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第六章生产函数与规模报酬资料

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第六章生产理论

第六章生产理论

第六章生产理论一、本章教学目的与要求通过本章学习，我们了解以下几个问题：企业的三种组织形式及其优劣；总产量曲线的特征；劳动平均产量和资本平均产量曲线的推导和性质；生产三阶段的划分及其效率问题；等产量曲线的定义及其性质；等成本线的定义及其性质；短期和长期利润极大化的均衡条件；规模报酬的三种形式。

二、教学内容：6．1企业概述6．1．1企业的定义、法律组织形式及优劣势企业是将若干投入转化为产出的一种生产经营性组织。

盈利性企业有三种法律组织形式：单业主制企业（sole properietorship）、合伙制企业（partnership）和公司制企业（cooperation）。

6．1．2企业的行为目标假设在本书中，我们始终假定企业的行为目标，无论哪一种组织形式，是尽可能地获得极大化利润，即企业是利润极大化者。

两者行为动机不致就可能产生代理关系（agent relationship）。

这种代理关系实质上就是两个或多个不同的利益主体之间的关系。

代理人是企业（或另外一个人）雇佣的用于完成特定任务的个人（或企业），总经理就是代理人；而委托人就是雇佣他人完成特定任务的个人（或企业），股东就是委托人。

委托——代理问题就迫使我们去思考，我们应该如何构造一种制度体系用于激励总经理实现股东的目标呢？这就是制度设计的问题。

第一，良好的总经理市场是解决总经理偷懒问题的最好制度架构。

第二，一些大公司对总经理提供股权、奖金、度假和晋升来激励他们努力工作。

第三，各种舆论监督和法制约束也是提供负面激励的有效约束机制。

6．2生产函数生产函数一般可表达为：Q=F(x1,x2,…,x i,…,x n)生产函数包括以下含义：（1）对于任一给定的生产要素投入量，现有的生产技术给出了一个最大的产出量；（2）对于任一给定的产出量Q，每一投入组合的使用量为最小。

西方学者一般对生产函数有如下假定：（1）所有的生产要素投入量不得为负；（2）产出不得小于零；（3）生产函数为一单调连续函数，一阶导数存在。

规模报酬递增increasingreturnstoscale

规模报酬递增increasingreturnstoscale

（2）均衡条件：两线相切，也即：
等产量线的切线斜率 = 等成本线的斜率
即：
MPK MPL MPL PL
PK
PL
MPK PK
要素投入最优组合的变动
生产扩展线(expansion path)或扩张线
在要素价格保持不变条件下，对应不同产量水 平的最优要素投入组合点的轨迹。
K A3
EP
A2
K3
E3
AK12
E2
Q3
K1
E1
Q1
Q2
O
L1 B1L2 L3 B2
B3
L
第四节 固定要素比例的长期生产
一、规模扩张和规模报酬 定义：
规模报酬(returns to scale)是指，在技术水 平和要素价格保持不变条件下，所有投入要素 按同一比例变动所引起的产量的相对变动。用 以衡量企业规模与产量之间的关系。 类型：
成本支出减少使预算线 向左下方平行移动
B1
L
成本支出或要素价格变化对等成本线的影响 （续）
要素价格的变化
K
劳动L价格下降使等成本线 以逆时针方向旋转，斜率变小
A0
劳动L价格上升使等成本线 以顺时针方向旋转，斜率变大
O B2
B0
B1
L
三、生产要素的最优组合
1、要素的最优组合 （1）分析前提
其中λ>0
K1
B A
300 200
100
0
L1
L2
L3
L
含义与表述
类型（续3）
规模报酬递减(decreasing returns to scale)： 产出变化比例小于投入的一致变化比例，如投

第6章_生产函数

第6章_生产函数
AP = 原点到TP上一点的斜率, 线 b, & c. MP = TP上点的切线的斜率 ,线 a & c.
每月产出 每月产出
D
112
C
60
30
E
B A
20 10
每月劳动 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每月劳动
Labor) 一种可变投入的生产函数 ( (Labor)
生产技术
�
生产过程
� � � � �
组合各种投入或要素以得到产品 投入分类 (生产要素) 劳动Labor 原材料Materials 资本Capital
生产技术
�
生产函数:
� 在一定技术条件下,一定投入的最大产出.
�
表示厂商进行有效生产时的技术可行性.
生产技术
�
两种投入的生产函数:
Q = F(K,L) Q = 产量, K = 资本, L = 劳动
劳动投入量 (L) 资本投入量 (K) 总产出 (Q) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0 10 30 60 80 95 108 112 112 108 100 平均产出 --10 15 20 20 19 18 16 14 12 10 边际产量 --10 20 30 20 15 13 4 0 -4 -8
两种可变投入的生产函数
�
投入要素替代
�
等产量曲线的斜率表示产出不变时投入之间 的替代源自系.两种可变投入的生产函数
�
投入要素替代
�
边际技术替代率:
MRTS LK = - 资本的变化量 / 劳动投入的变化量

平新乔课后习题详解(第6讲--生产函数与规模报酬)

平新乔课后习题详解(第6讲--生产函数与规模报酬)

(1)不是齐次函数。

因为f tx,ty =t 3x 3 -t 2xy ，t 3y 3 =tf x, y 。

平新乔《微观经济学十八讲》第 6讲 生产函数与规模报酬1 •生产函数为 Q - _KL2 ・16L _18，工人工资为 w =8，产品价格为p =1。

计算：(1)短期内K =2，最优劳动投入是多少？(2) 最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？解: (1 )在短期内K =2，则厂商的生产函数为 Q- -2 L 2・16L —18，则可得厂商的利润 函数为：2二 L = pQ L -wL - -2L 8L -18利润最大化的一阶条件为：d4L 8=0 dL解得L =2，此即为短期内的最优劳动投入量。

(2) 由生产函数 ^_2L 2 16L -18，可得平均产量函数为:AP L =Q=-21_北6L平均产量最大化的一阶条件为:L =3 (负值舍去)。

故最大平均产量的劳动投入为 此时的最大平均产量为 AR =Q =-2L +16—些=4。

L L2 •确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？ (1) f x,y =x3 _xy y 3 (2) f x,y =2x y 3 xy 1/2■ 43 1/6(3) f x,y,w = x -5yw答：若函数f x,y 满足f tx,ty 二t k f x,y ，则称函数f x,y 为k 次齐次函数。

同时由 规模报酬的定义可知， 若f tx,ty j=tf x,y ,则为规模报酬不变； 若f tx,ty tf x,y ,贝U 为规模报酬递增；若f tx,ty ::: tf x,y ,则为规模报酬递减。

dtQ-18 L 2解得:(2) 是齐次函数，且规模报酬不变，因为 f tx,ty=2tx ty 3t xy三二tf x, y 。

(3) 是齐次函数，且规模报酬递减，因为：1 2 1 24 4 4 3 c ? 4 3 c艾f tx,ty,tw = t x - 5t yw =t x - 5yw =t f x,y,w ; tf x, y, w3 •设某省有一个村庄，该村既生产粮食又会织布。

规 模 报 酬

规 模 报 酬

二、 规模报酬的类型
1. 规模报酬递增
若产量的增长率高于各种生产要素投入量的增 长率，即λ＞h，则称生产函数为规模报酬递增。规 模报酬递增的原因主要有以下几个方面：
（1） 分工的专业化程度提高。 （2） 资源的集约化使用。 （3） 生产要素的不可分性。
2. 规模报酬不变
若产量的增长率等于各种生产要素投入量的增长率， 即λ=h，则称生产函数为规模报酬不变。例如，一般可以 预计两个相同的工人使用两台相同的机器所生产的产量， 是一个这样的工人使用一台这样的机器所生产的产量的2 倍，这就是规模报酬不变的情况。规模报酬不变的原因主 要是由于规模报酬递增的因素吸收完毕，某种生产组合的 调整受到了技术上的限制。
3. 规模报酬递减
若产量的增长率低于各种生产要素投入量的增长率， 即λ＜h，则称生产函数为规模报酬递减。规模报酬递减的 原因主要有两个：一个是生产要素可得性的限制，随着厂 商生产规模的逐渐扩大，由于地理位置、原材料供应、劳 动力市场等多种因素的限制，可能会使厂商在生产中需要 的要素投入不能得到满足；另一个是生产规模较大的厂商 在管理上效率会下降。
规模报酬
项目
一、 规模报酬的定义
生产规模变动与所引起的产量变化的关系即为 规模报酬问题。厂商生产规模的改变，一般来说是 通过各种生产要素投入量的改变来实现的，因此在 长期中才能实现。
各种生产要素的投入量在调整过程中，可以以不同 的组合比例同时变动，也可以按相同的比例变动。在生产 理论中，常以全部生产要素的投入量并以相同的比例变动 来定义厂商的生产规模变动。因此，规模报酬是指在其他 条件不变的情况下，各种生产要素的投入量按相同的比例 同时变动所引起的产量的变动。
对于不同行业的厂商来说，适度规模的大小是不同 的。厂商在确定适度规模时应考虑以下几个因素：

生产函数与规模报酬规模报酬递减

生产函数与规模报酬规模报酬递减
Q=f( L, K), >
生產函數與規模報酬
•規模報酬遞減(decreasing return to scale): 所有投入要素增加n倍，則產出會g少於n倍
Q=f( L, K), >
生產函數與規模報酬
•規模報酬固定(constant return to scale): 所有投入要素增加n倍，則產出亦會增加n倍
Q=f(K,L,t) Q：產出的數量 K：資本 L：勞動 t：技術
生產函數
Q = f(K,L)*A(t) Q:產出的數量 K：資本 L：勞動 A(t)：技術進步因子
特性
• 生產函數乃各生產要素之增函數
L ,K Q
短期與長期的決策
• 短期的條件： 1. 廠商某一規模或生產要素是固定 2. 廠商既無法加入也無法退出產業
短期與長期的決定
長期是指生產無固定投入要素的一 段時間。廠商能增加或減少運作的 規模，同時新廠商能加入，且既存 廠商能退出產業。
短期:(short run)
• f(L,K,t)=f(L) • 資本與生產技術固定，生產
函數只是勞動的函數
生產函數與規模報酬
規模報酬遞增(increasing return to scale): • 所有投入要素增加n倍，則產出會大於n倍
入的邊際產量會遞減。
三明治的生產函數
(1) 勞動量)
0
1 2 3 4 5 6
生產函數
(2) 總產出
0
(3)
(4)
勞動邊際 勞動平
產出 均產出
-
-
10
10
10.0
25
15
12.5
35
10
11.7

第六章 生产函数与规模报酬

合理的劳动投入量应在第Ⅱ阶段。
五、最优劳动投入量
最优劳动投入量：使厂商获得最大利润的劳动 投入量。
故短期ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优劳动投入量的必要条件是：劳动的 边际产量价值=劳动价格。
例 已知某企业的生产函：数为：
（1）求企业的平均产量和边际产量函数。 （2）若企业现在使用3单位的劳动力，是否合理 ？合理的劳动使用量的区间是什么？ （3）若企业产品的市场价格是3元，劳动力的 市场价格为63元，求企业最优的劳动投入量。
第六章 生产函数与规模 报酬
2020年4月23日星期四
本章要点
§1.若干基本概念 §2.短期生产函数与生产决策 §3.长期生产函数与要素组合比例 §4.生产扩张与规模报酬 §5.齐次生产函数与范围经济
§1.若干基本概念
一、生产技术与生产函数
1.生产技术
生产技术是指生产的投入、要素与产出量之间 的关系。
（2）凸性。若有两种方法生产单位的产出，则这 两种方法的加权平均至少能生产同样多的产量。
等产量线
二、短期和长期
短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素 是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时 间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。
长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以 变更的。
注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业 、不同的企业的具体情况而定。
上述最优要素比例可写成下列数学规划问题： 构造拉氏函数：
这便是企业决定最优要素比例的必要条件。 该条件也可由另一数学规划问题表示。
含义：μ是单位要素价格在最优时获得的边际 产量。最优要素组合比例说明，最后一单位的货 币投入，不管是投在资本还是劳动上，其对产理 的贡献是相等的。
例题
如果某企业的生产函：数为q=6KL，工资w=5，

6第六讲生产函数与规模报酬定


Technical Rate-of-Substitution
x2
x'2 x1'
y x1
Technical Rate-of-Substitution
x2
x'2 x1'
y x1
43
三、最优要素比例的确定 （一）利润函数 设厂商生产一种商品， 其产量为y，产品的价格为p， 生产函数
y f (x) f (x1, x2, xn )
x V ( y)
且 x x
则 xV ( y)
12
2.凸性
x, xV ( y),t [0,1] tx (1 t)xV ( y)
13
x2
x'2
x"2 x1'
凸性
y
x"1
x1
x2
x'2
x"2 x1'
Convexity
tx1' (1 t)x1", tx2' (1 t)x2"
y
x"1
x1
x2
• 当这种可变生产要素的投入量小于某一特 定价值，增加该要素投入所带来的边际产 量是递增的；
• 当这种可变要素的投入量连续增加并超过 这个特定值时，增加该要素投入所带来的 边际产量是递减的。
27
四、生产的三个阶段
28
Ⅰ
• MP＞AP阶段 • 增加投入，可
以提高AP，所 以，在该阶段， 生产是缺乏效 率的；
d ln(x2 / x1) d ln | RTS |
—等产量线的曲率
说明等产量线斜率变化时，要素比率如 何变化。若等产量线斜率的小变化引起 要素比率的大变化．说明等产量线是相 当平坦的，也说明替代弹性是大的。

称之规模报酬不变

Q3 Q2 Q1
16
3、边际技术替代率递减规律
1）边际技术替代率MRTS ----表示在保持产出不变前提下增加一种投入品的 数量与必须减少的另一种投入品数量（否则就不 能保持技术上有效率）之比。 K K dK MRTS LK MRTS LK lim L 0 L L dL
MPL L MPK K
MRTSLK K MPL L MPK
L↑→MPL↓ K↓→MPK↑
18
4、特殊的等产量曲线
(1)两种要素完全替代的等产量曲线 MRTS为常数，要素之间为完全替代关系, 等产量曲线为一条直线。
(2)两种要素完全互补的等产量曲线 MRTS=0，要素之间为完全互补关系，等 产量曲线为一直角。
5
第二节 一种可变生产要素生产函数 (短期生产函数 Q f ( L, K ) )
一、总产量TP、平均产量AP和边际产量MP
总产量TP ：在K不变下,投入一定量的某种可变生产要素 所生产出来的全部产量。 TPL=f (L,K) 平均产量AP：平均每单位某可变要素所生产出来的产量。 APL=TPL/L
13
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
E AP
0
A
B
L MP
第三节 两种可变生产要素的生产函数
一、两种可变要素的生产函数的特征： 1）生产一定数量的某种产品所使用的生产要素是可变的， 且两种要素可以替代。 2）可以认为这两种可变要素与一种或多种固定要素在生产 中发挥作用（短期)：Q=f(L,m,K)；也可以认为是生 产中只使用这两种要素进行生产，即Q=f(L，K)，长 期中厂商只使用短期的变动要素L和短期的固定要素K 进行生产。 3）本节研究两种可变要素如何配合才可实现技术上有效率。
19

第六章 生产函数及边际分析讲义资料

Y
TPP
2020/8/7
APP
MPP
X
1.边际产量与总产量 • 总产量的一阶导数就是边际产量。反映
在图形中，TPP切线的斜率。
TPP TPP
2020/8/7
MPP
X MPP与TPP
2.平均产量与边际产量
两者相交，且相交于APP最高点。
TPP
O
2020/8/7
APP MPP X
证明：在APP上升阶段，有：
• 此时有人来订购200件，出价1050元， 问企业若接受的话，利润是否会增加 （假定这笔定货不会影响到正常的销 售）。
2020/8/7
• 为什么有的企业以低于成本价销 售产品？
• 为什么有的企业亏损也要坚持经 营？
原因就在于此！
2020/8/7
（二）边际平衡原理
在资源报酬递减的情况下 ，当边际收入（增加的收入） 等于边际成本（增加的成本） 时，纯收益最大。
3
TPP
2020/8/7
APP MPP
第二阶段为资源的合理投 入阶段，但究竟哪一点最佳，
还要进行具体的计算。
2020/8/7
第二节 单项变动资源的合理利用
一、根据边际平衡原理，可以推出结论。
• 假设目前要素投入水平为X，产出为Y。
• 则若增加△X的投入，则产出增加△Y（即△TPP)。
• 则增加的收入（边际收入）为 PY△Y ；增加的成本 （边际成本）为 PX△X 。
• 理解时应注意：
– 要素边际报酬是先递增，到一定程度后 才递减；
– 必须是在技术不变的情况下。 – 必须是其他条件不变的情况下。
2020/8/7
三、生产函数的三个阶段
（一）边际产量、平均产量和总产量的 概念
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x1
（2）线性生产函数 y f (x1, x2 ) x1 x2
x2
o
x1
（3）柯布—道格拉斯生产函数 y f (x1, x2 ) Ax1 x2
x2 (K )
1, 1
22
y y2 y y1
y y0
o
x1 ( L)
4.生产技术的性质
（1）单调性。如果在至少一种要素上增加投入， 则产出量应不会减少。“自由处置”
第Ⅲ阶段：MP<0，且继续下降,TP和AP也不 断下降。即随着劳动投入量增加，TP反而下降， 因此，厂商不会选择在这一阶段进行生产。
合理的劳动投入量应在第Ⅱ阶段。
•
MP AP
•
MP 0
五、最优劳动投入量
最优劳动投入量：使厂商获得最大利润的劳动 投入量。
pf (L, K ) wL rK d pdf (L, K ) w 0 dL dL p df (L, K ) w
三、边际报酬递减规律
当一种或一种以上的要素固定不变时，增加另 一种要素投入量达到一定程度后，会出现边际产 量递减。
（1）边际报酬递减以技术不变为前提；（2） 以其他要素不变为前提；（3）是在某种要素增 加达到一定程度之后才出现。
原因：
四、生产阶段的划分
第Ⅰ阶段：MP递增、最大、递减，但 MP>AP，AP递增，因而TP递增。厂商的可变 投入不会停在这一阶段。
3.生产函数
生产函数：一定技术条件下特定的投入组合 有效利用时最大的可性性产出。从而剔除了投 入品的使用使产出下降的可能，生产函数曲线 不包括产出量下降的线段。
y f (x)
常见的生产函数
（1）固定比例生产函数 y f (x1, x2 ) min{x1, x2}
x2
短边规则
q q1 q q0
(1) AP Q 21 9L L2 L
MP dQ 2118L 3L2 dL
(2) MP AP,可得: 21 9L L2 2118L 3L2 L 0(舍去), L 4.5
MP 0,可得: 2118L 3L2 0 L 1(舍去), L 7
因此，使用L的合理区域为： 4.5 L 7
生产技术约束可以集中地以生产集来描述。生 产集是企业面临的关于投入品与产出品的各种 组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。
2.生产集
生产集是关于投入品与产出品的各种组合的集 合。生产集的边界就叫生产函数。
y 生产集
(x0, y0)
y0
•
o
x0
x
生产集的性质
1.非空的 Y
2.闭集: ynY , yn Y , y Y 3.不生产是可能的 : 0 Y 4.不可逆性 : y Y , y 0, y Y 5.非递增的规模报酬 : y Y , a (0,1), ay Y 6.非递减的规模报酬 : y Y , a 1, ay Y 7.常数规模报酬 : y Y , a 0, ay Y 8.可加性 : y Y , y' y, y y', y y' Y 9.凸性: y Y , y' Y , a (0,1), ay (1 a) y' Y
第六章 生产函数与规模报酬
本章要点
§1.若干基本概念 §2.短期生产函数与生产决策 §3.长期生产函数与要素组合比例 §4.生产扩张与规模报酬 §5.齐次生产函数与范围经济
§1.若干基本概念
一、生产技术与生产函数
1.生产技术
生产技术是指生产的投入、要素与产出量之间 的关系。
生产的投入要素又称生产要素。通常，我们将 生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。
总产量
平均产量
边际产量
D
Q
•C
Q f (L)
•B
A L
Q
Ⅰ ⅡⅢ
B•
MP
•C
AP
D
L1 L2
L
2.产出曲线
3.边际产量与平均量的关系
（1）C点以前，MP>AP。AP递增，MP把AP向 上拉。
（2）C点以后，MP<AP。AP递减，MP把AP向 下（拉3）。C点QL，Mf (LPL=) AP。AP最大。
dK dL
f L
/
f K
MPL MPK
三、最优要素比例的决定
企业的成本方程可写为：
C wL rK
若企业的总成本给定为一常数，成本方程为：
C0 wL rK
此时最优要素比例由过等产量线与等成本线共 切点的切线的斜率决定。
KK*ຫໍສະໝຸດ •EoL*
q0
L
（2）凸性。若有两种方法生产单位的产出，则这 两种方法的加权平均至少能生产同样多的产量。
x2
a2
1 11 1
•
( 2
a1
2
b1,
2
a2
2
b2 )
b2
q 等产量线
o a1
b1
x1
二、短期和长期
短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素 是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时 间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。
f
(L) ' L
Lf
'(L) L2
f
(L)
0
平均产量最大 化的必要条件
f '(L) f (L) L
火箭阵容：身高的变化
麦迪：身高2.03米 巴蒂尔：身高2.03米 海耶斯：身高1.98米 （1）考虑引进阿尔斯通：身高1.88米 （2）考虑引进姚明：身高2.26米。 试分析平均身高与边际身高的关系。
长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以 变更的。
注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业、 不同的企业的具体情况而定。
§2.短期生产函数与生产决策
一、短期生产函数
y f (K, L) f (L)
二、总产量、平均产量与边际产量的关系
1.定义
TP Q f (L)
AP Q L
MP Q dQ L dL
（3）根据最优劳动投入的条件： p MPL w
(2118L 3L2)3 63 L 0(舍去), L 6
§3.长期生产函数与最优要素组合比例
一、长期生产函数
q f (L, K)
二、要素的边际技术替代率（MRTS）
MRTSL,K
dK dL
dq f dL f dK 0
L K
MRTSL,K
dL 即p MPL w
故短期最优劳动投入量的必要条件是：劳动的 边际产量价值=劳动价格。
例：
已知某企业的生产函数为：
Q 21L 9L2 L3
（1）求企业的平均产量和边际产量函数。 （2）若企业现在使用3单位的劳动力，是否合理？ 合理的劳动使用量的区间是什么？ （3）若企业产品的市场价格是3元，劳动力的 市场价格为63元，求企业最优的劳动投入量。