正弦定理优秀PPT课件

a b c sin A sin B sin C
C
c aB
斜三角形中这一关系式是否仍成立呢? 数学实验、
验证猜想
证明猜想
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
实际问题
已知 BC 长和∠ABC、∠ACB的值,如何求AB长？
A
B
C
解三角形:已知三角形的几个元素 求其他元素的过程.
提出猜想
三角形边、角之间B b ,sin C 1 A
c
c
即c a , c b , c c
sin A sin B sin C b
sin C
B 仿上可得 a b c
sin A sin B sin C
c b
CD
形成定理
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
正弦
a b c sin A sin B sin C
定理
应用定理
例1 ABC中a=5,B=450,C 1050,解三角形.
解：由三角形内角和定理 ,得A 180 (B C) 30
(1)特殊到一般 (2)数形结合 (3)化归转化
作业布置 1、必做作业：P47练习第1、2题 2、选做作业：已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C 和 c.
3、研究课题：
（1）请尝试用向量方法证明正弦定理，并探究正弦 定理的其他证明方法写成论文。
（2）
a b c k sin A sin B sin C

sin
=
sin

cos
=
;
,则角 C=
答案:(1)4 (2)45°


解析:(1)因为
=
,
sin
sin
sin

4
所以
= = =4;
sin





(2)因为sin = sin,又因为sin
=
所以 sin C=cos C,所以 C=45°.

,
cos
.
课前篇自主预习
一
1
1
2
2
= acsin B= bcsin A.
(3)三角形面积公式的其他形式:

①S△ABC= 4 ,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
②S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
1
③S△ABC=2(a+b+c)r,其中 r 为△ABC 的内切圆半径;
2
2 +2 -
-·
2
2
·b=
+2 -2
-·
2
·a,
整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴
a2+b2-c2=0 或 a2=b2.∴a2+b2=c2 或 a=b.故△ABC 为直角三角形或等
腰三角形.
解法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin
A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径);② = sin , =

∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：(从边的关系判断) ∵b＝acos C， 由余弦定理，得 b＝a·a2＋2ba2b－c2. 化简，得 b2＋c2＝a2. ∴△ABC 为直角三角形．
1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦或余弦定理进行边角互 化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通 过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可通过 正弦定理，进行边角互化．
6．4 平面向量的应用 6．4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
内容标准
学科素养
1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理 及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状.
数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
一、“剪不断，理还乱”——忽略大边对大角致错 ►直观想象、逻辑推理、数学运算 [典例 1] 在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝2，A＝60°，则 B＝__________.
[解析] 由正弦定理，得 sin B＝b·sina A＝2×si2n 630°＝12. ∵a>b，∴A>B.又∵0°<B<180°，∴B＝30°.
探究三 判断三角形的形状 [例 3] 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b＝acos C，试判定△ ABC 的形状．
[解析] 法一：(从角的关系判断) ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin A·cos C. ∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin A·cos C. 即 sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0.

AA CCDD
CCDD bb
,,
ssiinn
BB
bb ssiinn AA aa
CCDD aa ssiinn BB
C
b
a
所以有：
A
Dc
B
同理可证：
（也可以由等面积法得到）
(3)在钝角△ABC中,有：
ssiinn
AA
CCDD bb
,,ssiinn((
BB))
CCDD aa
即即::CCDD bbssiinn AA aassiinnBB
C
16 3
16
16
A 300 B
B
(1)当 Ｂ＝60°时, C=90°, c 32.
(2)当Ｂ＝120°时,
C=30°,
c asinC 16. sin A
练习：
变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解：由正弦定理
得 sin B b sin A 40 sin 45 2
a
5.一个三角形最少有2个锐角
3.定理推导
探究：在任意三角形中角与它所对的边之间在 数量上有什么关系？
(1)在Rt△ABC中,有：
sin A a ,sin B b
cn B
A
b
c
因为sinC=1，所以有：
C
aB
(2)在锐角△ABC中,有：
ssiinn 即 即 ::
此时无解．
课堂小结： （1）三角形面积公式：
（2）正弦定理： （3）正弦定理适用范围：
•
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
2R
（3）
解三角形的定义： 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它
们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

提习题
要点一
提升习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且sin(A+C)=2sinBcosA，求证：b²=ac。
要点二
提升习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且cosB=1/3，b=3，求边长a和c的值。
综合习题
综合习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B-sinA=sin²C ，求证：三角形ABC是直角三角形。
确定三角形形状
通过正弦定理，我们可以 判断三角形的形状，例如 是否为直角三角形、等腰 三角形等。
求解三角形角度
已知三角形的两边及其夹 角，可以使用正弦定理求 出其他角度。
求解三角形边长
已知三角形的两角及其夹 边，可以使用正弦定理求 出其他边长。
在三角函数中的应用
求解三角函数值
已知三角形的两边及其夹角，可 以使用正弦定理求出三角函数值 。
VS
三角函数的和差公式
利用正弦定理推导出三角函数的和差公式 ，例如sin(α+β)和sin(α-β)的公式。
05
CHAPTER
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，a=3，b=4，求角C。
基础习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinBcosC，求证：三角形ABC是 等腰三角形。
正弦定理是解决三角形问题的重要工具之一，可以用于解决 各种与三角形相关的数学问题。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
利用三角形的面积证明正弦定理