正弦定理和余弦定理的应用PPT教学课件

2 2 2 2 2
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c

(1)已知△ABC 中，a＝2，A＝45° ，B＝30° ，求 b、c 和 C； (2)已知△ABC 中，a＝ 3，b＝1，B＝120° ，求 A； 2 (3)在△ABC 中，lga－lgc＝lgsinB＝lg ，且 B 为锐角，判 2 断三角形的形状．
[ 解析]
(1)根据三角形内角和定理，得
C＝180° －(A＋B)＝180° －(45° ＋30° )＝105° . 根据正弦定理，得 1 2× 2 asinB 2sin30° b＝ ＝ ＝ ＝ 2， sinA sin45° 2 2 6＋ 2 2× 4 asinC 2sin105° 2sin75° c＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3＋1. sinA sin45° sin45° 2 2
3．三角形的面积公式 1 1 1 由正弦定理可得三角形的面积 S ＝ absinC ＝ acsinB ＝ 2 2 2 bcsinA．
1 钝角三角形 ABC 的面积是2，AB＝1，BC＝ 2，则 AC＝ ( ) A．5 C ．2 B． 5 D． 1
[ 答案]
[ 解析]
B
本题考查余弦定理及三角形的面积公式．
3 ＝ . 2 π 因为 A 是锐角，所以 A＝ . 3
(2)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，得 b2＋c2－bc＝36. 又 b＋c＝8，所以 28 bc＝ . 3 1 由三角形面积公式 S＝ bcsinA，得 2 7 3 △ABC 的面积为 . 3
综合应用
在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 π 4 c，B＝ ，cosA＝ ，b＝ 3. 3 5 (1)求 sinC 的值； (2)求△ABC 的面积．
1 1 1 ∵S△ABC＝ acsinB＝ · 2· 1· sinB＝ ， 2 2 2 2 π 3π ∴sinB＝ ，∴B＝ 或 . 2 4 4 π 当 B＝ 时，经计算△ABC 为等腰直角三角形， 4 不符合题意，舍去． 3π ∴B＝ ，根据余弦定理， 4 b2＝a2＋c2－2accosB，解得 b＝ 5，故选 B.

87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。