前 言
一、数学史研究什么？为什么要学习数学史？
数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（比——美， 1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
二、关于数学的论述
培根说：数学是思维的体操。
恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。”
英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。”
著名数学家霍格说：“如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一扇大门并且通过这扇门。在这扇大门上用每一种人类语言刻着同样一句话：‘这里使用数学语言。’”
数学是一门逻辑性很强的基础科学，人们通过运用数学推导出了种种概念、原理与规律指导日常生活。有人把数学对于人类的意义比作生活中不能缺少盐。
数学是盐，所以，离开了数学，人们的生活将寸步难行。
数学是盐，所以，它将自己融化在生活的水里，让人们很难一眼看出它的存在，但是细细品味和体会，数学又是无处不在的，它对于生活的各个方面都有潜在的影响，当然，这种影响是用思维来实现的。
数学有一个美誉叫做“思维体操”，多做一些“枯燥”的数学题 , 能够提高人的逻辑思维能力。
康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”数学是一门艺术，是一种生活工具，是一门让我们的头脑变得更灵敏的科学。 数学史的分期：
(1) 数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；
(2) 初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；
(3) 近代数学时期（17世纪－18世纪）；
一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段：
数学萌芽时期(公元6世纪以前)
初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)
变量数学时期(17世纪上半叶-19世纪20年代)
近代数学时期(19世纪20年代-20世纪40年代)
现代数学时期(20世纪40年代以来)
一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)
在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算。他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。
二、初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)
在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段。如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美。这个时期的数学发生了本质的变化，数学(主要是几何学)由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科。这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学。从公元前6世纪到公元前3世纪是希腊数学的古典时期。这段时期，古希腊形成了很多学派，广泛探讨哲学和自然科学问题，促进了数学理论的建立。在数学方面主要在初等几何取得了辉煌的成就，不仅创造了逻辑推理的演绎方法，而且使几何形成系统的理论。在数的研究方面，使算术应用过渡到理论讨论，建立了整除性理论，产生了数论。数学成就的精华是欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》。希腊数学的第二个时期。即亚历山大里亚时期的数学特点是基础研究与应用紧密结合，几何学开始了定量的研究，阿基米德求面积与体积的计算接近于微积分的计算方法。丢番图发展了巴比伦的代数，采用了一整套符号，使代数发展到一个新阶段。
数学史的起源与早期发展
数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。“不了解数学史就不可能全面了解数学科学；不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史”，可见数学史的重要性，因此学习数学史已成了我们数学师范生必不可少的部分。下面我们来了解一下数学史的起源与早期发展。
（一） 数与形概念的产生
人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人在采集、狩猎等生产活动中慢慢地发现原来事物之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性。同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应。这样就产生了数的初步概念-----一定物群所共有的抽象性质。
当人们对数的认识越来越明确的时候，他们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。最早可能是手指计数，随着社会生产力的不断发展，手指计数已经不能满足人们生产活动的需要，进而出现了石子计数，但是记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有了结绳记数和刻痕记数。所谓结绳记数是指在一根较粗的绳子上栓系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的形状表示不同的事物和数目。结绳方法不仅在中国而且在世界其他许多地方都曾使用过，而日本琉球岛的居民至今还保持着结绳记事的传统。而当到了黄帝、尧舜时代（约公前2491年一前2042年），创制了从一到十的数码字，随着社会生产力的发展，人们在生产实践中，逐渐感到“结绳记事”已不能适应生产发展的需要，于是便开始向“书契记数”的时代迈进。 又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。下面是按时代顺序列举的世界上几种古老文明的早期记数系统：古埃及象形数字（公元前3400年左右）------巴比伦的锲形数字（公元前2400年左右）------中国甲骨文数字(公元前1600年左右)------希腊阿提卡数字（公元前500年左右）------中国筹码数码（公元前500年左右）------印度婆罗门数字（公元前300年左右）------玛雅数字（？）。其中除了巴比伦的锲形数字是采用六十进制、玛雅数字采用采用二十进制外，其他均为十进制数系。记数系的出现使数与数之间的书写运算成为可能，在此基础上初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。与算术的产生相仿，最初的几何知识则从人们对形的直觉中萌发出来的。 而中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法(“侧目法”)的著作。
1 第七讲：分析时代：18世纪的数学
18世纪是数学中的分析时代，近代数学向现代数学过渡的重要时期。
1、微积分的发展
1.1 泰勒（英，1685－1731年）
1714年获法学博士，1712年被选为英国皇家学会会员，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了泰勒公式。
1.2 麦克劳林（英，1698－1746年）
英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响的数学家之一，1742年撰写的《流数论》，内有著名的麦克劳林级数，为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。
1.3 斯特林（英，1692－1770年）
英国皇家学会会员，1730年在《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了麦克劳林定理、近似积分公式——辛普森公式、斯特林公式。
1.4 棣莫弗（法，1667－1754年）
英国皇家学会会员，1730年《分析杂论》中首先给出了斯特林公式，建立欧拉－棣莫弗定理，1718年出版的《机会的学说》成为概率论的奠基人。
由于牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论，英国数学家的工作逐渐淡出人们的视野。
1.5 雅格布•伯努利（瑞士，1654－1705年）
1687－1705年巴塞尔大学数学教授，17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，1694年出版《微分学方法，论反切线法》。
1.6 约翰•伯努利（瑞士，1667－1748年）
1705－1748年任巴塞尔大学数学教授，18世纪初分析学的重要奠基者之一，1742年的《积分学教程》，成为当时数学界最有影响的人物之一。
1.7 丹尼尔•伯努利（瑞，1700－1782年）
在圣彼得堡工作8年（1725—1733年），1733年回到巴塞尔大学，1738年出版《流体动力学》，第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人。
1.8 欧拉（瑞士，1707－1783年）
18世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，发表著作与论文有560余种，留下大量的手稿。
