重要公式及其推导
信号流程图和梅逊公式
方块图对于图解表示控制系统，是很有用的。但是当系统很复杂时，方块图的简化过程是很繁杂的。信号流程图，是另一种表示复杂控制系统中系统变量之间关系的方法。这种方法是S.J.梅逊(Mason)首先提出的。
信号流图信号流图，是一种表示一组联立线性代数方程的图。当将信号流图法应用于控制系统时，首先必须将线性微分方程变换为以s为变量的代数方程。
信号流图是由网络组成的，网络中各节点用定向支线段连接。每一个节点表示一个系统变量，而每两节点之间的联结支路相当于信号乘法器。应当指出，信号只能单向流通。信号流的方向由支路上的箭头表示，而乘法因子则标在支路线上。信号流图描绘了信号从系统中的一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系。
正如所料，信号流图基本上包含了方块图所包含的信息。用信号流图表示控制系统的优点，可以应用所谓梅逊增益公式。根据该公式，不必对信号流图进行简化，就可以得到系统中各变量之间的关系。
定义 在讨论信号流图之前，首先必须定义如下一些术语：
节点，节点用来表示变量或信号的点。
传输，两个节点之间的增益叫传输。
支路，支路是连接两个节点的定向线段。支路的增益为传输。
输出节点或源点，只有输出支路的节点，叫输出节点或源点。它对应于自变量。
输入节点或阱点，只有输入支路的节点，叫输入节点或阱点。它对应于因变量。
混合节点，既有输入支路，又有输出支路的节点，叫混合节点。
通道，沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，叫通道。如果通道与任一节点相交不多于一次，就叫做开通道。如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，就叫做闭通道。如果通道通过某一节点多于一次，但是终点与起点在不同的节点上，那么这个通道既不是开通道，又不是闭通道。
回路，回路就是闭通道。
回路增益，回路中各支路传输的乘积，叫回路增益。
《自动控制原理》总复习 第一章 自动控制的基本概念
一、 学习要点
1. 自动控制基本术语：自动控制、系统、自动控制系统、被控量、输入量、干扰量、受控对
象、控制器、反馈、负反馈控制原理等。
2. 控制系统的基本方式：
①开环控制系统；②闭环控制系统；③复合控制系统。
3. 自动控制系统的组成：由受控对象和控制器组成。
4. 自动控制系统的类型：从不同的角度可以有不同的分法，常有：
恒值系统与随动系统；线性系统与非线性系统；连续系统与离散系统；定常系统与时变系
统等0
5. 对自动控制系统的基本要求：稳、快、准。
6. 典型输入信号：脉冲、阶跃、斜坡、抛物线、正弦。
二、 基本要求
1. 对反馈控制系统的基本控制和方法有一个全面的、整体的了解。
2. 掌握自动控制系统的基本概念、术语，了解自动控制系统的组成、分类，理解对自动控制
系统稳、准、快三方面的基本要求。
3. 了解控制系统的典型输入信号。
4. 掌握由系统工作原理图画方框图的方法。
三、 内容结构图
第二章 控制系统的数学模型
一、 学习要点
1数学模型的数学表达式形式
（1）物理系统的微分方程描述；（2）数学工具一拉氏变换及反变换；
（3）传递函数及典型环节的传递函数；（4）脉冲响应函数及应用。
2•数学模型的图形表示
（1）结构图及其等效变换，梅逊公式的应用；（2）信号流图及梅逊公式的应用。
二、 基本要求
1正确理解数学模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变 量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。
2、 了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。
3、 掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构、运动模态与特征根的关系、零输入
响应、零状态响应等概念有清楚的理解。
4、 正确理解传递函数的定义、性质和意义。熟练掌握由传递函数派生出来的系统开环传递函
数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数等概念。 （井）
§ 2-6 信号流程图
信号流程图简称信号流图，和方框图一样，也是控制系统的一种数学模型。因信号流图可应用梅逊公式而无须进行流图简化即可求得系统总传函，故对于结构复杂的系统的分析，往往用信号流图显得简便，迅速。
一、基本概念
信号流图是一种将线性代数方程组用图形表示的方法。
设有线性方程组00210210xdxcxbxxax
系统输入为0x，输出为21xx，
将方程组改成标准形式（输出在左，输入在右）
(a) 102201dxcxxbxaxx (b)
20220111xbxbaxxdxdcx
可画出对应的信号流图
abcd1x2x0x (a) (b)
用“0”表示变量，称为节点，{输入节点表示输入信号输出节点表示输出信号
节点间用有向线段连接，称为支路；
支路上的箭头表示信号传送方向
在支路上标明前后两变量间的关系称为传输
信号流图与方块图是完全对应的
)(sR)(sC)(sG RGC
对上两图均有)()(sRGsC
二、常用术语
节点——表示变量或信号的点“O”。
支路——起源于一个节点，终止于另一个节点，而这二个节点之间不包含或经过第三个节点。
（输）出支路——离开节点的支路。
（输）入支路——指向节点的支路。
源（节）点——输入节点，只有（输）出支路的节点，对应于自变量或外部输入。
汇（节）点——输出节点，只有（输）入支路的节点，对应于自变量或系统输出。
混合节点——既有（输）入支路，又有（输）出支路的节点，对应于方块图中的相加点和分支点。
2・3系统结构图与信号流图
1. 系统结构图的组成和绘制
2. 结构图的等效变换和简化
3•信号流图的组成及性质
4. 信号流图的绘制
5. 梅森增益公式
6. 闭环系统的传递函数
丫)、字向通路：信号从输入节点到输出务点传递过程 中，每个节点只通过一次的通路。
前向通路上各支路增益之积，称为前向通路总增益。
一般用几表示。
(5)、回路：起点、和终点在同一节点，而且信号通过 每一节点不多于一次的闭合通路。 _
回路中所有支路的增益之积称为回路增益，用La表示。
(6)、不接触回路：回路之间没有公共节点的回路。 如：x2—x3—x2
回路与x5—x5回路没有公共节点 x3-x4-x3 回路与x5-x5回路也没有公共节点 而：x2—x3—x2与x3—x4—x3有公共节点
5.梅森增益公式
©用梅森增益公式可以直接求出从源节点到阱节点的
传递函数。 有二个不La=bf 与 Lc=dh
©梅森增益公式是根据克莱姆法则求解线性方程组, 将解的分子多项式和分母多项式与信号流图相联系, 从输入到输出端有二条前向通道：P^abcd和P2=e
有三个回
△ = 1一乞厶+艺厶厶 （2-78）
斗一信号流图中所有单独隔的回路增益之和项: 工乙乙一信号流图中每两个互禳触的回路增益之 乘积的和项。
具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的 复杂信号图，求源节点到阱节点间传递函数：
1 w
梅逊增益公式：P = ^P4 （2-82）
△ k=l
式中，P一从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）； 〃一从源节点到阱节点的前向通路总数； 以一从源节点到阱节点的第R条前向通路总增益； △= 1 •工5 +工—•工1丄丄『+… (2-77) 分母：称为系统特征式。
£La —所有单独回路增益之和
工SLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和
工—LeLf-所有三个互不接触回路增益乘积之和故余子式系统传递函数为:
GtG2G3G4 ]n
