正弦定理(一)PPT课件

12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析

b
c sin B sinC
10 s in105 sin 30
5(
6
2)
SABC
1 bc sin A 2
1 5( 6 2
2 )10sin45
25( 3 1)
(3)已 知A 30 , B C 60 , a 2,求c.
解 : A 30 , B C 60 B C 150 C 45
（一）证法一
C 锐角三角形
在ACD中，sin A CD
a
b
b
在BCD中，sin B CD
a
ab sin A sin B
A
D
FC
b A
c a
c
B
在ABF中，sin A BF c
a
c
在CBF中，sin C BF
sin A sin C
a
a b c
B sin A sin B sin C
思考：如果是钝角三角形是否成立呢？
解 解 : :sB sisBnsiinsnsiinBianBan3BA9A0A00正或bb0 bssssiai1sin asin弦bnin5aibnAB n0ABA0 B定(舍2c2理4去2232应3)24 2222 用2 22 二2312：1
而可已求知 其C两C 它边B1的70和5506边或0其0 01或和 5中01c 角2一0c0。 边a ass s（i对sinini nnAA角C要C ，注443求意3 另6可226一44能边22有的 28两对 38角解33，2）进
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角和定理或大边对大 角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;

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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第一章 1.1 1.1.1
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典例导悟
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变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
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第一章 1.1 1.1.1
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(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解． 由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝ ＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3； 当B＝120° 时，C＝30° ，
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第一章 1.1 1.1.1
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[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状；
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a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.

1.必做题在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60,求a,和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45, 求A。
(3)已知a 20,b 28, A 1200,解这个三角形.
2.课后探究: （1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？
（2） 已知三角形两边和其中一边的对角求其它边 角时，什么情况有二解、一解、无解？
B
A
C
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
二、问题引导，探究新知
问题6：直角三角形有哪些边、角关系？ A
直角三角形中:
sin A a ,sin B b ,sin C 1
c
c
b
即c a , c b , c c
sin A sin B sin C
a b c
C
sin A sin B sin C
问题7：上述结论是否可推广到任意三角形?
c aB
二、问题引导，探究新知 (1)当 ABC是锐角三角形时.
如图:作AB上的高是CD,则
C
CD a sin B,CD bsin A
aE
b
所以 a sin B bsin A
得到 a b
B
sin A sin B
D
c
A
同理,作AE BC.有 b c
四、学以致用，变式深化
练习、已知a=16， b= 16 3 ， A=30° .求B.
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
得
sin B bsin A 16 3 sin30 3
a
16
2
C
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°

人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PP T课件
练习
在 ABC 中，已知 a 4 ,b 42 ,B 4，5
求 A。
探究课题引入时问题(2)的解决方法
B
c
A
b
C
AB= bsinβ sin(α+β)
变式拓展：
根据下列已知条件，分别判断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
D
A
得 到 a b
c
sinA sinB
同 理 , 作 A E B C .有 bc sin Bsin C
a b c sinA sinB sinC
人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PP T课件
人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PP T课件
当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
过点A作AD⊥BC，
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 ?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
sinA sinB
， A=30° . 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
得
b sA in 13 6 s3 i n 03
sB i n
a
16 2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ时 C=90° c32.
当Ｂ＝120°时 C=30°

正弦定理课件：PPT)
• •一、创设情境
•1、题的给出：
• 如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小
河一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测
出BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a,
B，C的值，能否算出AB的长。
•A
.
•2、实际问题转化为数学问题：
•B .
•.C •a
•
•a ＝ •b •sinA •sinB
＝ •c •sinC
•＝2R.
•
•正弦定理:
•（1）文字叙述 •正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. •（2）结构特点 •和谐美、对称美. •（3）方程的观 点•正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
•能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
•
•在锐角三角形中 •B
•A •C
•由向量加法的三角形法 则
•
•在钝角三角形中
•B •A
•具体证明过程
•C
•马上完成!
• • 学以致用 •如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
• C＝69 °，求AB。
•A .
•B
•.C
.
•a
•解：•A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
•在 ABC中，由正弦定理得：
•
•
• •自我提高！
•练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝( •C )
•
A、1:2:3
B、3:2:1
•
C、1: :2
D、2: :1
•练习2、在 ABC中，若 a=2bsinA，则B＝(•C )
• A、

0 0
例2、在ABC中, a 2 , b 3 , B 600 , 解三角形.
2015年1月2日星期五
新课
例3、在ABC中, a 10, b 5 6 , A 45 , 解三角形.
0
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形; (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形. (可能有两解, 用"大角对大边"决定取舍)
新课
直角ABC :
A
B
2015年1月2日星期五
C
新课
钝角ABC :
A
E
D
B
C
2015年1月2日星期五
新课
正弦定理 :
在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦 的比相等,即
a b c 2R sin A sin B sin C
2015年1月2日星期五
新课
例1、在ABC中, A 60 , B 45 , c 20, 解三角形.
首页
§ 1.1.1 正弦定理
2015年1月2日星期五
引入
关于解三角形 :
(1)三角形的六元素 : A, B, C , a, b, c(其中a, b, c分别为A, B, C的对边); (2)解三角形 : 用三角形已知元素求未知 元素.
2015年1月2日星期五
新课
锐角ABC 五
2015年1月2日星期五
结束
2015年1月2日星期五

2
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。

2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30