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矩阵初等变换的应用

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目 录 1. 引言 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 2. 预备知识 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 3. 矩阵初等变换在整数理论中的应用 „„„„„„„„„„„„„„„6 3.1 求两个整数的最大公因数和最小公倍数 „„„„„„„„„„„6 3.2 求n个整数的最大公因数 „„„„„„„„„„„„„„„„„9 4. 矩阵初等变换在多项式理论中的应用 „„„„„„„„„„„„„„11 4.1 求两个一元多项式的最大公因式和最小公倍式 „„„„„„„„11 4.2 求n个一元多项式的最大公因式„„„„„„„„„„„„„„15 4.3 求解两个二元多项式的最大公因式„„„„„„„„„„„„„20 4.4 求n个二元多项式的最大公因式„„„„„„„„„„„„„„22 致谢 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„23 参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„24 附件： 课题任务书 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25 外文翻译 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„28 文献综述 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„38 开题报告 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„43 本科毕业设计（论文）：矩阵初等变换的若干应用

第 1 页 共 2 页 矩阵初等变换的若干应用 学 生： 指导老师：

教学单位：数学与统计学院

摘要：本文研究了如何利用矩阵的初等变换来解决初等数论和多项式理论方面的相关问题，解决了初等数论中求解两个整数的最大公因数、最小公倍数和多个整数的最大公因数等问题；同时也解决了多项式理论中求两个一元多项式的最大公因式、最小公倍式以及多个一元多项式的最大公因式等问题，在此基础上进一步解决了二元多项式的最大公因式的求法问题。特别地，在解决多项式理论中两个甚至多个多项式的最大公因式的相关问题时，为了简化求多项式最大公因式的运算，我们将所求最大公因式的那两个或多个多项式的系数与两行或多行矩阵表示式对应起来，起到了很明显的简化效果，具有很强的实用性与价值性。

Abstract: In this paper, we researched how to use the elementary transformation matrix to solve problems related to elementary number theory and the theory of polynomials, and not only provided a method to find the greatest common divisor of two integers and the least common multiple and greatest common factor of more integers and other issues, but also gave a way to find the greatest common divisor and least common multiple and more than polynomial in one indeterminate. Furthermore, we solved the problem of finding the greatest common divisor of binary polynomial. Especially, in order to solve the polynomial problems of finding the greatest common divisor of two or more indeterminate, we can simplify the process of finding the greatest common divisor polynomial arithmetic, and build a relation between the coefficient of two or multi-polynomial and the matrix with two or more rows, it is efficient and valuable.

关键词： 矩阵； 初等变换； 最大公因式； 最小公倍式 Key words: matrix； elementary transformation ； The greatest common divisor ； The least common multiple 本科毕业设计（论文）：矩阵初等变换的若干应用

第 2 页 共 3 页 1． 引言

近年来，由于各种实际问题的需要，矩阵作为一种重要工具，在诸多学科中扮演着很重要的角色，因此矩阵或者是矩阵的初等变换成为了各类学者的研究对象.特别是在数学学科逐渐发展壮大和矩阵代数应运而生的当今时代，我们研究矩阵也就成了顺理成章的事.矩阵的初等变换是高等代数中处理矩阵问题重要的工具之一.关于矩阵的初等变换有很多重要而且很好的性质，它在很多方面有较为直接的应用，通过它可以进一步研究多项式、整数等性质.矩阵的初等变换起源于解线性方程组，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域，是高等代数的一个基本概念，作为矩阵运算的一种重要方法，在高等代数中占有着非常重要的地位，同时也是高等代数教学中的一个难点，更是是研究矩阵的一个非常重要的工具. 我们已经知道，利用矩阵的初等变换方便地解决了高等代数的很多问题，如求解线性方程组的通解，求可逆矩阵的逆矩阵，化矩阵为标准型，求矩阵或向量组的秩，求向量组的极大线性无关组，判断向量组等价等问题。然而，初等变换在高等代数中的应用远远不止这些，如何巧妙地运用初等变换去解决高等代数甚至其他学科领域的复杂问题成为了研究此课题的重大使命.本课题在了解矩阵初等变换的本质之后，主要借助矩阵初等变换来求解整数的最大公因数以及多项式的最大公因式和最小公倍式，从而使得数论中运用辗转相除法来求解问题的难度得到简化，这也便是我研究此课题的最终目的. 在初等数论与高等代数中，我们分别接触了整数的最大公约数与最小公倍数，多项式的最大公约式与最小公倍式，虽然掌握了求解上述问题的一个基本方法---辗转相除法，但是此方法书写形式较繁琐，计算量较大.若是从另一个角度出发，运用矩阵初等变换的方法处理这些问题，就会使问题简单化，会有事半功倍的效果。本文则运用矩阵的初等变换方法主要来解决多项式理论的一些问题.不论从教学上还是从科研上来说，此课题的研究都有着不可忽视的重要意义. 因此如何用矩阵的初等变换来探讨整数、多项式的最大公因数（式），最小公倍数（式）是一个较为有趣的课题，有一定的理论意义和实际意义. 本科毕业设计（论文）：矩阵初等变换的若干应用

第 3 页 共 4 页 2.预备知识

我们首先来介绍下矩阵初等变换的定义. 定义2.1：矩阵的初等变换指的是在数域P里的以下三种变换： (1)变换矩阵任意两行(列)的位置； (2)用一个非零数乘以矩阵的某一行(列)； (3)用一个数乘以矩阵的某一行(列)后加到矩阵的另一行(列). 注：初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换. 矩阵初等变换具有如下性质： 性质2.1：(1)矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； (2) 矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性； (3) 矩阵的初等变换不改变行(列)向量组的线性相关性. 初等变换和初等矩阵有着密切的联系，初等矩阵都可以由单位矩阵经过一次初等变换所得到.

设n阶单位矩阵E10...0001...00...............00...1000...01，则 1. ijE：E的i，j行（列）对换.对于n阶可逆矩阵A，ijEA表示对调A的i，j两行，AijE表示对调A的i，j两列，其中ijE01可逆，且ijE的逆仍为ijE.

2. )(cEi)0(c：E的i行（列）乘以c.对于n阶矩阵A，)(cEiA表示A的i行乘以c，A)(cEi表示A的i列乘以c，其中()iEc0c可逆且)(cEi的逆为1()-iEc.

3.)(kEij：E的i行k倍加到j行或者E的j列k倍加到i列.对于n阶矩阵A，)(kEijA表示A的i行k倍加到j行，A)(kEij表示A的j列的k倍加到i列，其中

()ijEk01

可逆且)(kEij的逆为且()-ijEk. 本科毕业设计（论文）：矩阵初等变换的若干应用 第 4 页 共 5 页 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B. 矩阵的等价关系具有如下性质： 1.反身性：A～A； 2.对称性：A～B，则B～A； 3.传递性：A～B，B～C,则A～C. 接着我们介绍最大公因式（数）、最小公倍式（数）的定义，这里只介绍最大公因式和最小公倍式的定义.

定义 2.2：设)(),(xgxf是][xP中的两个多项式. []Px中多项式)(xd称为)(),(xgxf的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：

⑴ )(xd是)(),(xgxf的公因式； ⑵ )(),(xgxf的公因式全是)(xd的因式. 注：对于任意多项式)(),(xfxf就是)(xf与0的最大公因式.特别的，根据定义，两个零多项式的的最大公因式是0.通常地，我们用((),())fxgx表示)(),(xgxf的首项系数为1的最大公因式. 相应地，我们有：

定义2.3：设)(),(xgxf是[]Px中的两个多项式. []Px中多项式()mx称为)(),(xgxf的一个最小公倍式，如果它满足下面两个条件：

⑴ ()mx是)(),(xgxf的公倍式； ⑵ ()mx整除)(),(xgxf的所有公倍式. 最后我们再来介绍一个公式，对于任意两个正整数ba,，有),(],[baabba，这个是我们在初等数论课程里面的一个熟悉的公式，现在我们不妨把这个公式推广到两个一元多项式里面去，同样可以得到))()(()()()]()([xgxfxgxfxgxf，，.下面给出它的证明过程：

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矩阵的初等变换规则

矩阵的初等变换规则

矩阵的初等变换规则
（一）初等变换的规则
1. 交换行法：将矩阵中的两行互换，行对应元素也随之改变。

2. 改变系数法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数，行对应的元素也随之改变。

3. 复合法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数后，与另一行按和或差的方法结合，行对应的元素也随之改变。

4. 交换列法：将矩阵中的两列互换，列对应的元素也随之改变。

（二）初等变换的意义
初等变换是用来将一个线性方程组转化为一个有解的线性方程。

使用初等变换的原则，如将两个方程乘以不同的负数，甚至一步就能解出有解的线性方程，使方程系数矩阵更加简洁，容易操作。

同时这也可以使我们更加清楚地理解线性方程和不同解的对应关系。

（三）初等变换的应用
1. 运用初等变换可以将零向量和零矩阵转换为方便求解的标准乘法型和齐次方程组。

2. 初等变换可以用来求解边界值来解决边界值问题，为做出最终的选择提供保障。

3. 使用初等变换可以有效地求解线性方程组，给出正确的结果，对计
算机科学方面有很大帮助。

4. 初等变换可以用来求解有关矩阵与特征值、特征向量的求解问题，计算机硬件和软件设计中也有着广泛的应用。

矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆

矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆


转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索

矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索

Science &Technology Vision 矩阵的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。

然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。

那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。

1矩阵的初等变换由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。

定义1[4]：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）对调两行（列）。

（2）以一个非零数乘某一行（列）的所有元素。

（3）某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义2[5]：设A 是m ×n 矩阵，A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零行的下方。

（2）若A 的非零行的首非零元分别为a 1t ，a 2t ，…，a rt （设A 有r 个非零行），则首非零元所在的列满足t 1<t 2<…<t r 。

则称为行阶梯形矩阵。

定义3：设A 是m ×n 矩阵，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零列的右方。

（2）若A 的非零列的首非零元分别为a s 1，a s 2，…，a s r （设A 有r 个非零列），则首非零元所在的行满足s 1<s 2<…<s r 。

摘要矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。

关键词初等变换；线性代数；矩阵中图分类号:O151.2文献标识码:ADOI ：10.19694/ki.issn2095-2457.2020.18.23矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索李燕娟基金项目:兰州交通大学博文学院教育教学改革课题(2019BWJX007)。

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。

它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。

1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。

2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。

3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。

二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。

1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。

消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。

2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。

三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。

计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。