第九章 压杆稳定

第九章 压杆稳定§9-1 压杆稳定的概念一、压杆稳定问题的提出在前面讨论的受压杆件，是从强度方面考虑的，根据轴向压缩强度条件来保证压杆的正常工作。

事实上，这仅对于短粗杆才是正确的，而对于细长杆，就不能单纯从强度方面考虑了。

例如，一根20.511mm ⨯的矩形截面钢杆（钢锯条），其屈服极限为780s MPa σ=，承受轴向力P 作用（图9-1-1）。

当杆很短时（5mm 左右），将它压坏所需要的压力1 4.29s P A KN σ==；当杆长达313mm 时，则只需要用2 2.4P N =的压力，就会使杆突然变弯而丧失承载能力。

这个例子中，21P P <<，这说明细长杆的承载能力并不取决于杆的抗压强度，而是与它受压突然变弯有关。

失稳：细长杆受压力时，不能保持原有直线状态的平衡而突然变弯的现象称为丧失稳定——失稳。

压杆的稳定性：受压杆件保持直线状态平衡的能力——稳定性。

由此可见，细长压杆的破坏形式是失稳。

因此，应考虑其稳定性问题，而不是强度问题。

二、平衡的稳定性为了研究压杆的稳定问题，需要弄清平衡的稳定性。

下面就借助于刚性小球的三种平衡状态来说明平衡的稳定性问题。

1、小球在凹面上的平衡——稳定平衡。

扰动后，小球能恢复原来的平衡状态。

（图9-1-2a ）2、小球在平面上的平衡——随遇平衡（临界平衡）。

扰动后，小球就在新的位臵平衡，即不恢复，也不继续偏离原位臵（图9-1-2b ）。

3、小球在凸面上的平衡——不稳定平衡。

扰动后，小球迅速偏离原来的平衡位臵，再也不能回到原来的平衡状态（图9-1-2c ）。

任何物体的平衡都有这三种状态，即稳定平衡，随遇平衡和不稳定平衡。

随遇平衡是物体从稳定平衡变为不稳定平衡的过渡状态——称为临界平衡。

上面小球的平衡状态的决定因素是——支承面的形状。

三、细长压杆的平衡状态现在回到我们的主题——压杆的稳定性问题上来。

对于受到轴向压力的细长杆，其直线状态的平衡是否也有稳定性问题呢？答案是肯定的。

例如图9-1-3所示的压杆，在轴向压力P 的作用下，当P 由小变大的过程中，可以观察到压杆的三种平衡状态：（为了考察平衡状态的稳定性，我们用一个微小的干扰力G ,将杆推成为弯状态。

）1、当1P 较小时，去掉G 后，压杆能恢复到原来的直线平衡位臵。

这说明，压杆这时的平衡状态是稳定平衡。

2、当2P 超过某一限度cr P 时，只要有一点轻微的横向干扰力，杆件就会迅速变弯而失去承载能力，再也不能恢复到原状。

这说明，压杆原来的直线状态平衡是不稳定平衡。

3、当压力值正好等于cr P 时，除去干扰G 后，压杆就会在微弯的状态下处于平衡。

这时压杆既不恢复原状，也不再继续变弯。

这种平衡状态称为随遇平衡，即临界状态。

压杆平衡状态的决定因素是压力P 的大小。

临界压力：使压杆由稳定平衡转变为不稳定平衡的极限压力值称为压杆的临界压力或临界载荷——cr P 。

P具有特殊重要的意义，因为临界状态是压杆稳定和不稳定平crP就成为判别压杆是否会失稳的唯一指衡的分界，因而临界压力cr标。

对于一个具体的压杆（材料、尺寸、约束情况均已知）来说，P是一个确定的值。

只要杆件所受的实际压力小于该杆的临界压力crP，那么，这根压杆就是稳定的。

由此可见，掌握临界压临界压力cr力的计算方法是非常重要的。

这也是本章的重点之一。

四、压弯变形的因素实际上干扰力就存在压杆本身之中。

1、压杆轴线不平直；2、载荷偏心；3、材质不均匀。

五、压杆的实例塔吊中的压杆、柴油机的挺杆、连杆，托架的撑杆、液压油缸的活塞杆、千斤顶的螺杆等。

失稳现象并不限于受压杆件。

截面窄而高的梁，受弯曲时，可能发生侧弯（弯曲加扭转）、薄壁容器受外压时，可能发生压扁的稳定性问题。

在一个结构中，可能因一个杆件的失稳，而导致整个结构全部破坏，而且破坏具有突然性。

在1881年至1897年的16年间，世界上有24座大桥因此而破坏。

§9-2 两端铰支细长压杆的临界力 根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度EI ，杆件长度l 和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。

确定临界力的方法有静力法、能量法等。

本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。

两端铰支中心受压的直杆如图9-2-1a 所示。

设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图9-2-1b 所示。

建立y x -坐标系，任意截面（x ）处的内力（图9-2-1c ）为N P = （轴向压力）， M Py = (弯矩)在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程22d y M dx EI =-，得22d y P y dx EI=-令EI P k =2，得微分方程 2220d y k y dx+= （a ） 此方程的通解为sin cos y A kx B kx =+利用杆端的约束条件，0,0x y ==，得0=B ，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：sin y A kx = （b ）利用约束条件，,0x l y ==，得0sin =kl A这有两种可能：一是0=A ，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是n kl =π，（=n １、２、３……）。

由此得出相应于临界状态的临界力表达式222l EI n P cr π= 实际工程中有意义的是最小的临界力值，即1=n 时的 cr P 值：22l EIP cr π= （15-1）此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。

因此，相应的 cr P 也称为欧拉临界力。

此式表明，cr P 与抗弯刚度（EI ）成正比，与杆长的平方（2l ）成反比。

压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。

因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的I 应为截面上最小的形心主轴惯性矩min I 。

将lk π=代入式（b ）得压杆的挠度方程为 sin x y A lπ= （c ） 在2l x =处，有最大挠度max y A =。

在上述分析中，max y 的值不能确定，其与 P 的关系曲线如图9-2-2中的水平线'AA 所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分方程，则得maxP y -曲线如图9-2-2中ＡＣ所示。

这种max P y -曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。

可以看出，当cr P P <时，压杆只有一条平衡路径ＯＡ，它对应着直线平衡形式。

当cr P P ≥时，其平衡路径出现两个分支（A Ｂ和A Ｃ），其中一个分支（A Ｂ）对应着直线平衡形式，另一个分支（A Ｃ）对应着弯曲平衡形式。

前者是不稳定的，后者是稳定的。

如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一 P 值的 E 点，处于弯曲平衡形式，而且该位臵的平衡是稳定的。

平衡路径出现分支处的 P 值即为临界力 cr P ，故这种失稳称为分支点失稳。

分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。

对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。

对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图9-2-2中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。

当压力P <max P ，处于路径ＯＦＧ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。

而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。

压力max P 称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力cr P 小，且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近cr P 。

因cr P 的计算比较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。

§9-3不同杆端约束情况压杆的临界力用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：1）一端固定、一端自由的压杆（图9-3-1a ）22)2(l EIP cr π=2）两端固定的压杆（图9-3-1b ）22)5.(l o EIP cr π=3）一端固定、一端铰支的压杆（图9-3-1c ）22)7.0(l EIP cr π≈综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为22)(l EI P cr μπ= （15-2） 式中，l μ 称为相当长度。

μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：两端铰支 1=μ一端固定、一端自由 2=μ两端固定 5.0=μμ一端固定、一端铰支7.0≈由此可知，杆端的约束愈强，则μ值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则μ值愈大，压杆的临界力愈低。

事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。

从9-3-1中挠曲线形状可以看出：长为l的一端固定、另端自由的压杆，与长为l2的两端铰支压杆相当；长为l的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.5l的两端铰支压杆相当；长为l的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为l7.0的两端铰支压杆相当。

需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。

另外，上述各种μ值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，μ值一般在0.5与1之间，通常将μ值取接近于1。

对于工程中常用的支座情况，长度系数μ可从有关设计手册或规范中查到。

§9-4 中柔度杆的临界应力一、临界应力和柔度将临界压力cr P 除以压杆的横截面积A ，就得到压杆的临界应力。

22()crcr P EI A l Aπσμ== 式中2I i A = i ——横截面的惯性半径。

22222()(/)cr cr P E E i A l l i ππσμμ=== 令 l iμλ= 则有 22c r E πσλ= 式中λ称为压杆的柔度（又叫细长比）。

它集中地反映了压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状等因素对临界压力的综合影响，λ在压杆的稳定性计算中，是一个非常重要的参数。

二、欧拉公式的应用范围由于欧拉公式是利用压杆的挠曲线微分方程推导出来的，而挠曲线微分方程仅在材料服从虎克定律时才成立，故欧拉公式只能在压杆的临界应力c r σ不超过材料的比例极限p σ时才能应用。

即 22c r p E πσσλ=≤ 或λ≥ 令p λ=即欧拉公式的适用范围是：p λλ≥。