专题5-梅森增益公式

梅森增益公式适用范围标题：梅森增益公式适用范围的阐述引言：梅森增益公式是电子电路设计中常用的一种分析工具，用于计算电路增益和频率响应。

然而，在实际应用中，梅森增益公式的适用范围有一定限制。

本文将就梅森增益公式的适用范围展开阐述，以帮助读者更好地理解和使用这一公式。

一、梅森增益公式简介梅森增益公式是一种基于网络理论的公式，用于计算复杂电路的总增益。

它是由美国电子工程师梅森提出的，一般用于线性、定常、时不变的电路分析。

二、适用范围的限制1. 线性电路要求梅森增益公式适用于线性电路，即电路的元件和信号是线性的。

对于非线性电路，例如包含二极管、晶体管等非线性元件的电路，梅森增益公式就不再适用。

2. 定常电路要求第1页/共6页梅森增益公式适用于定常电路，即电路的参数是固定的，不随时间变化。

对于具有非定常特性的电路，如含有开关、变阻器等可变元件的电路，梅森增益公式无法提供准确的结果。

3. 时不变电路要求梅森增益公式适用于时不变电路，即电路的参数与时间无关。

在实践中，例如考虑温度变化、电源变化等因素会导致电路参数发生改变，因此这些情况下梅森增益公式不能得到准确的结果。

三、梅森增益公式的优势尽管梅森增益公式存在一定的适用范围限制，但它仍然是电子电路设计中常用的工具。

以下是梅森增益公式的一些优势：1. 简单易用相比其他复杂的电路分析方法，梅森增益公式简单易懂，计算过程相对简单直观。

这使得它成为工程师们在电路设计、故障排除等方面的重要工具。

2. 可模块化分析梅森增益公式支持对电路进行模块化分析。

通过将复杂的电路划分为多个子电路，可以使用梅森增益公式计算每个子电路的增益，进而得到整个电路的总增益。

这种分析方法便于对电路进行优化和调试。

第2页/共6页3. 提供定量分析结果梅森增益公式给出的是数值化的增益结果，可以帮助工程师量化地评估和比较不同电路的性能。

这对于电路设计者来说非常重要，可以在设计初期对各个子电路进行评估和优化。

具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为
式中
——从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）；
——从源节点到阱节点的前向通路总数；
——从源节点到阱节点的第
条前向通路总增益；
——流图特征式
式中
——所有单路回路增益之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和；
——流图余因子式，它等于流图特征式中除去与第
条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。

[1]。

是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。

具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。

对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。

第2章　控制系统的数学模型３１㊀2 4 1　信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络图,可以由微分方程组绘制,也可以由结构图转化而来.如图２３６所示为简单的结构图与信号流图之间的转换,变换中,将结　图236　结构图与信号流图之间的转换构图中的输入量㊁输出量变为节点,以小圆圈表示;连接两个节点的定向线段,称为支路;将结构图中的方框去掉,传递函数标在支路的旁边表示支路增益;支路增益表示结构图中两个变量的因果关系,因此支路相当于乘法器,即有C ＝G R .由此可见结构图转换为信号流图的规则:将系统的输入量㊁输出量以及中间变量转化为节点;引出点转化为节点;综合点后的变量转化为节点.方框去掉,将方框的输入量和输出量连起来形成支路.方框中的传递函数标在支路旁边,即为支路增益.　图237　信号流图在信号流图中,常使用以下名词术语.(１)源节点(或输入节点)只有输出支路的节点称为源节点,如图２３７中的R (s )和N (s ).它一般表示系统的输入量.(２)阱节点(或输出节点)只有输入支路的节点称为阱节点,如图２３７中的C (s ).它一般表示系统的输出量.(３)混合节点㊀既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点,如图２３７中的X １㊁X ２㊁X ３.它一般表示系统的中间变量.(４)前向通道信号从源节点到阱节点传递时,每一个节点只通过一次的通道,称为前向通道.前向通道上各支路增益之乘积,称为前向通道总增益,一般用p k 表示.在图２３７中,对于源节点R (s )和阱节点C (s ),有一条前向通道,是R (s )ңX １ңX ２ңX ３ңC (s ),其前向通路总增益为P R ＝a b c ;对于源节点N (s )和阱节点C (s ),是N (s )ңX ２ңX ３ңC (s ),其前向通路总增益为P N ＝f c .(５)单回路如果回路的起点和终点在同一节点,而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.如果从一个节点开始,只经过一个支路又回到该节点的,称为自回路.回路中所有支路增益之乘积叫回路增益,用L a 表示.在图２３７中共有两个回路,L １＝b e ,L ２＝d .(６)不接触回路如果一信号流图有多个回路,而回路之间没有公共节点,这种回路叫不接触回路.在信号流图中可以有两个或两个以上不接触回路.在图２３７中,有一对不接触回路,L １L ２＝b e d .2 4 2　梅森增益公式在系统的信号流图上,可以用梅森公式直接求出系统的传递函数,由于信号流图和结构图存在着相应的关系,因此梅森公式同样也适用于结构图.。

1、信号流图的起源信号流图的起源是梅逊（mason)利用图解法表示一个或一组线性方程组并图解求解的方法。

（1956年） 如：欧姆定律 U=IR.U如：五个变量的一组代数方程式： 45253442331211cx gx dx x bx x fx ax x ex x x x x ++==+=+==2、信号流图的表示节点表示系统的变量，从左到右顺序设置。

每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。

支路相当于乘法器。

信号在支路上只能沿箭头单向传递。

节点分为输入节点，如上图x1，只有输出而无输入； 输出节点，如上图x5，只有输入而无输出；混合节点，如上图x2,x3,x4，既有输入又有输出。

3、几个名词的定义前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。

前向通路增益为各个支路的增益乘积。

如：x1->x2->x3->x4->x5. 前向通路增益为p1=abc；x1->x2 ->x5. 前向通路增益为p2=d。

回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。

回路增益：回路中所有支路增益乘积。

如：x2->x3 ->x2. 回路1增益L1=ae；X3->x4 ->x3. 回路2增益L2=bf；X5->x5. 回路3增益L3=g。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，称不接触回路。

如：回路1和回路3；回路2和回路3。

4、信号流图的绘制由动态结构图绘制4、梅逊增益公式来源：按克莱姆法则求解线性联立方程组时，将解的分子多项式及分母多项式与信号流图巧妙联系的结果。

图中有3个独立回路，没有互不接触的回路。

前向通路只有一条，与所有回路都接触。

∆∆=∑=nk kk P s G 1)(之后的余子式。

路所在项去掉条前向通道相接触的回中与第：将；个前向通道的传递函数第之和。

、 梅森公式(Mason ’s Formula)从系统的信号流图直接求系统函数()()()s F s Y s H =的计算公式，称为梅森公式。

该公式如下：()()()∑∆∆==k kk P 1s F s Y s H (6-34)此公式的证明甚繁，此处略去。

现从应用角度对此公式予以说明。

式中+-+-=∆∑∑∑r,q .p r q p n,m n m iI L L L L L L 1 (6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。

式中：i L 为第i 个环路的传输函数， i i L 为所有环路传输函数之和；n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积，n m L mL 为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积， ∑rq,p,rq p L L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积；k ∆为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。

求k ∆的公式仍然是式(6-35)。

例6-19 图6-34(a)所示系统。

求系统函数()()()s F s Y s H =。

解：1 求Δ(1) 求∑iiL：该图共有5个环路，其传输函数分别为2L 1=，8,42L 2=⨯=()-11-1L 3=⨯= 2L 4=，()421-2L 5=⨯⨯-=故 ∑iiL15L L L L L 54321=++++=)s ()a ()b图6-34(2) 求 ∑nm,nmL L:该图中两两互不接触的环路共有3组：()1628L L 422L L 212L L 424131=⨯==⨯=-=-⨯=故 18L L L L L L L L424131nm,n m=++=∑该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有 0LL L rrq,p,qp=∑；…。

故得418151L L L L L L -1r rq,p,q p n,m n m ii =+-=+-+=∆∑∑∑2 求∑∆kkk P(1) 求k P ：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为1111P 1=⨯⨯=()-41141-1P 2=⨯⨯⨯⨯= ()()2121-1P 3=⨯-⨯⨯=(2) 求k ∆:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。

简易梅森公式好的，以下是为您生成的关于“简易梅森公式”的文章：梅森公式，这玩意儿听起来好像有点高大上，让人摸不着头脑，但其实呀，它就像一个藏在数学城堡里的小秘密，等我们去揭开它的神秘面纱。

我记得有一次给学生们讲梅森公式的时候，那场面可有意思啦。

当时我在黑板上写下了一堆复杂的公式和符号，学生们的眼神从期待瞬间变成了迷茫，一个个小脑袋瓜里估计都在想：“这是啥呀？”我赶紧打住，说：“同学们，别慌，咱们慢慢来。

”然后我就从最基础的概念开始讲起。

咱们先来说说啥是梅森公式。

它呀，其实就是用来计算线性系统传递函数中分母多项式的特征根的个数。

听起来是不是还是有点晕？没关系，咱们举个例子。

比如说有一个系统，它的传递函数分母多项式是 s^3 + 2s^2 + 3s + 4 ，咱们用梅森公式就能很快算出这个多项式有几个根。

那梅森公式到底长啥样呢？它大概是这样的：Pk 表示第 k 条前向通路的传递函数，Δ 表示特征式，Δk 表示第 k 条前向通路特征式的余子式。

哎呀，光说这些公式和概念，估计你们都快睡着了。

咱们还是回到刚刚那个例子。

我当时就一步一步地带着学生们，把每一项都算出来，然后得出最终的结果。

在这个过程中，有个平时挺调皮的学生，突然瞪大了眼睛，好像发现了新大陆一样，大声说：“老师，我好像懂了！”这一嗓子，把其他同学也都给带动起来了，大家纷纷开始积极思考，互相讨论。

讲完这个例子，我又给他们出了几道练习题，让他们自己动手试试。

有的同学一开始还不太熟练，算错了好几遍，但还是不放弃，一直在那琢磨。

等到下课的时候，大部分同学都能掌握这个公式的基本用法了。

看着他们一个个充满成就感的表情，我心里也特别开心。

其实呀，学习梅森公式就像搭积木，一块一块地往上加，只要每一步都踏实，最后就能搭出漂亮的城堡。

不管是在数学里，还是在生活中，很多事情都是这样，看起来很难，但只要我们有耐心，有方法，总能把难题给解决掉。

所以呀，别害怕梅森公式，勇敢地去探索它，说不定你会发现其中的乐趣呢！。