+1−ay n=f(n),(a≠0)当f(n)=0 时，⽅程为y n+1−ay n=0 ，称它为原⽅程对应的齐次⽅程⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的通解为对应的齐次⽅程通解Y n与原⽅程的特解y∗n之和，即y n=Y n+y∗n 当f(n) 为某些特殊类型的函数时，采⽤待定系数法求其特解y∗n较为⽅便右端函数为m阶多项式类型原⽅程变形为 Δy n+(1−a)y n=f(n),(a≠0)由于f(n) 为多项式，因此y∗n也应该是多项式当a≠1 时，令y∗n=θ0n m+θ1n m−1+⋯+θm当a=1 时，令y∗n=n(θ0n m+θ1n m−1+⋯+θm)举例【例1】求y n+1−y n=n2的通解【解】对应的齐次⽅程为y n+1−y n=0 ，特征⽅程为λ−1=0 ，特征根为λ=1 ，齐次⽅程的通解为Y n=C 设原⽅程的特结为y∗n=an3+bn2+cn，代⼊原⽅程得a(n+1)3+b(n+1)2+c(n+1)−an3−bn2−cn=n2原⽅程要恒成⽴，⽤待定系数法得到a=13,b=12,c=16所以原⽅程的通解为y n=13n3+12n2+16n+C右端函数为指数函数与m阶多项式相乘设原⽅程为y n+1−ay n=µn P m(n),(a≠0)当µ=0,1 时，属于上⾯⼀种情况当µ≠0,1 时，设y n=µn⋅z n代⼊原⽅程得µn+1zn+1−aµn z n=µn P m(n)消去µn，得µz n+1−az n=P m(n) ，就成为了上⾯⼀种类型，于是y∗n=µn⋅z∗n 参考资料Processing math: 100%。

微积分Calculus一阶常系数线性差分方程一一阶常系数线性差分方程概念1一般形式：1()x x y py f x +−=其中为不等于零的常数，为已知函数。

p ()f x ()f x 若不恒等于零，称以上方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。

()f x 若恒等于零，称以上方程为一阶常系数齐次线性差分方程。

齐次线性差分方程的解法1yx =pyx−1=p ∙py x−2=p ∙p ∙py x−3=⋯=p x y 010x x y py +−=一阶齐次线性差分方程：将上述方程变形为：则有：记得一阶齐次线性差分方程的通解：0C y =xx y Cp =　（为任意常数）C 二一阶常系数线性差分方程的解法y x+1=py x求差分方程130x x y y ++=的通解。

因为，将其代入通解公式得：3p =−(3)x x y C =−　（为任意常数）C 13x xy y +=−将原方程变形为：例解一阶非齐次线性差分方程：1()x x y py f x +−=下面介绍对的三种特殊形式求非齐次差分方程特解的方法。

()f x 非齐次线性差分方程的解法2（1）（为常数，）()f x k =k 0k ≠差分方程变为：1x xy py k +−=　设其特解形式为：s x y Ax *=（其中为待定常数）,A s1,p ≠①取即：0s =x y A*=1,p =②取即：1s =x y Ax*=x y A *=将代入差分方程求得A将代入差分方程求得Ax y Ax *=21716x x y y +++=求差分方程的通解.对应齐次差分方程：的通解为：217x x y y +++=0(7)xx y C =−　（为任意常数）C p =−7≠1,设特解为y x ∗=A代入原方程得：2A =故原差分方程通解为：2(7)x x y C =+−（为任意常数）C 例解（2）（其中为常数，且）()xf x ka =k a ，0a >0a ≠非齐次差分方程变为：1x x x y py ka +−=　设特解形式为：x sx y Aa x*=①时，取即p a ≠0s =x x y Aa *=②p a =1s =x x y Axa *=时，取即求差分方程的通解11242x x x y y ++−=原方程化简为122xx x y y +−=对应齐次差分方程通解为2xx y C =　（为任意常数）C 2p a ==由于，所以原方程得特解形式为：2xx y Ax =代入原方程得：1(1)2222x x xA x Ax ++−=12A =例解原方程特解为：11222x x x y x x *−==所以原方程通解为：12(2)x x x y x C −=+（为任意常数）C。

一阶常系数线性差分方程的一种解法
一阶常系数线性差分方程是一种基本的、具有重要应用价值的数学结构，在数
学中占据一个重要的地位。

它的一种重要解法是通过解耦和归纳的方法，这一方法更容易得到较为准确的结果。

解这一方程的核心方法是将含有高次的差分方程解耦，将它们分解成一些一阶
方程，解得各个方程的答案之后，通过归纳法求解总方程，实现对方程的解答。

在这一方法中，用于求解方程的关键工具是解析学，它不仅帮助我们更好地分解现有方程，而且还能够让我们更快地求出答案。

其次，要采用这一解法解决常系数线性差分方程，我们还需要识别出它的特征。

在这一步骤中，需要建立差分方程的数学模型，对高次项的系数进行把握，以及明确方程组的差分系数。

将这些信息整合在一起，可以构建多项式，进而得出较全面的解答。

最后，要求得一阶常系数线性差分方程的解，仍需要对求得的结果进行校核，
以确保其准确性。

这里，可以通过进行直观检查，或者求根论来对结果进行检验，以达到建立一个准确的解答。

总的来说，通过解耦和归纳的方式求解一阶常系数线性差分方程，其优势在于
简便易行，数值准确，并且能够大大缩短求解的时间。

第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为y t+i+ay t f(t) (11 2 1)和y t+i+ay t 0, (11 2 2)其中f(t)为t的已知函数，a丰0为常数.我们称方程(11 2 1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11 2 2)称为其对应的齐次差分方程.一、齐次差分方程的通解将方程(11 2 2)改写为：y t+1 ay t, t 0,1,2,….假定在初始时刻(即t 0)时，函数y t取任意值A,那么由上式逐次迭代，算得y1 ay o aA,y2 ay1 ( a)2A,由数学归纳法易知，方程(11 2 2)的通解为y t A( a)t, t 0,1,2,….如果给定初始条件t 0时y t y o,则A y o,此时特解为：y t y0( a)t. (112 3)二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11 2 1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11 2 1) 的特解的常用方法为待定系数法.1.迭代法求通解将方程(11 2 1)改写为y t+1 ( a)y t+f(t), t 0,1,2,….逐步迭代，则有y1 ( a)y o+f(0),y2 ( a)2y0+( a)f(0)+f(1),y3 ( a)3y0+( a)2f(0)+( a)f(1)+f(2),由数学归纳法，可得y t ( a)t y0+( a)t1f(0)+( a)t 2f(1)+ …+f(t 1) ( a)t y0+ y t, (t 0,1,2,…)，(11 2 4) 其中t 1y t( a)t 1f(0)+( a)t2f(1)+...+f(t 1) ( a)i• f(t i 1) (11 2 5)i 0为方程(11 2 1)的特解.而y A(t) ( a)t y0为(11 2 1)对应的齐次方程(11 2 2)的通解.这里y A为任意常数.因此，(11 2 4)式为非齐次方程(11 2 1)的通解.与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(112 1)的通解(11 24 )也可以由齐次方程(11 2 2)的通解(11 2 3)经由常数变易法求得，这里不予赘述.1例1求差分方程y t+1 1y t 2t的通解.方程为一阶非齐次线性差分方程•其中1 ,f(t)2\于是由非齐次方程的特解公式(11 2 5)有 ty t i2t i由(11 2 这里A 2t 2t1(4) 1 141(1)t1(22t 1). 4）式，得所给方程的通解 J 、t 1 ‘ 2’ 3 1y t A ^2)t +3(2)t1(22t 1)・ 2t+12 A 为任意常数. 3待定系数法求特解 2. 迭代法虽然可直接推导出非齐次方程 经常用公式（11 2 5）直接去求方程（11 1 1）的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方 程（11 2 1）的特解的别的方法.与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的 f （t ），常采用待 定系数法去求方程（11 2 1）的特解，而不是直接利用公式 （11 2 5）求特解. 下面介绍经济学中常见的几类特殊 f （t ）的形式及求其特解的待定系数法. 情形I f （t ）为常数. 这时，方程（11 2 1）变为 y t+1 + ay t b , （11 2 1）的通解公式（11 2 4），但是在实际应用中 (11 2 6)这里a,b 均为非零常数. 试以y 口（ 口为待定常数）形式的特解代入方程（11 2 6），得当a 工1时，可求得特解 y t 当a 1时，这时改设特解y t 11（ i 为待定系数），将其代入方程（11 2 6），得 [1 (t+1)+ a ^t(1 + a) b, 因a 1,故求得特解 Y t bt (a 1). 综上所述，方程 (11 2 6）的通解为y t yA（t ）+y tA( a)t1, (11 2 7)A bt,1,其中A 为任意常数. 例2求差分方程y t+1解因a 2丰1,b 5,故由通解公式（112y t 5的通解.2 7），得原方程的通解为y t A • 2t 5, A为任意常数.例3 求差分方程y t+i y t 5满足初始条件y o 1的通解.解因a 1,b 5,则由通解公式(11 2 7)，得原方程的通解为y t A 5t,以t 0,y o 1代入通解之中，求得 A 1.于是，所求方程的特解为y t 1 5t.情形n f(t)为t的多项式.为讨论简便起见，不妨设f(t) b o+b1t(t的一次多项式)，即考虑差分方程y t+1+ay t b o+b1t, t 1,2,…，(11 2 8) 其中a,b o,b1均为常数，且0,"工0.试以特解y t + t,(,为待定系数)代入方程(11 2 8)，得+ (t+1)+a( + t) b o+b1t,上式对一切t值均成立，其充分必要条件是：当1+a z 0时，即1于是，方程(11 2 8)的特解为y 当a 1时，改设特解(1 a) b o, (1 a) b1.时，b o b1 b12，, 1a (1a) 1 ab o b1 b!------ ------------ 2 t (a 丰1a (1 a) 1 aY t ( + t)t t+ t2,将其代入方程(11 2 8),并注意1,可求得特解- 1 1 2 y t(b o —b1)t+—b1t2 (a 1).2 2综上所述，方程(11 2 10)的通解为A( a)t-b-—匚2 -匚t, a 1,1a (1a) 1 a1 1 2A (b o 2d)t 2bit , a 1.1例4求差分方程y t+13y t2t满足y o —的特解.2解因a 3丰1,b o o,b1 2,故由通解公式(11 2 9)得所给方程的通解为.1y t A 3t 一t,2A为任意常数. 1)；(11 2 9)1以t 0,y。