关于非固定规模报酬的CES型生产函数及其理论构造

｛ （ Ｋ＝ ０ ） ｏ ｒ （ Ｌ ＝ ０ ） ｝ 一｛ Ｙ＝ ０ ｝
（ 了数学上处理方便， 不妨把 （ ３ ） 修正为 ： ｛ （ Ｋ ） ０ ｒ （ Ｌ ＿ 加） ｝ 一｛ Ｙ — ｝ （ ４ ）
ｄ ｉ ｎ （ （ Ｋ ／ Ｌ ） Ｉ （ ０ Ｇ ／ ０ Ｋ ） ／ （ ０ Ｇ ／ ０ Ｌ ） Ｉ 盯 ） ＝ ０
（ １ ４ ）
由（ １ ４ ）得 ： 存在常数 董 ＞ ０ ， 使得下式成立 ：
０ Ｇ ／ ０ Ｋ ＝± 考 Ｌ Ｋ （ ０ Ｇ ／ ０ Ｌ ） （ １ ５ ）
根据生产要素间的替代弹性 的定义 ， 公理 ３ 则可表述 为： 任意给定常数 Ｑ＞ ０ ， 在等产量线 Ｇ（ Ｋ ， Ｌ ）＝ Ｑ上 ， 恒
有：
为了书写方便 ， 令 Ｂ ＝（ １ 一 ｒ Ｏ ） ／ ｒ Ｏ ， 则 （ １ ５ ） 可改写为 ：
０ Ｇ ／ ０ Ｋ ＝± 专 Ｋ一 Ｌ （ ０ Ｇ ／ ０ Ｌ ） （ １ ６ ）
｛ ｄ １ ｎ （ Ｋ ／ Ｌ ） ／ ｄ ｌ ｎ Ｉ ｄ Ｋ ／ ｄ Ｌ Ｉ ｝ Ｉ Ｇ ： Ｑ ＝ ＞ ０
（ ５ ）
首先考虑 Ｂ ≠ ０（ 即Ｏ ｒ＃１ ） 的情况。若（ １ ６ ） 式取正号 ，
那么将（ １ ６ ） 代入得（ ７ ） ：
（ １ ＋ ∈ 。 “Ｋ 一 Ｌ ） Ｌ （ ０ Ｇ ／ ０ Ｌ ） ＝ ｖ Ｇ 解（ １ ７ ） 式 可得 ： （ １ ７ ）
由于（ ２ ） 式对所有 ８＞ ０ 均成立 ， 两边求关于 ８的导数
公理 ２ ： 资本和劳动都是生产的必要 因素 ， 缺一不可。 公理 ３ ： 生产要素 间 的替代 弹性 为常数 ， 且 盯＞ ０ 统” ， 本文主要讨论这两种情形。
公理 ２ 可用 数学语 言表 述为 ：
（ 即资本与劳动可互相替代 ， 但不可完全替代） 。
上述公理可用数学语言描述如下 ：
因Ｇ （ Ｋ， Ｌ ） 为连续可微函数 ， 令８ —１ ， 不难 由（ ６ ） 得： Ｋ （ ａ Ｇ （ Ｋ， Ｌ ） ／ ０ Ｋ ） ＋Ｌ （ ｄ Ｇ（ Ｋ， Ｌ ） ／ ０ Ｌ ） ＝ｖ Ｇ （ Ｋ， Ｌ ）
（ ７ ）
其中 Ａ （ ｋ ） 为待定函数 ， 为了确定 Ａ （ Ｋ） ， 将（ １ ８ ） 代人
得：
Ｋ （ ０ Ｇ （ Ｓ Ｋ， Ｂ Ｌ ） ／ ３ Ｋ ） ＋ Ｌ （ ０ Ｇ （ Ｂ Ｋ ， Ｂ Ｌ ） ／ ０ Ｌ ） ＝ １ ， ８ Ｇ （ Ｋ ， Ｌ ） （ ６ ）
Ｇ （ Ｋ， Ｌ ）＝Ａ（ Ｋ ） Ｌ Ｋ ／ （ Ｋ 。 ＋ 考 。 Ｌ ） 。 （ １ ８ ）
公理 １ ： 对资本和劳动投入按照同一 比例改变时 ， 资本
生产率和劳动生产率均 ： １ ）保持不变 ； ２ ） 以常数倍递增；
３ ） 以常数倍递减。
（ 即１ ＞ １ ， ＞ ０时） ， （ ２ ） 所描述的是一个规模报酬递减的生 产过程。这两种生产过程均为非 固定规模报酬的生产过
程， 亦 即周文 （ １ ９ ８ ７ ） 所 提出 的“ 要 素非充分 有效 利用 系
理 论 经 纬
关 于非 固定 规模 报酬 的 Ｃ Ｅ Ｓ型 生产 函数 及 其理论构 造
●陈一锋
［ 内容提要］ Ｃ Ｅ Ｓ型生产函数 （ 即固定替代弹性生产函数） 有着广泛的实际应用。周方（ １ ９ ８ ７ ） 一 系列论文 对生产函数的理论构造做了许 多研究， 但演绎推导过程有逻辑错误 。陈一锋 （ ２ ０ １ ３ ） 已指 出了周方（ １ ９ ８ ７ ） 论 文的
一
、
非固定规模报酬的 Ｃ Ｅ Ｓ 型生产 函数的定义
公理 １可表述为： 存在常数 ｖ＞ ０ ， 使得对任意常数 ６
＞ ０ ， 均有 ： Ｇ （ ８ Ｋ ， ６ Ｌ ） ＝６ Ｇ （ Ｋ ， Ｌ ） （ ２ ）
本文沿用陈一锋（ ２ ０ １ ３ ） 记号， 且仅讨论两种要素 （ 即
逻辑错 误 ． 并建 立 了 固定规模 报 酬的 Ｃ Ｅ Ｓ型 生产 函数 理论 构造 。 本文 进 一 步探 讨 非 固定规 模 报 酬 的 Ｃ Ｅ Ｓ 型生 产 函数 ， 从 理论 上 构造 出非 固定舰摸 报 酬 的 Ｃ Ｅ Ｓ型 生产 函数 ， 且 修 正 了周方 （ １ ９ ８ ７ ） 关 于此 类 生 产 函数 的相 关推
论过 。
种生产过程， 该生产过程用数学函数表述为 ：
Ｙ＝Ｇ（ Ｋ， Ｌ ） ：（ Ｋ， Ｌ ）∈Ｒ 一 Ｙ∈Ｒ （ Ｋ＞ ０ ，Ｌ＞０ ， Ｙ＞ Ｏ ）
．
（ １ ）
一
般还假设 Ｇ （ Ｋ， Ｌ ）为 Ｒ 一Ｒ的连续可微函数 。我
们引入三条公理如下 ：
一
在公理 １ 第二种睛形下（ 即ｖ＞ １ 时） ， （ ２ ） 所描述的是 个规模报酬递增 的生产 过程； 在公理 １ 第 三种情形下
资本和劳动 ） 投入的生产过程 ， 用 Ｋ表示资本投入量 ， Ｌ表
示劳动投入量， Ｙ表示产量 ， （ Ｋ ， Ｌ ）∈ Ｒ ２ ， Ｙ∈ Ｒ， Ｇ表示
一
显然 ， 在公理 １ 的第一种情形下（ 即ｖ ：１ 时） ， 公理 １ 描述的是一个 固定规模报酬的生产过程 ， （ ２ ） 所描述 的是 固定规模报酬生产过程 ， 亦 即周文（ １ ９ ８ ７ ） 所提出的“ 要素 充分有效利用系统” ， 其理论构造 已在陈一锋 （ ０１ ２ ３ ） 中讨
论。由于周方（ １ ９ ８ 意义。 ［ 关键词］ 生产函数 非固定规模报酬 Ｃ Ｅ Ｓ型生产函数 理论构造
中图分类号： Ｆ ０ ６ ４ ． １
文献标识码 ： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ３— ０ ６ ７ ０ （ ０１ ２ ３ ） ０ ９ — ０ ３ ７ ６ — ３