林寿数学史数学的起源与早期发展

第四讲：中世纪的东西方数学II1、印度数学（公元5－12世纪）公元前10－前3世纪称为印度的吠陀时期。

印度数学的繁荣鼎盛时期称为“悉檀多”时期（公元5－12世纪），是以计算为中心的实用数学的时代，数学贡献主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家。

1.1阿耶波多（公元476－约550年）在印度科学史上有重要影响的人物，最早的印度数学家，499年天文学著作《阿耶波多历数书》传世，最突出之处在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。

1.2婆罗摩笈多（598－约665年）628年发表21章的天文学著作《婆罗摩修正体系》，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程nx^2+1=y^2求解的“瓦格布拉蒂”法。

1.3婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年）印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家，1150年古印度数学最高成就《天文系统之冠》，其中有两部重要数学著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。

由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。

2、阿拉伯数学（公元8－15世纪）背景：阿拉伯简况。

9－15世纪阿拉伯科学繁荣了600年，创立了文化中心巴格达。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。

2.1 早期阿拉伯数学（8世纪中叶－9世纪）阿尔·花拉子米（783－850年）智慧宫的领头学者，820年出版《还原与对消概要》，被奉为“代数教科书的鼻祖”，使得花拉子米成为中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。

花拉子米的另一本书《印度计算法》。

阿尔·巴塔尼（858－929年）最重要的著作《历数书》，发现地球轨道是一个经常变动的椭圆，创立了系统的三角学术语，对中世纪欧洲影响最大的天文学家。

2.2 中期阿拉伯数学（10－12世纪）奥马·海雅姆（1048－1131年）编制了中世纪最精密的历法“哲拉里历”，在代数学方面的成就集中反映于《还原与对消问题的论证》（1070），最杰出的贡献是研究三次方程根的几何作图法，提出的用圆锥曲线图求根的理论。

数学史的起源与早期发展数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。

和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。

“不了解数学史就不可能全面了解数学科学；不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史”，可见数学史的重要性，因此学习数学史已成了我们数学师范生必不可少的部分。

下面我们来了解一下数学史的起源与早期发展。

（一）数与形概念的产生人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。

原始人在采集、狩猎等生产活动中慢慢地发现原来事物之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性。

同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应。

这样就产生了数的初步概念-----一定物群所共有的抽象性质。

当人们对数的认识越来越明确的时候，他们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。

最早可能是手指计数，随着社会生产力的不断发展，手指计数已经不能满足人们生产活动的需要，进而出现了石子计数，但是记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有了结绳记数和刻痕记数。

所谓结绳记数是指在一根较粗的绳子上栓系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的形状表示不同的事物和数目。

结绳方法不仅在中国而且在世界其他许多地方都曾使用过，而日本琉球岛的居民至今还保持着结绳记事的传统。

而当到了黄帝、尧舜时代（约公前2491年一前2042年），创制了从一到十的数码字，随着社会生产力的发展，人们在生产实践中，逐渐感到“结绳记事”已不能适应生产发展的需要，于是便开始向“书契记数”的时代迈进。

又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。

下面是按时代顺序列举的世界上几种古老文明的早期记数系统：古埃及象形数字（公元前3400年左右）------巴比伦的锲形数字（公元前2400年左右）------中国甲骨文数字(公元前1600年左右)------希腊阿提卡数字（公元前500年左右）------中国筹码数码（公元前500年左右）------印度婆罗门数字（公元前300年左右）------玛雅数字（？）。

第七讲：分析时代：18世纪的数学18世纪是数学中的分析时代，近代数学向现代数学过渡的重要时期。

1、微积分的发展1.1 泰勒（英，1685－1731年）1714年获法学博士，1712年被选为英国皇家学会会员，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了泰勒公式。

1.2 麦克劳林（英，1698－1746年）英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响的数学家之一，1742年撰写的《流数论》，内有著名的麦克劳林级数，为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。

1.3 斯特林（英，1692－1770年）英国皇家学会会员，1730年在《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了麦克劳林定理、近似积分公式——辛普森公式、斯特林公式。

1.4 棣莫弗（法，1667－1754年）英国皇家学会会员，1730年《分析杂论》中首先给出了斯特林公式，建立欧拉－棣莫弗定理，1718年出版的《机会的学说》成为概率论的奠基人。

由于牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论，英国数学家的工作逐渐淡出人们的视野。

1.5 雅格布•伯努利（瑞士，1654－1705年）1687－1705年巴塞尔大学数学教授，17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，1694年出版《微分学方法，论反切线法》。

1.6 约翰•伯努利（瑞士，1667－1748年）1705－1748年任巴塞尔大学数学教授，18世纪初分析学的重要奠基者之一，1742年的《积分学教程》，成为当时数学界最有影响的人物之一。

1.7 丹尼尔•伯努利（瑞，1700－1782年）在圣彼得堡工作8年（1725—1733年），1733年回到巴塞尔大学，1738年出版《流体动力学》，第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人。

1.8 欧拉（瑞士，1707－1783年）18世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，发表著作与论文有560余种，留下大量的手稿。

第三讲：中世纪的东西方数学I从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。

中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。

1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成秦汉时期形成中国传统数学体系。

《算数书》：中国现存最早的数学专著。

《周髀算经》：编纂于西汉末年，天文学著作。

两项重要数学成就：勾股定理的普遍形式，数学在天文测量中的应用。

《九章算术》：中国传统数学最重要的著作，全书246个问题，分成九章。

它完整地叙述了当时已有的数学成就，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。

《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。

2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。

数学上以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现。

这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。

《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。

2.1 刘徽（公元3世纪）公元263年撰《九章算术注》，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”，求出圆周率为3927/1250（=3．1416），主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3．14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。

这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，享有国际声誉。

2.2 祖冲之（429－500年）著作《缀术》取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。

祖冲之算出圆周率在3．1415926与3．1415927之间，并以355/113（=3．1415929…）为密率，22/7（=3．1428…）为约率。

《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理。