正弦定理-PPT课件

6.4
平面向量的应用
第六章
6.4.3 余弦定理（1）
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示情势及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
三角形中任何一边的平方，等于_其___他__两__边__平__方___的__和__减_ 去 语言叙述
例 2 在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，求 A，B，C
的大小.
解 根据余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋22×342＋3×463＋22－32
62＝
3 2.
∵A∈(0，π)，∴A＝6π，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
2
跟踪训练
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
D解析 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
，
a2＋c2－b2
cos B＝
2ac ，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b___
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 元素 其他元素的过程叫做解三角形 .

a
b
c


因此，
.
sin A sin B sin C
A
m
C
探究新知
钝角三角形情形
如图，在钝角∆ABC中，过点A作 AC 与垂直的单位向量 j ，则


j 与 AB 的夹角为 A ， j与 CB 的夹角为 C .
2
2
a
b
c


仿照上述方法，同样可得
sin A sin B sin C
B
j
综上所述，可以得到如下定理
sin A
sin 60°
sin A
sin 60°
3.
练习
方法技巧：
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理
求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦
定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非
第六章
平面向量及其应用
6.4.2 正弦定理
创设情境
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间
的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距
离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
A
B
C
探究新知
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直
解：由三角形内角和定理得A=75°.
A
由正弦定理，得
BC sin C 24sin60
AB

sin75

基础预习初探
1.回顾直角三角形中的边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin B sin C
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有 a b c =2R(定值).
sin A sin B sin C
2.在锐角或钝角三角形中边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin C
得sin C= csin A 3，
a2
又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,sin75°= b= csin B 2 6;
sin C
6 2， 4
当C=120°时,B=15°,sin15°= b=csin B 6－ 2.
sin C
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
提示:如图,锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接
BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以 a =aCD=2R,
sin A sin D
同理 b=2R, =c2R.
sin B
sin C
得 a b =2Rc(定值).
sin A sin B sin C
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
2
可得B<60°,即可求得B.
2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.
【解析】1.选C.因为A=60°,a=4 3,b=4,
由正弦定理 a ,得b sin B=
sin A sin B
bsin A 4 sin60 1 .
a
43 2
因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.

变式2: a=13, b=26, A=30°，解三角形
解：由正弦定理 得
所以
a b sin A sin B
C
b sin A 26sin 30 13 sin B 1 a 13 13
B 90
0
A B
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判 断有几组解？ C （1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ; （2 ） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ; ° （3） b＝20，A＝60°，a＝15.
A 90
90 C
B
j与CB的夹角为
j
A C
正弦定理的向量法证明二
如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐 标系,C点在y轴上的射影为C’.
即 因为向量 AC与BC在y轴上的射影均为|OC|,
AC | OC|=| |cos(A-90)=b sin A BC | OC|=| |sin B=a sin B
0
无解
正弦定理
小结: • 正弦定理 • 主要应用
a b c sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
课后探究 （ : 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
第二章:解三角形
一.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬 ,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?

∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：(从边的关系判断) ∵b＝acos C， 由余弦定理，得 b＝a·a2＋2ba2b－c2. 化简，得 b2＋c2＝a2. ∴△ABC 为直角三角形．
1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦或余弦定理进行边角互 化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通 过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可通过 正弦定理，进行边角互化．
6．4 平面向量的应用 6．4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
内容标准
学科素养
1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理 及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状.
数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
一、“剪不断，理还乱”——忽略大边对大角致错 ►直观想象、逻辑推理、数学运算 [典例 1] 在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝2，A＝60°，则 B＝__________.
[解析] 由正弦定理，得 sin B＝b·sina A＝2×si2n 630°＝12. ∵a>b，∴A>B.又∵0°<B<180°，∴B＝30°.
探究三 判断三角形的形状 [例 3] 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b＝acos C，试判定△ ABC 的形状．
[解析] 法一：(从角的关系判断) ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin A·cos C. ∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin A·cos C. 即 sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0.

第一章:解三角形
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
B
A
我们这一章所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
（2）设 a b c k(常用技巧）, sin A sin B sin C
得a : b : c sin A : sin B : sin C, a sin A b sin B
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A
b sin B
c sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b a
D
Bc
A
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sinC
变形：（1） a b ， b c ， a c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
例4.已知VABC的周长为32,sinA+sinB=2sinC,求边长c
课后探究（: 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
（2）
ab sin A sin B
c sin C
k
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
C
得 sin B bsin A 16
3 sin30
3
a

[练习 3] (1)(变条件)在例 3 中，把条件换为“已知 b＝1，B＝30°，c＝ 3”，求△ ABC 的面积．
(2)(变结论)在例 3 中，若已知 D 是△ABC 的边 AC 上一点，且 CD＝ 2，求△ABD 的 面积．
解：(1)由正弦定理sinb B＝sinc C得 sin C＝csibn B＝ 23， 故 C＝60°或 120°，
c＝assiinnAC＝2ssiinn 14055°°＝2×
6＋ 4 2
2 ＝
3＋1.
2
(2)∵b＝5，c＝5 3，B＝30°，
∴c·sin B<b<c，
∴△ABC 有两解，
由正弦定理得：sin C＝csibn B＝ 23， ∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，A＝90°，易得 a＝10； 当 C＝120°时，A＝30°，此时 a＝b＝5.
当 C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，
所以 S△ABC＝12bcsin A＝12×1× 3×1＝ 23； 当 C＝120°时，A＝180°－120°＝30°，
所以 S△ABC＝12bcsin A＝12×1×
3×12＝
3 4.Βιβλιοθήκη 综上所述△ABC的面积为23或
3 4.
(2)解法一：由例 3 的解答可知 sin B＝45，sin A＝7102，c＝170， 由正弦定理 b＝assiinnAB＝27×245＝872，
达标篇·课堂速测演习
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若 a＝2bcos C，则这个三角形一定是等腰直角三角形．( × ) (2)在△ABC 中，若 sin A＝12，则 A＝6π.( × ) (3)在△ABC 中，a≥bsin A 一定成立．( √ )

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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。